第十三章麥克斯威方程

1、 第十三章麥克斯威方程 對(duì)電和磁的興趣由來(lái)已久。 正式發(fā)表的關(guān)于電的第一條泄量左律是庫(kù)侖泄律（C. A. Coulomb, 1785）o 1820年奧斯特（Oersted,丹麥）發(fā)現(xiàn)通電的導(dǎo)線(xiàn)對(duì)磁針有作用力。畢奧 -薩伐爾確左了這個(gè)力正比于電流強(qiáng)度，反比于導(dǎo)線(xiàn)與磁極的距離。與此同時(shí)安培（Amperd） 把磁性歸結(jié)為電流和電流的相互作用，提出安培左律。但安培被自己提出的超距作用的分子 電流假說(shuō)所迷惑，沒(méi)能夠發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象。 這個(gè)對(duì)形成電磁場(chǎng)的概念致關(guān)重要的現(xiàn)象在 1831年被法拉第 （Friday）發(fā)現(xiàn)。法拉第創(chuàng)建的力線(xiàn)和場(chǎng)的槪念是意味深長(zhǎng)的。麥克斯威 （Maxwell, 1965）在此基礎(chǔ)上

2、建立了電磁場(chǎng)的完整理論，麥克斯威方程。 13場(chǎng)方程 讓我們把上一章真空中穩(wěn)恒電磁場(chǎng)的公式歸納一下： VV（x） = 一丄 p（.（x） （13.1） 習(xí)） %_吋入）=_心 （13.2） 下標(biāo)c和強(qiáng)調(diào)該量與靜I匕電荷和穩(wěn)恒電流相聯(lián)系。上述公式僅當(dāng)電磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)成 立， (13.3) 隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)滿(mǎn)足什么樣的方程呢？相對(duì)論的協(xié)變性可以引導(dǎo)我們猜岀正確的 結(jié)果?；貞浀诰耪掠呻姾墒睾愕玫降倪B續(xù)性方程（9.29）式 (13.4)其中四維矢量算符 而四維位移矢量定義為 在（13.4）式中定義了 X X y X X U (13.5) (13.6) (13.7) dt x = 連續(xù)性方程的協(xié)變性

3、要求上式左義的丿是一個(gè)四維反變矢量，稱(chēng)為四維電流密度矢量。 因此在洛倫茲變換下， 電流密度和電荷密度混合在一起， 如四維位移矢量一樣變換。 從（13.1） 和（13.2）式看到電勢(shì)和矢勢(shì)分別與四維矢呈:的時(shí)間分量和空間分量對(duì)應(yīng)。 這提示我們把 （13.1）和（13.2）式寫(xiě)成時(shí)間和空間分量對(duì)稱(chēng)的形式。首先，為了把（13.1）式和（13.2） 式統(tǒng)一成一條四維矢量方程，（13.1）的左邊要寫(xiě)成-兒尸=-“。（?）,即在（13.1）兩邊 乘以 c, 和（13.2）式對(duì)比，可以認(rèn)出矢勢(shì)A和“電勢(shì)（i（p/c）要構(gòu)成一個(gè)四維矢量。引入四維勢(shì)A, 其各個(gè)分量泄義為 我們四維勢(shì)對(duì)非穩(wěn)恒電磁場(chǎng)也適用，所以式

4、中沒(méi)有下標(biāo)c和a. （13.1）和（13.2）式的拉普拉斯算符是三維伽利略標(biāo)量算符，在相對(duì)論協(xié)變理論中要 推廣為四維標(biāo)量算符（達(dá)朗貝爾算符）， 因?yàn)槲覀兊挠懻搩H局限與平直時(shí)空，有* = X”和6 可以不區(qū)分上指標(biāo)和下指標(biāo)。 但我們還是盡量保留上下指標(biāo)，以便于檢査方程的正確性。 另外（13.2）式中的矢勢(shì)散度V刁在相對(duì)論協(xié)變理論中也要寫(xiě)成四維標(biāo)量 2 6/ =V2-丄;（p （131） icdtc） 其中重復(fù)指標(biāo)隱含求和。如不特別聲明，以后我們都采用這種約左。 至此，（13.1）和（13.2）變成相對(duì)論協(xié)變的形式， 52A4 =-/0;4 （13.12） /才一用川）= _“（/ , i = 1

5、,2,3 （133） 兩式還是寫(xiě)不成一個(gè)統(tǒng)一的四維矢量方程，原因是（13.12）式的左邊少了一項(xiàng)。為了物理 的美，所有人都會(huì)毫不猶疑地嘗試在（13.12）式的左邊添上-6 ），它是電磁場(chǎng)的時(shí) 間導(dǎo)數(shù)，對(duì)穩(wěn)恒電磁場(chǎng)它等于零。于是（13.12）和（13.13）可以合寫(xiě)成緊湊的一條四維矢 量方程， 岸 A2 A3 A4 -p 八/ CA = (13.8) (13.9) d a2 dV c2ot2 (13.10) 護(hù) 8 ox2 dy1 d1 2Av 一= 一（）/ （13.14） 這就是我們所尋找的電磁場(chǎng)的場(chǎng)方程，它被實(shí)驗(yàn)證明是普遍適用的。對(duì)穩(wěn)恒電磁場(chǎng)，容易檢 驗(yàn)（13.14）式可以重新回到（13.

