第十三章麥克斯威方程

1、 第十三章麥克斯威方程 對電和磁的興趣由來已久。 正式發(fā)表的關(guān)于電的第一條泄量左律是庫侖泄律（C. A. Coulomb, 1785）o 1820年奧斯特（Oersted,丹麥）發(fā)現(xiàn)通電的導(dǎo)線對磁針有作用力。畢奧 -薩伐爾確左了這個力正比于電流強(qiáng)度，反比于導(dǎo)線與磁極的距離。與此同時安培（Amperd） 把磁性歸結(jié)為電流和電流的相互作用，提出安培左律。但安培被自己提出的超距作用的分子 電流假說所迷惑，沒能夠發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象。 這個對形成電磁場的概念致關(guān)重要的現(xiàn)象在 1831年被法拉第 （Friday）發(fā)現(xiàn)。法拉第創(chuàng)建的力線和場的槪念是意味深長的。麥克斯威 （Maxwell, 1965）在此基礎(chǔ)上

2、建立了電磁場的完整理論，麥克斯威方程。 13場方程 讓我們把上一章真空中穩(wěn)恒電磁場的公式歸納一下： VV（x） = 一丄 p（.（x） （13.1） 習(xí)） %_吋入）=_心 （13.2） 下標(biāo)c和強(qiáng)調(diào)該量與靜I匕電荷和穩(wěn)恒電流相聯(lián)系。上述公式僅當(dāng)電磁場不隨時間變化時成 立， (13.3) 隨時間變化的電磁場滿足什么樣的方程呢？相對論的協(xié)變性可以引導(dǎo)我們猜岀正確的 結(jié)果?；貞浀诰耪掠呻姾墒睾愕玫降倪B續(xù)性方程（9.29）式 (13.4)其中四維矢量算符 而四維位移矢量定義為 在（13.4）式中定義了 X X y X X U (13.5) (13.6) (13.7) dt x = 連續(xù)性方程的協(xié)變性

3、要求上式左義的丿是一個四維反變矢量，稱為四維電流密度矢量。 因此在洛倫茲變換下， 電流密度和電荷密度混合在一起， 如四維位移矢量一樣變換。 從（13.1） 和（13.2）式看到電勢和矢勢分別與四維矢呈:的時間分量和空間分量對應(yīng)。 這提示我們把 （13.1）和（13.2）式寫成時間和空間分量對稱的形式。首先，為了把（13.1）式和（13.2） 式統(tǒng)一成一條四維矢量方程，（13.1）的左邊要寫成-兒尸=-“。（?）,即在（13.1）兩邊 乘以 c, 和（13.2）式對比，可以認(rèn)出矢勢A和“電勢（i（p/c）要構(gòu)成一個四維矢量。引入四維勢A, 其各個分量泄義為 我們四維勢對非穩(wěn)恒電磁場也適用，所以式

4、中沒有下標(biāo)c和a. （13.1）和（13.2）式的拉普拉斯算符是三維伽利略標(biāo)量算符，在相對論協(xié)變理論中要 推廣為四維標(biāo)量算符（達(dá)朗貝爾算符）， 因?yàn)槲覀兊挠懻搩H局限與平直時空，有* = X”和6 可以不區(qū)分上指標(biāo)和下指標(biāo)。 但我們還是盡量保留上下指標(biāo)，以便于檢査方程的正確性。 另外（13.2）式中的矢勢散度V刁在相對論協(xié)變理論中也要寫成四維標(biāo)量 2 6/ =V2-丄;（p （131） icdtc） 其中重復(fù)指標(biāo)隱含求和。如不特別聲明，以后我們都采用這種約左。 至此，（13.1）和（13.2）變成相對論協(xié)變的形式， 52A4 =-/0;4 （13.12） /才一用川）= _“（/ , i = 1

5、,2,3 （133） 兩式還是寫不成一個統(tǒng)一的四維矢量方程，原因是（13.12）式的左邊少了一項(xiàng)。為了物理 的美，所有人都會毫不猶疑地嘗試在（13.12）式的左邊添上-6 ），它是電磁場的時 間導(dǎo)數(shù)，對穩(wěn)恒電磁場它等于零。于是（13.12）和（13.13）可以合寫成緊湊的一條四維矢 量方程， 岸 A2 A3 A4 -p 八/ CA = (13.8) (13.9) d a2 dV c2ot2 (13.10) 護(hù) 8 ox2 dy1 d1 2Av 一= 一（）/ （13.14） 這就是我們所尋找的電磁場的場方程，它被實(shí)驗(yàn)證明是普遍適用的。對穩(wěn)恒電磁場，容易檢 驗(yàn)（13.14）式可以重新回到（13.

