平面波通過(guò)光闌──透鏡分離系統(tǒng)的焦移

1、1997年3月安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofAnhuiUniversityNaturalScienceEditionMarch1997Vol.21No.1第21卷第1期平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的焦移劉學(xué)軍(安徽大學(xué)物理系合肥230039)摘要本文運(yùn)用Collins衍射積分公式分析了平面波通過(guò)光闌關(guān)鍵詞光闌透鏡分離系統(tǒng),Collins公式,焦移,對(duì)稱分布中圖分類號(hào)O436.1透鏡分離系統(tǒng)的焦移情況,給出了明確的表達(dá)式,并以數(shù)值計(jì)算例說(shuō)明。還得到了兩種對(duì)稱分布。0引言已有文獻(xiàn)12利用惠更斯菲涅耳衍射積分方法分析了球面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的衍射情況,得出其焦移同光闌與薄透鏡之距離有

2、關(guān)的結(jié)論,但未能給出具體的公式。本文從Collins衍射積分公式出發(fā),具體分析了平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的焦移情況,較嚴(yán)格地導(dǎo)出了有關(guān)焦移的表達(dá)式,并結(jié)合數(shù)值計(jì)算例進(jìn)行說(shuō)明,得到當(dāng)滿足一定的分離條件時(shí),其軸上聚焦光強(qiáng)的極大值點(diǎn)既可位于透鏡幾何焦點(diǎn)的左側(cè),也可位于其右側(cè),或相重合,還得到了一定條件下的對(duì)稱分布等結(jié)論。圖1平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的衍射1焦區(qū)附近的場(chǎng)、強(qiáng)分布1,一單色平面波入射到一光闌無(wú)孔徑薄透鏡分離的光學(xué)系統(tǒng)上,該系統(tǒng)AB以矩陣su來(lái)描述。其中,透鏡到光闌平面的距離為S0,F為薄透鏡的后焦點(diǎn),f為焦C距,P點(diǎn)為焦區(qū)附近空間中一代表點(diǎn)。對(duì)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱系統(tǒng),為了方便計(jì)算,我們采用柱

3、坐收稿日期:1996-11-05© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第1期劉學(xué)軍:平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的焦移43=acosx=rcos(01)若入射面上=asiny=rsin.2的場(chǎng)分布為:U0=A0,則根據(jù)Collins公式,P點(diǎn)的場(chǎng)分布可寫成:21222Dr-iklBeBad(1)U(P)=eeJ0未能BB0,)及(,Z),其中:標(biāo)系(a(其中:LA,若=BS0+L=S0+f+z)以矩ABCD=區(qū)附則U(P)=1S01l10射。1-1/f011-l/fz(1-l/f

4、)s0+l=,-1/f1-s0/fS)S0f-i(1-l+(1-)S0f-i(1-)22al+(1-)S0fl+(1-ikLJ0)S0l+(1-0f1,dF(z)=-NaB)1+(1-ff,(F(z)為整個(gè)系統(tǒng)的全菲涅耳數(shù))令E(r,z)=l+(1-)S0f=2Na)1+(1-ff(2)=Na,(Na為觀察點(diǎn)在透鏡后焦點(diǎn)處孔徑的菲涅耳數(shù)f進(jìn)一步有2(1-)S0+lf=2iA0Na1+(1-),fNa1)2r+KL=l+(1-)S0(1-)1+ffNa(1-()-2F(Z)a(3)2+1-24Naf(令此式等于 )+K(S0+f)l=1 NN)F(z)e-則:U(P)=2iA0Na+(1-fi

5、NiF(Z)d(4)J0E(r,z)e+1© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.44安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第21卷3I(P)=U(P)U(P)=I01+(1-222)C+S,fNa(5)2I0=(A0Na),為透鏡后焦點(diǎn)處的光強(qiáng)大小。其中:).S=2J(E(r,z)sin(F(z)dC=20100212),(6)J0(E(r,z)cos(F(z)di以上即為焦區(qū)附近空間的場(chǎng)、強(qiáng)分布。2焦移情況2.1場(chǎng)、強(qiáng)分布對(duì)于主軸上近焦區(qū)域的場(chǎng)、強(qiáng)分布,由(4)式可得:U(P)=-)1+