6、1）和（13.2）式。方程左邊第二項(xiàng)的重復(fù)指標(biāo)“隱含著求 和。相對(duì)論協(xié)變性要求四維勢(shì)是一個(gè)（反變）四維矢量。 如果已經(jīng)肯泄（13.9）式立義的四維勢(shì)是一個(gè)四維矢量，事實(shí)上（13.14）式是唯一的 與穩(wěn)恒電磁場(chǎng)方程（13.1）和（13.2）式一致的相對(duì)論協(xié)變的場(chǎng)方程。 特別值得一提的是， 方程（13.14）和電荷守恒是一致的。 取該式的散度， 易見(jiàn)左邊恒等于零， 由此得到電荷守 恒的連續(xù)性方程（13.4）式。 13.2規(guī)范不變性 上節(jié)得到的場(chǎng)方程（13.14）式具有一個(gè)重要的不變性一一規(guī)范對(duì)稱(chēng)性。電磁場(chǎng)的規(guī)范 變換為 “ = 1,2,3,4 （13.15） 其中0（兀）可以是任意的可微的時(shí)空函數(shù)

7、。把= 代入（13.14）得 d2Affi -丹“0 - d（dvA,v - 0冊(cè)）=一“（J 即 -6（q,A”）= -“訂 （13.16） 它形式上和（13.14） 一樣。因此規(guī)范變換前后的四維勢(shì)A合A同是電磁場(chǎng)方程的解。如果 規(guī)范變換不影響邊界條件合界面條件，那么規(guī)范變換前后的四維勢(shì)描寫(xiě)同樣的電磁場(chǎng)。物 理可觀(guān)測(cè)結(jié)果在規(guī)范變換下保持不變稱(chēng)為規(guī)范對(duì)稱(chēng)性。二十世紀(jì)關(guān)于基本相互作用 的研究與規(guī)范對(duì)稱(chēng)性及英推廣有緊密的聯(lián)系。現(xiàn)在人們普遍愿意認(rèn)為規(guī)范對(duì)稱(chēng)性是基本相互 作用的普遍對(duì)稱(chēng)性，從而把它上升為一個(gè)物理基本原理。 規(guī)范不變?cè)恚河桑?3.15）式聯(lián)系起來(lái)的四維勢(shì)A和A對(duì)應(yīng)同樣的電磁場(chǎng)。 規(guī)范不

8、變?cè)硪馕吨荒芡ㄟ^(guò)物理測(cè)量發(fā)現(xiàn)A和A的差異， 只有規(guī)范不變的量 （在 （13.15）式的變換下不變）才是物理上可測(cè)量的雖:。當(dāng)四維矢量作規(guī)范變換時(shí)，所有的物 理量和物理規(guī)律保持不變。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為了簡(jiǎn)化訃算常常對(duì)四維勢(shì)的規(guī)范任意性加以限制, 限制條件稱(chēng)為規(guī)范條件。物理結(jié)果應(yīng)該和特殊的規(guī)范條件的選擇無(wú)關(guān)。 規(guī)范不變?cè)淼囊粋€(gè)重要的后果是場(chǎng)方程（13.14）式中不能出現(xiàn)正比于A而不含導(dǎo)數(shù) 的一項(xiàng)。如下式是沒(méi)有規(guī)范不變性的， 8少“-6“6才）+心“ （13.17） 在場(chǎng)論中，新加進(jìn)去那一項(xiàng)稱(chēng)為質(zhì)量項(xiàng)。因此規(guī)范不變性不允許A場(chǎng)具有質(zhì)量 5 光子沒(méi)有 質(zhì)量是規(guī)范不變性的自然要求。 常用的規(guī)范條件有：

9、 1這就是泡利對(duì)楊-Mills場(chǎng)的著名質(zhì)麺：傳遞強(qiáng)相互作用的場(chǎng)應(yīng)該具有質(zhì)雖:，如何能夠用規(guī)范不變的場(chǎng)來(lái)描 寫(xiě)？這個(gè)問(wèn)題后來(lái)由Higgs真空破缺機(jī)制解決。 (1)庫(kù)侖規(guī)范 V-A = 0 (138) (2) 洛倫茲規(guī)范 6/=0 (13.19) (3) 時(shí)性規(guī)范(temporalgauge) A4=0 (13.20) 規(guī)范條件的共同特點(diǎn)是本身沒(méi)有(完整的)規(guī)范對(duì)稱(chēng)性。在三種規(guī)范中只有洛倫茲規(guī) 范具有洛倫茲協(xié)變性。在洛倫茲規(guī)范條件下，場(chǎng)方程有簡(jiǎn)潔的協(xié)變的形式， dA = -/J (13.21) 13.3麥克斯威方程 然而如果不知道四維勢(shì)和電荷受力的關(guān)系，場(chǎng)方程(13.14)或(13.21)僅是一個(gè)

10、形式 理論。要明確它的物理意義必須和電磁場(chǎng)對(duì)電荷的作用力聯(lián)系起來(lái)。也就是說(shuō)，要把四維勢(shì) 和電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度聯(lián)系起來(lái)。 對(duì)于磁場(chǎng)，第十二章已經(jīng)假上有普遍的關(guān)系式(12.40)式， B = VxA (13.22) 易見(jiàn)此式右邊在規(guī)范變換下不變， 和磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)物理可觀(guān)測(cè)量相適應(yīng)(按照規(guī)范不變 原理，鳥(niǎo)在規(guī)范變換下不變)。對(duì)于穩(wěn)恒電場(chǎng)的特姝情形，有上一章的(12.7)式 Ec = zcVA4 + 辰P0 (13.24) 它不具有規(guī)范不變性.和規(guī)范不變?cè)硪箅妶?chǎng)E在規(guī)范變換下不變不相適應(yīng)。對(duì)非穩(wěn)恒 電磁場(chǎng),為了抵消(13.24)的第二項(xiàng)，嘗試把(13.23)推廣為 E = /cVA4 +ad