6、1）和（13.2）式。方程左邊第二項(xiàng)的重復(fù)指標(biāo)“隱含著求 和。相對論協(xié)變性要求四維勢是一個（反變）四維矢量。 如果已經(jīng)肯泄（13.9）式立義的四維勢是一個四維矢量，事實(shí)上（13.14）式是唯一的 與穩(wěn)恒電磁場方程（13.1）和（13.2）式一致的相對論協(xié)變的場方程。 特別值得一提的是， 方程（13.14）和電荷守恒是一致的。 取該式的散度， 易見左邊恒等于零， 由此得到電荷守 恒的連續(xù)性方程（13.4）式。 13.2規(guī)范不變性 上節(jié)得到的場方程（13.14）式具有一個重要的不變性一一規(guī)范對稱性。電磁場的規(guī)范 變換為 “ = 1,2,3,4 （13.15） 其中0（兀）可以是任意的可微的時空函數(shù)

7、。把= 代入（13.14）得 d2Affi -丹“0 - d（dvA,v - 0冊）=一“（J 即 -6（q,A”）= -“訂 （13.16） 它形式上和（13.14） 一樣。因此規(guī)范變換前后的四維勢A合A同是電磁場方程的解。如果 規(guī)范變換不影響邊界條件合界面條件，那么規(guī)范變換前后的四維勢描寫同樣的電磁場。物 理可觀測結(jié)果在規(guī)范變換下保持不變稱為規(guī)范對稱性。二十世紀(jì)關(guān)于基本相互作用 的研究與規(guī)范對稱性及英推廣有緊密的聯(lián)系?，F(xiàn)在人們普遍愿意認(rèn)為規(guī)范對稱性是基本相互 作用的普遍對稱性，從而把它上升為一個物理基本原理。 規(guī)范不變原理：由（13.15）式聯(lián)系起來的四維勢A和A對應(yīng)同樣的電磁場。 規(guī)范不

8、變原理意味著不能通過物理測量發(fā)現(xiàn)A和A的差異， 只有規(guī)范不變的量 （在 （13.15）式的變換下不變）才是物理上可測量的雖:。當(dāng)四維矢量作規(guī)范變換時，所有的物 理量和物理規(guī)律保持不變。實(shí)際應(yīng)用時，為了簡化訃算常常對四維勢的規(guī)范任意性加以限制, 限制條件稱為規(guī)范條件。物理結(jié)果應(yīng)該和特殊的規(guī)范條件的選擇無關(guān)。 規(guī)范不變原理的一個重要的后果是場方程（13.14）式中不能出現(xiàn)正比于A而不含導(dǎo)數(shù) 的一項(xiàng)。如下式是沒有規(guī)范不變性的， 8少“-6“6才）+心“ （13.17） 在場論中，新加進(jìn)去那一項(xiàng)稱為質(zhì)量項(xiàng)。因此規(guī)范不變性不允許A場具有質(zhì)量 5 光子沒有 質(zhì)量是規(guī)范不變性的自然要求。 常用的規(guī)范條件有：

9、 1這就是泡利對楊-Mills場的著名質(zhì)麺：傳遞強(qiáng)相互作用的場應(yīng)該具有質(zhì)雖:，如何能夠用規(guī)范不變的場來描 寫？這個問題后來由Higgs真空破缺機(jī)制解決。 (1)庫侖規(guī)范 V-A = 0 (138) (2) 洛倫茲規(guī)范 6/=0 (13.19) (3) 時性規(guī)范(temporalgauge) A4=0 (13.20) 規(guī)范條件的共同特點(diǎn)是本身沒有(完整的)規(guī)范對稱性。在三種規(guī)范中只有洛倫茲規(guī) 范具有洛倫茲協(xié)變性。在洛倫茲規(guī)范條件下，場方程有簡潔的協(xié)變的形式， dA = -/J (13.21) 13.3麥克斯威方程 然而如果不知道四維勢和電荷受力的關(guān)系，場方程(13.14)或(13.21)僅是一個

10、形式 理論。要明確它的物理意義必須和電磁場對電荷的作用力聯(lián)系起來。也就是說，要把四維勢 和電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度聯(lián)系起來。 對于磁場，第十二章已經(jīng)假上有普遍的關(guān)系式(12.40)式， B = VxA (13.22) 易見此式右邊在規(guī)范變換下不變， 和磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個物理可觀測量相適應(yīng)(按照規(guī)范不變 原理，鳥在規(guī)范變換下不變)。對于穩(wěn)恒電場的特姝情形，有上一章的(12.7)式 Ec = zcVA4 + 辰P0 (13.24) 它不具有規(guī)范不變性.和規(guī)范不變原理要求電場E在規(guī)范變換下不變不相適應(yīng)。對非穩(wěn)恒 電磁場,為了抵消(13.24)的第二項(xiàng)，嘗試把(13.23)推廣為 E = /cVA4 +ad