11、4A 對(duì)上式作規(guī)范變換， E = zcVAr4 + ad4A! = zcV(A4 + 60) + GQM + W) =zcVA4 + ad4A + (zc + = E + (ic + 可見(jiàn)規(guī)范不變?cè)硪?a = ic 因此，四維勢(shì)和電場(chǎng)的一般關(guān)系為 (13.25) (13.26) (13.27) 一 d - 丘=一可0一_4 (13.28) dt 對(duì)它取散度，利用(13.22)得 一 d - PxE =一 B (13.29) dt 上式說(shuō)明變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)，而且這種電場(chǎng)的旋度不等于零，這就是電磁感應(yīng)現(xiàn)彖。 注意，由于非穩(wěn)恒電場(chǎng)的旋度不等于零，電場(chǎng)力不再是保守力，因而標(biāo)勢(shì)0也失去了勢(shì) 能

12、函數(shù)的含義。 場(chǎng)方程的第4個(gè)分量， 可見(jiàn)髙斯立律是普遍成立的。 場(chǎng)方程的前三個(gè)分量即(13.13)式。利用恒等式VX(VXA) = V(V A)-V2A,可以 將(13.13)式簡(jiǎn)化為 Vx(VxA) + -A + cdr 利用(13.22)和(13.28),上式寫(xiě)成 xB- E = J c dt 前述關(guān)于電磁場(chǎng)的互相獨(dú)立的普遍公式小結(jié)如下: - & - Vx =B dt 1 (7 VxB = /oy+ E c dt VB = 0 這組方程就是著名的麥克斯威方程組，它是電磁場(chǎng)的基本方程。 從克斯威方程組的積分形式可以更直觀(guān)地看到它的意義。 (1) 方程(13.35)式 簡(jiǎn)化后即 ( d

13、 -) 1 A = _p (13.31) ct 應(yīng)用(13.28)式得 E =- -p (13.32) (13.30) 夕川_夕川“)=_“(/ (13.33) (13.34) (13.35) (13.36) (13.37) (13.38) 在一固泄曲而S上對(duì)之積分，JJ(VxE) 価= 広 s s 應(yīng)用斯托克斯公式于左邊，得 Ecii = &s 其中=鳥(niǎo)能是通過(guò)曲而S的磁通。上式左邊是曲面邊界環(huán)路的感生電動(dòng)勢(shì)即單位 s 電荷沿環(huán)路疋一圈的過(guò)程中電磁場(chǎng)對(duì)電荷做的功。如果環(huán)路為金屬導(dǎo)線(xiàn)，變化磁通感生出的 電動(dòng)勢(shì)便會(huì)在導(dǎo)線(xiàn)上形成電流。這就是法拉第1831年發(fā)現(xiàn)的動(dòng)磁生電現(xiàn)象。 (2) 方程

14、(13.36)式 它是庫(kù)侖左律的推廣，普遍地適用于穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒電場(chǎng)。這個(gè)公式稱(chēng)為髙斯泄律，表 明電荷是電場(chǎng)的一種源。在區(qū)域V對(duì)方程兩邊積分，利用高斯公式把左邊得體積分變成閉 合曲而積分，得 (13.41) dV V 它表示通過(guò)閉合曲而得電通量等于閉合曲面包含得電荷除以真空介電常數(shù)。 (3) 方程(13.37)式 此式表明，電場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率對(duì)磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)和電流一樣。麥克斯威首先注意到這一 點(diǎn)，并把該變化率稱(chēng)為位移電流密度， (13.42) 這一項(xiàng)對(duì)認(rèn)識(shí)電磁波至關(guān)重要。在一固定曲而S上對(duì)(13.37)積分，并應(yīng)用斯托克斯公式 于左邊得 押刀=“0 JJ G + 弘)亦 (13.43) cS S

15、它表明磁場(chǎng)沿一曲而邊界的路徑積分等于電流和位移電流通過(guò)該曲而得通戢之和乘真空磁 導(dǎo)率常數(shù)。 對(duì)(13.37)取散度, 1 av-E ? dt 利用(1336)式，便得到電荷守恒對(duì)應(yīng)的連續(xù)性方程(13.4)式。 (4)方程(13.38)式 在一空間區(qū)域?qū)Ψ匠谭e分，應(yīng)用髙斯公式化成沿區(qū)域封閉界而的積分，得 亦=0 (13.44) 它反映了磁荷(磁單極)不存在的事實(shí)。假如存在磁荷，麥克斯威方程會(huì)是怎樣的呢？狄拉 克曾對(duì)此作了深入研究。但磁荷至今沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。 方程組(13.40), (13.41), (13.43)和(13.44)是麥克斯威方程組的積分形式。在電荷 密度和電流密度不連續(xù)的區(qū)域也可以使用

16、積分形式的麥克斯威方程組。(13.40) 12.5電介質(zhì)模型 和理想導(dǎo)體相反的是電介質(zhì)，其中沒(méi)有可以作宏觀(guān)移動(dòng)的自由電荷。我們現(xiàn)在討論的電 磁現(xiàn)象都是關(guān)于宏觀(guān)對(duì)象的，涉及的強(qiáng)度量都是對(duì)宏觀(guān)小、微觀(guān)大的小體積平均后的宏觀(guān)物 理量。被原子束縛的電子活動(dòng)范用非常小（1埃左右）并且極快地運(yùn)動(dòng)著，所以在宏觀(guān)尺度 不能顯示岀來(lái)2。 電介質(zhì)的一個(gè)簡(jiǎn)單模型假設(shè)沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)電介質(zhì)內(nèi)部不出現(xiàn)宏觀(guān)電流分布，其內(nèi)部的宏 觀(guān)電磁場(chǎng)也等于零。加上外電場(chǎng)之后，電介質(zhì)中的帶電粒子受到電場(chǎng)的作用，正負(fù)電荷發(fā)生 相對(duì)位移，或者極性分子（原來(lái)正負(fù)電荷中心不重合的分子）的取向從無(wú)規(guī)狀態(tài)變成有一圮 頃向性的狀態(tài)。這就是電極化現(xiàn)象。由于

17、發(fā)生了電極化，電介質(zhì)內(nèi)部不均勻處和表而便出現(xiàn) 宏觀(guān)的電荷分布。我們稱(chēng)這種電荷為束縛電荷。束縛電荷反過(guò)來(lái)會(huì)激發(fā)出電場(chǎng)，使電介質(zhì)極 化的電場(chǎng)實(shí)際上是外加電場(chǎng)和朿縛電荷激發(fā)的電場(chǎng)之和。 自由電荷密度和朿縛電荷密度分別記為0/和Pp。由髙斯定律， -E = pf+pp （12.59） 朿縛電荷密度是難以直接計(jì)算和控制的，因此通常引入電介質(zhì)的物性參數(shù)來(lái)描寫(xiě)束縛電荷的 效應(yīng)，盡量在基本方程中消去 Q,。 把電介質(zhì)想象成很多微觀(guān)的電偶極子的集合幾。宏觀(guān)電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度P 描述，它等于物理小體積內(nèi)總微觀(guān)電偶極矩與小體積之比（參見(jiàn)圖12-8）, (12.60) 圖12-8.方盒子為物理小體積I為假想的電

18、偶極 子的電荷位移。丫圧是正在考慮中的界而。 設(shè)電偶極子的數(shù)密度為，并假想電偶極子的電荷位移為/則跨過(guò)小體積的界面微元 （広的電偶極子數(shù)目微広每一個(gè)這樣的電偶極子都把一個(gè)正電荷留在界而的外側(cè)，故 留在界而外側(cè)的總電荷量為 2近十多年興起的介觀(guān)物理研尤的尺度在納米到埃之間，在這個(gè)尺度微觀(guān)運(yùn)動(dòng)變得重要了。需要考慮到電 子的量子行為（下冊(cè)第四篇）。qnl cis = lip (E = P (E (12.61) 對(duì)AU的邊界S積分，得到小體積內(nèi)電荷量(等于留在外而的電荷量的負(fù)值) JJJ Ppd片=_g 戸亦=-jjj (V P)d (12.62) AV S AV 最后一等式用了髙斯公式。因此， pp

19、 =VP (12.63) 代入(12.59)式得 V(-() + P)=/7. (12.64) 對(duì)各向同性得均勻電介質(zhì)，最簡(jiǎn)單得模型是假設(shè)P正比于電場(chǎng)左義其比例系數(shù)為 ”,稱(chēng)力為電介質(zhì)的極化率。引入一個(gè)輔助場(chǎng)一一電位移矢咼 D = sE + P =勻(1 + /,) = ssrE = sE 其中名稱(chēng)為相對(duì)介電常數(shù)，稱(chēng)為電介質(zhì)的介電常數(shù)。利用電位移矢量，(12.64)寫(xiě)成 - D = p( (12.66) 在任意空間區(qū)域?qū)ι鲜椒e分，利用髙斯公式把矢量場(chǎng)散度的體積分變成矢量場(chǎng)沿區(qū)域邊界的 而積分，得到(12.66)的積分形式， 甘&(/? = Qf (12.67) s 上式是適用于電介質(zhì)的

20、高斯定律。 引入介電常數(shù)可以使我們?cè)谟?jì)算電介質(zhì)靜電場(chǎng)時(shí)避免涉及電介質(zhì)內(nèi)部極化的細(xì)節(jié)。需 要指岀的是，(12.65)式只在緩慢變化的外場(chǎng)下對(duì)某些介質(zhì)近似適用。對(duì)髙頻電磁場(chǎng)，介電 常數(shù)一般明顯依賴(lài)于頻率。對(duì)各向異性的系統(tǒng)要把(12.65)式推廣為 P壬尼， i、j =x. y. z (12.68) i 對(duì)非線(xiàn)性電介質(zhì)，需要考慮高階項(xiàng)，如 知EjE& (12.69) J 在電介質(zhì)的界而， 等價(jià)于(12.75)和(12.78)有關(guān)于電勢(shì)的邊界條件(習(xí)題), (12.79) (p2 =(p (12.80) (12.79)式中的2表示沿法向求導(dǎo)數(shù)。 dn (12.65) qnl cis = lip