11、4A 對上式作規(guī)范變換， E = zcVAr4 + ad4A! = zcV(A4 + 60) + GQM + W) =zcVA4 + ad4A + (zc + = E + (ic + 可見規(guī)范不變原理要求 a = ic 因此，四維勢和電場的一般關(guān)系為 (13.25) (13.26) (13.27) 一 d - 丘=一可0一_4 (13.28) dt 對它取散度，利用(13.22)得 一 d - PxE =一 B (13.29) dt 上式說明變化的磁場可以產(chǎn)生電場，而且這種電場的旋度不等于零，這就是電磁感應(yīng)現(xiàn)彖。 注意，由于非穩(wěn)恒電場的旋度不等于零，電場力不再是保守力，因而標(biāo)勢0也失去了勢 能

12、函數(shù)的含義。 場方程的第4個分量， 可見髙斯立律是普遍成立的。 場方程的前三個分量即(13.13)式。利用恒等式VX(VXA) = V(V A)-V2A,可以 將(13.13)式簡化為 Vx(VxA) + -A + cdr 利用(13.22)和(13.28),上式寫成 xB- E = J c dt 前述關(guān)于電磁場的互相獨(dú)立的普遍公式小結(jié)如下: - & - Vx =B dt 1 (7 VxB = /oy+ E c dt VB = 0 這組方程就是著名的麥克斯威方程組，它是電磁場的基本方程。 從克斯威方程組的積分形式可以更直觀地看到它的意義。 (1) 方程(13.35)式 簡化后即 ( d

13、 -) 1 A = _p (13.31) ct 應(yīng)用(13.28)式得 E =- -p (13.32) (13.30) 夕川_夕川“)=_“(/ (13.33) (13.34) (13.35) (13.36) (13.37) (13.38) 在一固泄曲而S上對之積分，JJ(VxE) 価= 広 s s 應(yīng)用斯托克斯公式于左邊，得 Ecii = &s 其中=鳥能是通過曲而S的磁通。上式左邊是曲面邊界環(huán)路的感生電動勢即單位 s 電荷沿環(huán)路疋一圈的過程中電磁場對電荷做的功。如果環(huán)路為金屬導(dǎo)線，變化磁通感生出的 電動勢便會在導(dǎo)線上形成電流。這就是法拉第1831年發(fā)現(xiàn)的動磁生電現(xiàn)象。 (2) 方程

14、(13.36)式 它是庫侖左律的推廣，普遍地適用于穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒電場。這個公式稱為髙斯泄律，表 明電荷是電場的一種源。在區(qū)域V對方程兩邊積分，利用高斯公式把左邊得體積分變成閉 合曲而積分，得 (13.41) dV V 它表示通過閉合曲而得電通量等于閉合曲面包含得電荷除以真空介電常數(shù)。 (3) 方程(13.37)式 此式表明，電場強(qiáng)度的時間變化率對磁場的貢獻(xiàn)和電流一樣。麥克斯威首先注意到這一 點(diǎn)，并把該變化率稱為位移電流密度， (13.42) 這一項(xiàng)對認(rèn)識電磁波至關(guān)重要。在一固定曲而S上對(13.37)積分，并應(yīng)用斯托克斯公式 于左邊得 押刀=“0 JJ G + 弘)亦 (13.43) cS S

15、它表明磁場沿一曲而邊界的路徑積分等于電流和位移電流通過該曲而得通戢之和乘真空磁 導(dǎo)率常數(shù)。 對(13.37)取散度, 1 av-E ? dt 利用(1336)式，便得到電荷守恒對應(yīng)的連續(xù)性方程(13.4)式。 (4)方程(13.38)式 在一空間區(qū)域?qū)Ψ匠谭e分，應(yīng)用髙斯公式化成沿區(qū)域封閉界而的積分，得 亦=0 (13.44) 它反映了磁荷(磁單極)不存在的事實(shí)。假如存在磁荷，麥克斯威方程會是怎樣的呢？狄拉 克曾對此作了深入研究。但磁荷至今沒有被發(fā)現(xiàn)。 方程組(13.40), (13.41), (13.43)和(13.44)是麥克斯威方程組的積分形式。在電荷 密度和電流密度不連續(xù)的區(qū)域也可以使用