21、 (E = P (E (12.61) 對(duì)靜電問(wèn)題，通常求電勢(shì)比較方便。電勢(shì)滿(mǎn)足泊松方程(12.8)。在均勻介質(zhì)內(nèi)束縛電 荷為零，故(12.8)可寫(xiě)成（12.81） vV = - （）（） 在界而，電勢(shì)滿(mǎn)足邊界條件（12.79）和（12.80）o要完全確左電勢(shì)解，除了 （12.81） 和界面條件外，還要確定邊界條件。 靜電問(wèn)題的唯一性左理（參閱電動(dòng)力學(xué)，郭碩鴻，人民教育出版社）：設(shè)區(qū)域V內(nèi) 的自由電荷分布 Q/給沱，在V的邊界上再給泄電勢(shì)卩1評(píng)或電勢(shì)的法向?qū)?shù)字 ,則 區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)被唯一地確左。 區(qū)域內(nèi)存在理想導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體的邊界條件可以有兩種選擇：給泄每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)或者給 左每個(gè)導(dǎo)體總電荷。 例

22、12.6同心導(dǎo)體球和球殼之間填滿(mǎn)兩種電介質(zhì)，介電常數(shù)為的電介質(zhì)在左邊，介電 常數(shù)為 G 的電介質(zhì)在右邊（圖12-11）0中間的導(dǎo)體球帶電荷0,球殼接地，半徑為 圖12-11.同心導(dǎo)體球和球殼。左（右）邊填 介電常數(shù)（匂）的電介質(zhì)。 解：兩介質(zhì)的界面無(wú)自由電荷，故（12.75）導(dǎo)致法向電位移矢量連續(xù)，而（12.78）導(dǎo)致切 向電場(chǎng)連續(xù)， （例 12.24） 電場(chǎng)要和導(dǎo)體表而垂直，讓我們嘗試徑向電場(chǎng)，設(shè)左右兩半球的電場(chǎng)分別為 E = 艮=（例 12.25） 其中/；（門(mén)和厶（門(mén)是兩個(gè)只依賴(lài)于半徑的待立函數(shù)，他們必須相等才能保證（例12.24）第 二個(gè)式成立，所以f=f2=f（r）Q根據(jù)電介質(zhì)的線(xiàn)性

23、模型，電位移矢量為 D = E = jr）r , b2 = 2E2 = s2f （r）r （例 12.26） 在包耐導(dǎo)體球的半徑為廠(chǎng)的同心球面（圖12-11中點(diǎn)線(xiàn)圈）上應(yīng)用髙斯泄律，記左（右） 半球而為5 （S2）, （12.81） （例 12.27） 把（例12.25）代入上式得 Q = f （廠(chǎng)”sin 6cl0cl（p + Jf f（r）r: sin OclOcl（p 5i s2 （例 12.28） = 2（l+2）f（r）r2 因此 于是在（例12.25）式的徑向電場(chǎng)假設(shè)下得到電場(chǎng)為 Q r 2/r（ +6）廣 球殼接地，意味著它的電勢(shì)是固怎的：又給左了導(dǎo)體球的電荷，故本題符合唯一性泄

24、理 的條件。解（例12.30）滿(mǎn)足所有界而條件和邊界條件，根據(jù)唯一性泄理，它就是所求的電 場(chǎng)。 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)和電位移矢量等于零。根據(jù)（12.75）,左邊導(dǎo)體殼上的自由電荷而密度為 （例 12.31） 同理，右邊導(dǎo)體殼上的電荷自由電荷而密度為 例12.7半徑為，介電常數(shù)為的介電球置于均勻外電場(chǎng)中，如圖1212,求電勢(shì)、 電場(chǎng)、介質(zhì)球的極化強(qiáng)度和電偶極矩。 圖12-12.均勻外電場(chǎng)中的介質(zhì)球。 解：因?yàn)樵谒紤]空間不存在自由電荷，電勢(shì)滿(mǎn)足拉普拉斯方程（沒(méi)有源的泊松方程） VV = 0 （例 12.33） 以球心為原點(diǎn)，沿外電場(chǎng)方向作Z軸匚讓我們先討論拉普拉斯方程軸對(duì)稱(chēng)性解的一般形式。f（r） =

25、（戸）=z = rcosO （例 12.35） 因?yàn)?（例 12.36） 所以，如果0是拉普拉斯方程的解，則?也是拉普拉斯方程的解。應(yīng)用于特解（例12.34）, 得到一系列新的特解， ；1）（門(mén)= - COS& （例 12.37） dz 廠(chǎng) -6就 3cos9-l dV r3 （例 12.38） 號(hào)0護(hù)（說(shuō)） （例 12.39） 函數(shù)化（COS0）是著需的勒讓徳多項(xiàng)式，適當(dāng)選擇系數(shù)可以寫(xiě)成 代（cos。）- ! d r （cos2 1/ “ 2n/7! J（cos9）n L （例 12.40） 前而幾個(gè)多項(xiàng)式徳表達(dá)式如下， 吒=1 （例 12.41） 片（COS&） = COS

26、& （例 12.42） 只（cos） = （3cos，&-1） 2 （例 12.43） R（cos&） = （5cos3 8-3cos8） 2 （例 12.44） 并非所有獨(dú)立的解都可以寫(xiě)成（例12.39）的形式，例如特解（例12.35） 就不行。 為了得到所有可能形式的解，讓我們討論拉普拉斯方程的特點(diǎn)。在球坐標(biāo)下， 滬=1嚴(yán)+ 1 sin異 + 1 r2 dr dr r2 sin 0 dO dr r1 sin2 0 d（fr （例 12.45） 只考慮軸對(duì)稱(chēng)性電勢(shì)解，它與0角無(wú)關(guān)。分離變量,代入(12.33)得到 (p = 7?(r)O() (例 12.46) O()

27、 L r1 /?(r) + R(p) -U sin 9 0() = 0 (例 12.47) r dr dr 廠(chǎng) sin & dO (10 兩邊除 R(r)Q0)lr2, _L_fLr2_/?(r)= -! - sin9 O(6) = O() + a s in 6O( O(6) + 伙+ l)sin6G(（cos a （例 （例 12.67） 12.68） （p（p,z） = （例 12.69） E = 一呵= a區(qū)域電勢(shì)的第二項(xiàng)。 13.4電磁場(chǎng)邊值關(guān)系 12.6電介質(zhì)的界而條件 跨過(guò)電介質(zhì)界而作一個(gè)很小的垂宜界面的扁平圓柱形高斯而如圖12-9.根據(jù)髙斯龍律, 旬甘麗 +0, （12.

28、70） S 其中Qf和Qp分別為高斯而包括的界而自由電荷和束縛電荷。 圖12-9.兩種介質(zhì)的界面。&和心分別為界面處 介質(zhì)1和介質(zhì)2中的電場(chǎng)。n為法向單位矢量。 取側(cè)而髙度趨向于零，則側(cè)而對(duì)（12.70）式的曲而積分沒(méi)有貢獻(xiàn)。因?yàn)轶{斯面很小， 曲面上下面的電場(chǎng)可認(rèn)為是均勻的。（12.70）式成為 （E2-E）-nS = Qf+Qp （12.71） 引入表而自由電荷密度j=QJS和表而朿縛電荷密度bp=QJS ,上式寫(xiě)成 呂）（E2 一 ） 斤=7, + CT” （12.72） 又從（12.62）知道，束縛電荷可以寫(xiě)成電極化強(qiáng)度P沿閉合曲而積分， P = -Qp （12.73） S 取側(cè)

29、面髙度趨向于零，則側(cè)而對(duì)（12.73）式的曲而積分沒(méi)有貢獻(xiàn)。因?yàn)轶{斯面很小，曲而 上下而的電極化強(qiáng)度戶(hù)可認(rèn)為是均勻的，于是 （必-*）* = -礙 （12.74） 代入（12.71）得 勺（直-&）心巧一伉一用 4 （勺民+引-仏應(yīng)+用力=刃 （52-5,） = 0-, （12.75） 這是關(guān)于電位移矢量的邊界條件 （對(duì)非靜電場(chǎng)也適用） 。 直接應(yīng)用（12.66）式也可以得到 （12.75）式。 跨過(guò)界而作一很小的垂直界面的狹長(zhǎng)矩形閉合回路L,如圖12-10。因?yàn)殪o電場(chǎng)的旋度 等于零（見(jiàn)（12.3）式），電場(chǎng)沿回路積分等于零， fEJr = 0 （12.76） 圖12-10.跨過(guò)介質(zhì)表

30、而的閉合回路。 取回路垂直界而的邊長(zhǎng)趨向于零，并設(shè)平行界面的邊長(zhǎng)很短，上下邊的電場(chǎng)可認(rèn)為是 均勻的，（12.76）式成為 （,-）7 = 0 （12.77） 因?yàn)?與法向單位矢量介垂直，所以上式也可以寫(xiě)成 （E2-E（ ）X/? = 0 （12.78） 此為界而上靜電場(chǎng)的第二個(gè)邊界條件。 13.4電磁場(chǎng)的能量和能流 電磁場(chǎng)是一種物質(zhì)，它本身應(yīng)該具有一泄的能量。帶電粒子在電場(chǎng)中加速，能量增加, 增加的能量應(yīng)該來(lái)自于電場(chǎng)。在下一章我們將學(xué)到，帶電粒子速度變化時(shí)會(huì)發(fā)射（或吸收） 電磁波。因此能疑可以在帶電粒子和電磁場(chǎng)之間轉(zhuǎn)移。在只有帶電粒子和電磁場(chǎng)的系統(tǒng)中， 我們相信兩者的能量之和是守恒的。假設(shè)電磁

31、場(chǎng)的能量以某種方式分布在空間各處，引入能 量密度來(lái)描寫(xiě)能量的分布。當(dāng)電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，可以想象空間各點(diǎn)的能量也隨 之變換。我們進(jìn)一步假定能量是龍域守恒量，即空間一區(qū)域的能量變換必須通過(guò)伴隨著能量 通過(guò)區(qū)域界而的轉(zhuǎn)移。引入能流密度f(wàn) （三維矢量）描寫(xiě)能量轉(zhuǎn)移。（的方向指向能量傳S= ExB (13.54) 輸?shù)姆较?，它的大小等于單位時(shí)間流過(guò)與它的方向垂直的單位而積的能量。 根據(jù)第十一章的洛倫茲力公式(11.22),體積微元dr中速度為0的帶電物質(zhì)受到的電 磁作用力等于 df =(E + vxB)pclr 其中 Q 為該帶電物質(zhì)的密度。電磁場(chǎng)對(duì)空間區(qū)域V中的帶電物質(zhì)作功的功率為 J v = |