16、積分形式的麥克斯威方程組。(13.40) 12.5電介質(zhì)模型 和理想導(dǎo)體相反的是電介質(zhì)，其中沒有可以作宏觀移動的自由電荷。我們現(xiàn)在討論的電 磁現(xiàn)象都是關(guān)于宏觀對象的，涉及的強(qiáng)度量都是對宏觀小、微觀大的小體積平均后的宏觀物 理量。被原子束縛的電子活動范用非常?。?埃左右）并且極快地運(yùn)動著，所以在宏觀尺度 不能顯示岀來2。 電介質(zhì)的一個簡單模型假設(shè)沒有外電場時電介質(zhì)內(nèi)部不出現(xiàn)宏觀電流分布，其內(nèi)部的宏 觀電磁場也等于零。加上外電場之后，電介質(zhì)中的帶電粒子受到電場的作用，正負(fù)電荷發(fā)生 相對位移，或者極性分子（原來正負(fù)電荷中心不重合的分子）的取向從無規(guī)狀態(tài)變成有一圮 頃向性的狀態(tài)。這就是電極化現(xiàn)象。由于

17、發(fā)生了電極化，電介質(zhì)內(nèi)部不均勻處和表而便出現(xiàn) 宏觀的電荷分布。我們稱這種電荷為束縛電荷。束縛電荷反過來會激發(fā)出電場，使電介質(zhì)極 化的電場實(shí)際上是外加電場和朿縛電荷激發(fā)的電場之和。 自由電荷密度和朿縛電荷密度分別記為0/和Pp。由髙斯定律， -E = pf+pp （12.59） 朿縛電荷密度是難以直接計(jì)算和控制的，因此通常引入電介質(zhì)的物性參數(shù)來描寫束縛電荷的 效應(yīng)，盡量在基本方程中消去 Q,。 把電介質(zhì)想象成很多微觀的電偶極子的集合幾。宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度P 描述，它等于物理小體積內(nèi)總微觀電偶極矩與小體積之比（參見圖12-8）, (12.60) 圖12-8.方盒子為物理小體積I為假想的電

18、偶極 子的電荷位移。丫圧是正在考慮中的界而。 設(shè)電偶極子的數(shù)密度為，并假想電偶極子的電荷位移為/則跨過小體積的界面微元 （広的電偶極子數(shù)目微広每一個這樣的電偶極子都把一個正電荷留在界而的外側(cè)，故 留在界而外側(cè)的總電荷量為 2近十多年興起的介觀物理研尤的尺度在納米到埃之間，在這個尺度微觀運(yùn)動變得重要了。需要考慮到電 子的量子行為（下冊第四篇）。qnl cis = lip (E = P (E (12.61) 對AU的邊界S積分，得到小體積內(nèi)電荷量(等于留在外而的電荷量的負(fù)值) JJJ Ppd片=_g 戸亦=-jjj (V P)d (12.62) AV S AV 最后一等式用了髙斯公式。因此， pp

19、 =VP (12.63) 代入(12.59)式得 V(-() + P)=/7. (12.64) 對各向同性得均勻電介質(zhì)，最簡單得模型是假設(shè)P正比于電場左義其比例系數(shù)為 ”,稱力為電介質(zhì)的極化率。引入一個輔助場一一電位移矢咼 D = sE + P =勻(1 + /,) = ssrE = sE 其中名稱為相對介電常數(shù)，稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)。利用電位移矢量，(12.64)寫成 - D = p( (12.66) 在任意空間區(qū)域?qū)ι鲜椒e分，利用髙斯公式把矢量場散度的體積分變成矢量場沿區(qū)域邊界的 而積分，得到(12.66)的積分形式， 甘&(/? = Qf (12.67) s 上式是適用于電介質(zhì)的

20、高斯定律。 引入介電常數(shù)可以使我們在計(jì)算電介質(zhì)靜電場時避免涉及電介質(zhì)內(nèi)部極化的細(xì)節(jié)。需 要指岀的是，(12.65)式只在緩慢變化的外場下對某些介質(zhì)近似適用。對髙頻電磁場，介電 常數(shù)一般明顯依賴于頻率。對各向異性的系統(tǒng)要把(12.65)式推廣為 P壬尼， i、j =x. y. z (12.68) i 對非線性電介質(zhì)，需要考慮高階項(xiàng)，如 知EjE& (12.69) J 在電介質(zhì)的界而， 等價(jià)于(12.75)和(12.78)有關(guān)于電勢的邊界條件(習(xí)題), (12.79) (p2 =(p (12.80) (12.79)式中的2表示沿法向求導(dǎo)數(shù)。 dn (12.65) qnl cis = lip