32、(pE + pv x B)- vJr = j pv- Edr = j Edr V V V 區(qū)域內(nèi)電磁能量的增加率等于 按照能流密度的左義，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)區(qū)域的界而流入?yún)^(qū)域的能量等于 -gf 力= -jv-S6/r (13.48) ev v 式中0V表示區(qū)域V的界面，方向規(guī)左為指向區(qū)域的外部，故式中有一負(fù)號(hào)。根據(jù)能量守恒, (13.48)等于(13.46)與(13.47)之和, =j* j Edr + -j*vvJr 因?yàn)閰^(qū)域V是任意的，故有微分方程 一 d v 一 一 S +訂- 為了猜出w和f的表達(dá)式，通過(guò)麥克斯威方程用電磁場(chǎng)表示(13.50)式的右邊。由 (13.37)得 利用矢呈公式V(

33、t7x)=(Vxa)上式化為 (13.45) (13.46) (13.47) V 按照能量密度的左義, (13.49) (13.50) J.E = E.(VxB)-.f (13.51) (13.52) 利用(13.35)把中括號(hào)中得第一項(xiàng)寫(xiě)成磁場(chǎng)得變化率, “0 =一一V-(ExB)-l “ C dE dt (13.53) 2 納衣+尹 J 代入(13.50)并比較兩邊，發(fā)現(xiàn)電磁場(chǎng)能流密度和能量密度得一種可能得選擇為 1 (13.55) 由（13.54）式左義得矢量稱(chēng)為坡印亭矢量。需要指出的是，以上兩式給岀能流密度和能量 密度僅是一種最簡(jiǎn)單的可能選擇，存在滿(mǎn)足能量守恒關(guān)系（13.50）的有其它

34、解。至今還沒(méi) 有實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)電磁場(chǎng)能量的確切分布和流動(dòng)情況。 13.5電磁場(chǎng)理論 本右我們把電磁場(chǎng)理論納入第二篇介紹的力學(xué)框架， 即以最小作用原理為第一性原理, 從新建立電磁場(chǎng)的經(jīng)典理論。 （1）場(chǎng)強(qiáng)張量 四維勢(shì)滿(mǎn)足的場(chǎng)方程（13.14）可以寫(xiě)成 6（刑4 -6/）=-從兒 （13.56） 為了方便以后表述，在上式中我們對(duì)（13.14）的上下標(biāo)作了調(diào)整立義四維場(chǎng)強(qiáng)張量 (13.57) 利用場(chǎng)張量，場(chǎng)方程被寫(xiě)成 (13.58) 容易驗(yàn)證四維場(chǎng)張量的重要性質(zhì)一一規(guī)范不變（習(xí)題13）。因此，場(chǎng)張量的分量是可 以測(cè)量的物理咼。 事實(shí)上它的分量可以和電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度聯(lián)系起來(lái)。 利用（13.22） 和（1

35、3.28）式，可以得到（習(xí)題13.2） 它是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)的4乘4矩陣，也稱(chēng)為法拉第張疑化電磁場(chǎng)張量按張量的一般變換方式變 換， (13.60) 其中為洛倫茲變換矩陣。由（13.60）不難得到電磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)在兩個(gè)慣性系之間的變換方式, (13.61) 3本書(shū)選擇的度規(guī)張雖是4乘4單位矩陣.即糾,=0=3“因此張量的指標(biāo)可以隨總提升和下降 文中用上下標(biāo)來(lái)強(qiáng)調(diào)求和的重復(fù)指標(biāo)。 iE0 -B _ i_ c -艮 0 遲 厶 B2 語(yǔ) 0 遲 iE c iE2 c 遲 c 0 (13.59) )E2+ B2 Ao E； =/(E + vxB), (13.62) 4矢勢(shì)A相、I于電荷空間的聯(lián)絡(luò)，?？耍‵ock）

36、和外爾（Weyl）把法拉第張雖解釋為電荷空間的曲率張 雖。E； =/(E + vxB), (13.62) 其中/ = l/Vl-v2/c2 o （2）對(duì)偶變換 貞空中電荷密度和電流密度均等于零，因此真空麥克斯威方程組為 - & - V x = -B （13.63） dt VE = 0 （13.64） VXB = 4-E C2 ar VB = 0 這組方程式隱藏著電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的對(duì)稱(chēng)性，即真空麥克斯威方程組經(jīng)變換 (13.67) 引入全反對(duì)稱(chēng)Levi-Civita符號(hào)它當(dāng)卩吋 是（123,4）的偶置換時(shí)等于1,是 （1234）的奇宜換時(shí)等于1，否則等于0。可以證明Levi-Civita符

37、號(hào)是一個(gè)4階張氐 利 用Levi-Civita符號(hào)，對(duì)偶變換可以寫(xiě)成 1 F 汕尸 （13.69） 因?yàn)長(zhǎng)evi-Civita符號(hào)是張量，所以對(duì)偶場(chǎng)張量斤也是一個(gè)張量。易見(jiàn)，對(duì)對(duì)偶場(chǎng)張量戶(hù)作 對(duì)偶變換得到一尸。 利用對(duì)偶場(chǎng)張量可以把麥克斯威方程組中的（13.35）和（13.38）式寫(xiě)成緊湊的形式， daF =0 （13.70） 如果用場(chǎng)張量來(lái)表示，上式可寫(xiě)成 (13.65) (13.66) 之后保持原來(lái)的樣子。這個(gè)變換稱(chēng)為對(duì)偶變換, 對(duì)偶變換等價(jià)于場(chǎng)張量的變換 真空電磁場(chǎng)的這個(gè)對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為對(duì)偶對(duì)稱(chēng)性。 0 E. c c Ey 7 FF = C 0 _ _L c c c 0 -iB, iB iB2

38、 iB、 0 (13.68) E； =/(E + vxB), (13.62) 6碼+久巧+。比=0 （13.71） （13.70）和與之等價(jià)的（13.71）是引入矢勢(shì)描寫(xiě)電磁場(chǎng)所需要滿(mǎn)足的自洽條件。換句話(huà)說(shuō), 如果場(chǎng)張量尸由(13.59)式左義，而其中的電磁場(chǎng)強(qiáng)度E和B和矢勢(shì)的關(guān)系分別由(13.28) 和(13.22)式給出，則(13.70)(即(13.71)成為恒等式,幾何學(xué)上稱(chēng)為Bianchi恒等式。 矩陣方程(13.58)加上(13.70)式和麥克斯威方程等價(jià)。這兩條方程有非常相似的形 式，尤其是對(duì)電流密度等于零(真空)的情形。如果有磁單極子，(13.70)的右邊將出現(xiàn)磁 單極流密度，這

39、樣(13.58)和(13.70)式便完全對(duì)稱(chēng)。但這么一來(lái)，就不能自洽地引入矢 勢(shì)了。 (3)作用量和場(chǎng)方程 如第二篇第五章，電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)方程即場(chǎng)方程也可以納入最小作用量原理的框架。 對(duì)于一個(gè)圧域的理論，作用量一般地可以寫(xiě)成拉格朗日密度的四維時(shí)空積分。 /= j Ldt =j (x)d4x (13.72) 拉格朗日密度匕)是基本自由度及其導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。要寫(xiě)出電磁場(chǎng)的拉格朗日密度，首 先要知道電磁場(chǎng)的基本自由度。 我們至今介紹了兩套描寫(xiě)電磁場(chǎng)的方案，一種方案采用場(chǎng)強(qiáng)E和b作基本變量，另一 種采用四維矢勢(shì)A (“ = 1,2,3,4)。場(chǎng)強(qiáng)滿(mǎn)足麥克斯威方程組。麥克斯威方程組只含時(shí)間 的一次微分，

40、因此場(chǎng)強(qiáng)的演化由任意給左時(shí)刻的場(chǎng)強(qiáng)完全確定。每一空間點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁 感應(yīng)強(qiáng)度分別有三個(gè)分量，所以對(duì)每一空間點(diǎn)需要知道6個(gè)實(shí)數(shù)分量的初始條件。 四維矢勢(shì)有四個(gè)分量，但存在規(guī)范任意性。在一小區(qū)域內(nèi)可取特左規(guī)范把規(guī)范任意性 完全消除，剩下三個(gè)分量(例如取時(shí)性規(guī)范A4=0),故四維矢勢(shì)實(shí)際上只有3個(gè)獨(dú)立分量。 關(guān)于四維矢勢(shì)的場(chǎng)方程是時(shí)間的二階微分方程，所以需要知道某時(shí)刻的三個(gè)獨(dú)立矢勢(shì)分量和 他們的一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)作為初始條件才能完全確定四維矢勢(shì)的演化。 可見(jiàn)，至少就局部性質(zhì)而言，場(chǎng)強(qiáng)和四維矢勢(shì)的自由度是一樣的。但已經(jīng)知道存在不 能在全空間選取單一規(guī)范的情況，使得電磁場(chǎng)得一些大范用整體性質(zhì)不能用場(chǎng)強(qiáng)描述，

41、而只 能用四維矢勢(shì)來(lái)描述。場(chǎng)強(qiáng)不足以完全描寫(xiě)電磁場(chǎng)，四維矢勢(shì)能完整描寫(xiě)電磁場(chǎng)但又有多余 的任意性。 因?yàn)殛P(guān)于四維矢勢(shì)的場(chǎng)方程是時(shí)間的二階微分方程，選用四維矢勢(shì)為基本自由度可以 建立和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)類(lèi)似的動(dòng)力學(xué)。暫時(shí)不考慮規(guī)范任意性，認(rèn)為電磁場(chǎng)的自由度為 A(F)I“ = 1,2,3,4;WWV,英中V為電磁場(chǎng)存在的空間。拉格朗日量是拉格朗日密度的 空間積分，而拉格朗日密度是依賴(lài)于,。/(兀)和電流密度丿的函數(shù)， 厶=皿 壬 (13.73) 作用量定義為 J 畋人,”,丿(x)c/h (13.74) 根據(jù)最小作用原理 回=0 (13.75) 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的程序可以推導(dǎo)出拉格朗日方程(它是第二篇第五章的有限自由度拉格朗日方程到(13.76) 無(wú)窮多自由度的推廣，參見(jiàn)8.4節(jié)關(guān)于一維原子鏈的討論和本章附錄。） 6 。 O _ c _ 6A v Q（Q，A） 它必須和正確的場(chǎng)方程（13.58）式一致。 相對(duì)論協(xié)變性和規(guī)范不變性對(duì)拉格朗日密度有很強(qiáng)的限制。相對(duì)論的協(xié)變性原理要求 作用量為洛倫茲不變量，規(guī)范不變性原理要求