21、 (E = P (E (12.61) 對靜電問題，通常求電勢比較方便。電勢滿足泊松方程(12.8)。在均勻介質(zhì)內(nèi)束縛電 荷為零，故(12.8)可寫成（12.81） vV = - （）（） 在界而，電勢滿足邊界條件（12.79）和（12.80）o要完全確左電勢解，除了 （12.81） 和界面條件外，還要確定邊界條件。 靜電問題的唯一性左理（參閱電動力學(xué)，郭碩鴻，人民教育出版社）：設(shè)區(qū)域V內(nèi) 的自由電荷分布 Q/給沱，在V的邊界上再給泄電勢卩1評或電勢的法向?qū)?shù)字 ,則 區(qū)域內(nèi)的電勢被唯一地確左。 區(qū)域內(nèi)存在理想導(dǎo)體時，導(dǎo)體的邊界條件可以有兩種選擇：給泄每個導(dǎo)體的電勢或者給 左每個導(dǎo)體總電荷。 例

22、12.6同心導(dǎo)體球和球殼之間填滿兩種電介質(zhì)，介電常數(shù)為的電介質(zhì)在左邊，介電 常數(shù)為 G 的電介質(zhì)在右邊（圖12-11）0中間的導(dǎo)體球帶電荷0,球殼接地，半徑為 圖12-11.同心導(dǎo)體球和球殼。左（右）邊填 介電常數(shù)（匂）的電介質(zhì)。 解：兩介質(zhì)的界面無自由電荷，故（12.75）導(dǎo)致法向電位移矢量連續(xù)，而（12.78）導(dǎo)致切 向電場連續(xù)， （例 12.24） 電場要和導(dǎo)體表而垂直，讓我們嘗試徑向電場，設(shè)左右兩半球的電場分別為 E = 艮=（例 12.25） 其中/；（門和厶（門是兩個只依賴于半徑的待立函數(shù)，他們必須相等才能保證（例12.24）第 二個式成立，所以f=f2=f（r）Q根據(jù)電介質(zhì)的線性

23、模型，電位移矢量為 D = E = jr）r , b2 = 2E2 = s2f （r）r （例 12.26） 在包耐導(dǎo)體球的半徑為廠的同心球面（圖12-11中點(diǎn)線圈）上應(yīng)用髙斯泄律，記左（右） 半球而為5 （S2）, （12.81） （例 12.27） 把（例12.25）代入上式得 Q = f （廠”sin 6cl0cl（p + Jf f（r）r: sin OclOcl（p 5i s2 （例 12.28） = 2（l+2）f（r）r2 因此 于是在（例12.25）式的徑向電場假設(shè)下得到電場為 Q r 2/r（ +6）廣 球殼接地，意味著它的電勢是固怎的：又給左了導(dǎo)體球的電荷，故本題符合唯一性泄

24、理 的條件。解（例12.30）滿足所有界而條件和邊界條件，根據(jù)唯一性泄理，它就是所求的電 場。 導(dǎo)體內(nèi)部電場和電位移矢量等于零。根據(jù)（12.75）,左邊導(dǎo)體殼上的自由電荷而密度為 （例 12.31） 同理，右邊導(dǎo)體殼上的電荷自由電荷而密度為 例12.7半徑為，介電常數(shù)為的介電球置于均勻外電場中，如圖1212,求電勢、 電場、介質(zhì)球的極化強(qiáng)度和電偶極矩。 圖12-12.均勻外電場中的介質(zhì)球。 解：因?yàn)樵谒紤]空間不存在自由電荷，電勢滿足拉普拉斯方程（沒有源的泊松方程） VV = 0 （例 12.33） 以球心為原點(diǎn)，沿外電場方向作Z軸匚讓我們先討論拉普拉斯方程軸對稱性解的一般形式。f（r） =

25、（戸）=z = rcosO （例 12.35） 因?yàn)?（例 12.36） 所以，如果0是拉普拉斯方程的解，則?也是拉普拉斯方程的解。應(yīng)用于特解（例12.34）, 得到一系列新的特解， ；1）（門= - COS& （例 12.37） dz 廠 -6就 3cos9-l dV r3 （例 12.38） 號0護(hù)（說） （例 12.39） 函數(shù)化（COS0）是著需的勒讓徳多項(xiàng)式，適當(dāng)選擇系數(shù)可以寫成 代（cos。）- ! d r （cos2 1/ “ 2n/7! J（cos9）n L （例 12.40） 前而幾個多項(xiàng)式徳表達(dá)式如下， 吒=1 （例 12.41） 片（COS&） = COS

26、& （例 12.42） 只（cos） = （3cos，&-1） 2 （例 12.43） R（cos&） = （5cos3 8-3cos8） 2 （例 12.44） 并非所有獨(dú)立的解都可以寫成（例12.39）的形式，例如特解（例12.35） 就不行。 為了得到所有可能形式的解，讓我們討論拉普拉斯方程的特點(diǎn)。在球坐標(biāo)下， 滬=1嚴(yán)+ 1 sin異 + 1 r2 dr dr r2 sin 0 dO dr r1 sin2 0 d（fr （例 12.45） 只考慮軸對稱性電勢解，它與0角無關(guān)。分離變量,代入(12.33)得到 (p = 7?(r)O() (例 12.46) O()

27、 L r1 /?(r) + R(p) -U sin 9 0() = 0 (例 12.47) r dr dr 廠 sin & dO (10 兩邊除 R(r)Q0)lr2, _L_fLr2_/?(r)= -! - sin9 O(6) = O() + a s in 6O( O(6) + 伙+ l)sin6G(（cos a （例 （例 12.67） 12.68） （p（p,z） = （例 12.69） E = 一呵= a區(qū)域電勢的第二項(xiàng)。 13.4電磁場邊值關(guān)系 12.6電介質(zhì)的界而條件 跨過電介質(zhì)界而作一個很小的垂宜界面的扁平圓柱形高斯而如圖12-9.根據(jù)髙斯龍律, 旬甘麗 +0, （12.

28、70） S 其中Qf和Qp分別為高斯而包括的界而自由電荷和束縛電荷。 圖12-9.兩種介質(zhì)的界面。&和心分別為界面處 介質(zhì)1和介質(zhì)2中的電場。n為法向單位矢量。 取側(cè)而髙度趨向于零，則側(cè)而對（12.70）式的曲而積分沒有貢獻(xiàn)。因?yàn)轶{斯面很小， 曲面上下面的電場可認(rèn)為是均勻的。（12.70）式成為 （E2-E）-nS = Qf+Qp （12.71） 引入表而自由電荷密度j=QJS和表而朿縛電荷密度bp=QJS ,上式寫成 呂）（E2 一 ） 斤=7, + CT” （12.72） 又從（12.62）知道，束縛電荷可以寫成電極化強(qiáng)度P沿閉合曲而積分， P = -Qp （12.73） S 取側(cè)

29、面髙度趨向于零，則側(cè)而對（12.73）式的曲而積分沒有貢獻(xiàn)。因?yàn)轶{斯面很小，曲而 上下而的電極化強(qiáng)度戶可認(rèn)為是均勻的，于是 （必-*）* = -礙 （12.74） 代入（12.71）得 勺（直-&）心巧一伉一用 4 （勺民+引-仏應(yīng)+用力=刃 （52-5,） = 0-, （12.75） 這是關(guān)于電位移矢量的邊界條件 （對非靜電場也適用） 。 直接應(yīng)用（12.66）式也可以得到 （12.75）式。 跨過界而作一很小的垂直界面的狹長矩形閉合回路L,如圖12-10。因?yàn)殪o電場的旋度 等于零（見（12.3）式），電場沿回路積分等于零， fEJr = 0 （12.76） 圖12-10.跨過介質(zhì)表

30、而的閉合回路。 取回路垂直界而的邊長趨向于零，并設(shè)平行界面的邊長很短，上下邊的電場可認(rèn)為是 均勻的，（12.76）式成為 （,-）7 = 0 （12.77） 因?yàn)?與法向單位矢量介垂直，所以上式也可以寫成 （E2-E（ ）X/? = 0 （12.78） 此為界而上靜電場的第二個邊界條件。 13.4電磁場的能量和能流 電磁場是一種物質(zhì)，它本身應(yīng)該具有一泄的能量。帶電粒子在電場中加速，能量增加, 增加的能量應(yīng)該來自于電場。在下一章我們將學(xué)到，帶電粒子速度變化時會發(fā)射（或吸收） 電磁波。因此能疑可以在帶電粒子和電磁場之間轉(zhuǎn)移。在只有帶電粒子和電磁場的系統(tǒng)中， 我們相信兩者的能量之和是守恒的。假設(shè)電磁

31、場的能量以某種方式分布在空間各處，引入能 量密度來描寫能量的分布。當(dāng)電磁場隨時間變化時，可以想象空間各點(diǎn)的能量也隨 之變換。我們進(jìn)一步假定能量是龍域守恒量，即空間一區(qū)域的能量變換必須通過伴隨著能量 通過區(qū)域界而的轉(zhuǎn)移。引入能流密度f （三維矢量）描寫能量轉(zhuǎn)移。（的方向指向能量傳S= ExB (13.54) 輸?shù)姆较颍拇笮〉扔趩挝粫r間流過與它的方向垂直的單位而積的能量。 根據(jù)第十一章的洛倫茲力公式(11.22),體積微元dr中速度為0的帶電物質(zhì)受到的電 磁作用力等于 df =(E + vxB)pclr 其中 Q 為該帶電物質(zhì)的密度。電磁場對空間區(qū)域V中的帶電物質(zhì)作功的功率為 J v = |

32、(pE + pv x B)- vJr = j pv- Edr = j Edr V V V 區(qū)域內(nèi)電磁能量的增加率等于 按照能流密度的左義，單位時間內(nèi)通過區(qū)域的界而流入?yún)^(qū)域的能量等于 -gf 力= -jv-S6/r (13.48) ev v 式中0V表示區(qū)域V的界面，方向規(guī)左為指向區(qū)域的外部，故式中有一負(fù)號。根據(jù)能量守恒, (13.48)等于(13.46)與(13.47)之和, =j* j Edr + -j*vvJr 因?yàn)閰^(qū)域V是任意的，故有微分方程 一 d v 一 一 S +訂- 為了猜出w和f的表達(dá)式，通過麥克斯威方程用電磁場表示(13.50)式的右邊。由 (13.37)得 利用矢呈公式V(

33、t7x)=(Vxa)上式化為 (13.45) (13.46) (13.47) V 按照能量密度的左義, (13.49) (13.50) J.E = E.(VxB)-.f (13.51) (13.52) 利用(13.35)把中括號中得第一項(xiàng)寫成磁場得變化率, “0 =一一V-(ExB)-l “ C dE dt (13.53) 2 納衣+尹 J 代入(13.50)并比較兩邊，發(fā)現(xiàn)電磁場能流密度和能量密度得一種可能得選擇為 1 (13.55) 由（13.54）式左義得矢量稱為坡印亭矢量。需要指出的是，以上兩式給岀能流密度和能量 密度僅是一種最簡單的可能選擇，存在滿足能量守恒關(guān)系（13.50）的有其它

34、解。至今還沒 有實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)電磁場能量的確切分布和流動情況。 13.5電磁場理論 本右我們把電磁場理論納入第二篇介紹的力學(xué)框架， 即以最小作用原理為第一性原理, 從新建立電磁場的經(jīng)典理論。 （1）場強(qiáng)張量 四維勢滿足的場方程（13.14）可以寫成 6（刑4 -6/）=-從兒 （13.56） 為了方便以后表述，在上式中我們對（13.14）的上下標(biāo)作了調(diào)整立義四維場強(qiáng)張量 (13.57) 利用場張量，場方程被寫成 (13.58) 容易驗(yàn)證四維場張量的重要性質(zhì)一一規(guī)范不變（習(xí)題13）。因此，場張量的分量是可 以測量的物理咼。 事實(shí)上它的分量可以和電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度聯(lián)系起來。 利用（13.22） 和（1

35、3.28）式，可以得到（習(xí)題13.2） 它是一個反對稱的4乘4矩陣，也稱為法拉第張疑化電磁場張量按張量的一般變換方式變 換， (13.60) 其中為洛倫茲變換矩陣。由（13.60）不難得到電磁場場強(qiáng)在兩個慣性系之間的變換方式, (13.61) 3本書選擇的度規(guī)張雖是4乘4單位矩陣.即糾,=0=3“因此張量的指標(biāo)可以隨總提升和下降 文中用上下標(biāo)來強(qiáng)調(diào)求和的重復(fù)指標(biāo)。 iE0 -B _ i_ c -艮 0 遲 厶 B2 語 0 遲 iE c iE2 c 遲 c 0 (13.59) )E2+ B2 Ao E； =/(E + vxB), (13.62) 4矢勢A相、I于電荷空間的聯(lián)絡(luò)，?？耍‵ock）

36、和外爾（Weyl）把法拉第張雖解釋為電荷空間的曲率張 雖。E； =/(E + vxB), (13.62) 其中/ = l/Vl-v2/c2 o （2）對偶變換 貞空中電荷密度和電流密度均等于零，因此真空麥克斯威方程組為 - & - V x = -B （13.63） dt VE = 0 （13.64） VXB = 4-E C2 ar VB = 0 這組方程式隱藏著電場和磁場之間的對稱性，即真空麥克斯威方程組經(jīng)變換 (13.67) 引入全反對稱Levi-Civita符號它當(dāng)卩吋 是（123,4）的偶置換時等于1,是 （1234）的奇宜換時等于1，否則等于0。可以證明Levi-Civita符

37、號是一個4階張氐 利 用Levi-Civita符號，對偶變換可以寫成 1 F 汕尸 （13.69） 因?yàn)長evi-Civita符號是張量，所以對偶場張量斤也是一個張量。易見，對對偶場張量戶作 對偶變換得到一尸。 利用對偶場張量可以把麥克斯威方程組中的（13.35）和（13.38）式寫成緊湊的形式， daF =0 （13.70） 如果用場張量來表示，上式可寫成 (13.65) (13.66) 之后保持原來的樣子。這個變換稱為對偶變換, 對偶變換等價(jià)于場張量的變換 真空電磁場的這個對稱性稱為對偶對稱性。 0 E. c c Ey 7 FF = C 0 _ _L c c c 0 -iB, iB iB2

38、 iB、 0 (13.68) E； =/(E + vxB), (13.62) 6碼+久巧+。比=0 （13.71） （13.70）和與之等價(jià)的（13.71）是引入矢勢描寫電磁場所需要滿足的自洽條件。換句話說, 如果場張量尸由(13.59)式左義，而其中的電磁場強(qiáng)度E和B和矢勢的關(guān)系分別由(13.28) 和(13.22)式給出，則(13.70)(即(13.71)成為恒等式,幾何學(xué)上稱為Bianchi恒等式。 矩陣方程(13.58)加上(13.70)式和麥克斯威方程等價(jià)。這兩條方程有非常相似的形 式，尤其是對電流密度等于零(真空)的情形。如果有磁單極子，(13.70)的右邊將出現(xiàn)磁 單極流密度，這

39、樣(13.58)和(13.70)式便完全對稱。但這么一來，就不能自洽地引入矢 勢了。 (3)作用量和場方程 如第二篇第五章，電磁場的動力學(xué)方程即場方程也可以納入最小作用量原理的框架。 對于一個圧域的理論，作用量一般地可以寫成拉格朗日密度的四維時空積分。 /= j Ldt =j (x)d4x (13.72) 拉格朗日密度匕)是基本自由度及其導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。要寫出電磁場的拉格朗日密度，首 先要知道電磁場的基本自由度。 我們至今介紹了兩套描寫電磁場的方案，一種方案采用場強(qiáng)E和b作基本變量，另一 種采用四維矢勢A (“ = 1,2,3,4)。場強(qiáng)滿足麥克斯威方程組。麥克斯威方程組只含時間 的一次微分，

40、因此場強(qiáng)的演化由任意給左時刻的場強(qiáng)完全確定。每一空間點(diǎn)的電場強(qiáng)度和磁 感應(yīng)強(qiáng)度分別有三個分量，所以對每一空間點(diǎn)需要知道6個實(shí)數(shù)分量的初始條件。 四維矢勢有四個分量，但存在規(guī)范任意性。在一小區(qū)域內(nèi)可取特左規(guī)范把規(guī)范任意性 完全消除，剩下三個分量(例如取時性規(guī)范A4=0),故四維矢勢實(shí)際上只有3個獨(dú)立分量。 關(guān)于四維矢勢的場方程是時間的二階微分方程，所以需要知道某時刻的三個獨(dú)立矢勢分量和 他們的一階時間導(dǎo)數(shù)作為初始條件才能完全確定四維矢勢的演化。 可見，至少就局部性質(zhì)而言，場強(qiáng)和四維矢勢的自由度是一樣的。但已經(jīng)知道存在不 能在全空間選取單一規(guī)范的情況，使得電磁場得一些大范用整體性質(zhì)不能用場強(qiáng)描述，

41、而只 能用四維矢勢來描述。場強(qiáng)不足以完全描寫電磁場，四維矢勢能完整描寫電磁場但又有多余 的任意性。 因?yàn)殛P(guān)于四維矢勢的場方程是時間的二階微分方程，選用四維矢勢為基本自由度可以 建立和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)類似的動力學(xué)。暫時不考慮規(guī)范任意性，認(rèn)為電磁場的自由度為 A(F)I“ = 1,2,3,4;WWV,英中V為電磁場存在的空間。拉格朗日量是拉格朗日密度的 空間積分，而拉格朗日密度是依賴于,。/(兀)和電流密度丿的函數(shù)， 厶=皿 壬 (13.73) 作用量定義為 J 畋人,”,丿(x)c/h (13.74) 根據(jù)最小作用原理 回=0 (13.75) 通過標(biāo)準(zhǔn)的程序可以推導(dǎo)出拉格朗日方程(它是第二篇第五章的有限自由度拉格朗日方程到(13.76) 無窮多自由度的推廣，參見8.4節(jié)關(guān)于一維原子鏈的討論和本章附錄。） 6 。 O _ c _ 6A v Q（Q，A） 它必須和正確的場方程（13.58）式一致。 相對論協(xié)變性和規(guī)范不變性對拉格朗日密度有很強(qiáng)的限制。相對論的協(xié)變性原理要求 作用量為洛倫茲不變量，規(guī)范不變性原理要求