6、(1-e-F(Z)fNaikL(e-iF(Z)2-1),(7)()()sin2)I(P)=I01+(1-()fNa2(8)2.2焦移及光強(qiáng)變化情況(1)表達(dá)式由(8)式,可進(jìn)一步求出軸上光強(qiáng)最大值處的位置,由求dF(z)=0tan(=0,要dzdF(z)dzF(z)()M)(9)可推得:=1+(1-fNaF(z)2M軸上最大光強(qiáng)所對(duì)應(yīng)的FM(z)的值即由上式所確定。由此式也可見(jiàn):FM(z)的值由Na及所決定。進(jìn)一步,由(2)式,可得相對(duì)焦移的大小:f()z=-fS)FM(z)Na+(1-f(10)(其中:zM表示軸上聚焦光強(qiáng)的極大值點(diǎn)同透鏡幾何焦點(diǎn)的偏離,z反映相對(duì)偏離程度)相對(duì)光強(qiáng)的大小為:

7、a=I0I0FM)+(1-fNa2sin2(F)-1,2M(11)(其中:Imax表示軸上聚焦光強(qiáng)極大值處所對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)值).© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第1期劉學(xué)軍:平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的焦移45z隨Na及的具體變化情由上兩式也可見(jiàn):z及的大小皆由Na及所決定。I0fI0f況,我們?cè)谙旅娼o予討論。(2)作圖和討論S圖2-1取幾個(gè)確定值時(shí),f圖2-2取幾個(gè)確定值時(shí),I0fz隨Na的變化隨Na的變化圖3-1Na取幾個(gè)確定值時(shí),z隨的變化f圖3-2Na取幾個(gè)確定值時(shí),

8、隨的變化fI0© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.46安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第21卷當(dāng)論當(dāng)Na一定時(shí),z隨的變化關(guān)系圖。I0f一定時(shí),z隨Na的變化關(guān)系圖.fI0(1)由圖2-1,圖2-2可見(jiàn):當(dāng)為一定值時(shí),|z|及都隨著Na的增大而減fI0少,隨Na的減少而增大。當(dāng)Na時(shí),即過(guò)渡到幾何光學(xué)成像情況。(2)結(jié)合圖3-1、圖3-2分析一下,當(dāng)Na取幾個(gè)確定值時(shí),z及I0隨的變化情f的變化分以下三種情況來(lái)討論:0S0<f時(shí):其中,若S0=0時(shí),則有:fF(z)=-Na,

9、E(r,z)=2Na,若以N=-2F(z)來(lái)替換F(z),則1+1+ff(8)、(9)式成文獻(xiàn)(3)中的(3.2)、(3.11)式。0<<1時(shí),有0<1-<1,由(9)式ffF可得出:此時(shí),光強(qiáng)最大值處所對(duì)應(yīng)的FM(Z)的值大于零,則z=-<)FMNa+(1-f0,即焦移是離開透鏡的焦點(diǎn)移向透鏡方向。由圖可見(jiàn):當(dāng)Na一定時(shí),在0<1區(qū)間fS內(nèi),z為負(fù)值,且|z|隨著的增大而逐漸減小,趨于零。I0f況。針對(duì)2sin=1時(shí),1-=0,則軸上光強(qiáng)分布為:I(P)=I0,此式類似于夫瑯ff2f和費(fèi)單縫衍射時(shí)的橫向光強(qiáng)分布。當(dāng)z=0時(shí),得中央主最大值:Imax=I0.

10、可見(jiàn),此時(shí)不管Na如何變,FM(z)=0,z=0處(即后焦點(diǎn)處)的光強(qiáng)恒為最大值,即無(wú)焦移產(chǎn)生。2時(shí):有-11-<0,進(jìn)一步,由(9)式可得出,此時(shí)光強(qiáng)最大值處所對(duì)ff應(yīng)的FM(z)的值小于零,則:z>0,即此時(shí)的焦移是離開透鏡的焦點(diǎn),背離透鏡方向。由1<圖可見(jiàn):當(dāng)Na一定,1<逐漸增大。2時(shí),z恒為正值,且隨著的增大,z及的值也隨著ffI0M(3)兩種對(duì)稱分布:當(dāng)S0=f時(shí),此時(shí)軸上光強(qiáng)是關(guān)于透鏡的后焦點(diǎn)呈左、右對(duì)稱分布的。在此可證明:S0=f時(shí),由(2)、(8)兩式,有:F(z)=-Na,I(P)=fsinI0F(z)F(z)22,若:z2=-z1,則:F2(z)=

11、-F1(z),I2(P)=I1(P)。© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第1期劉學(xué)軍:平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)的焦移47當(dāng)取一些關(guān)于=1處的對(duì)稱值(如=0同=2處,=同=處等)fffff2f2=m(0m<1時(shí)),對(duì)應(yīng)于z處的光強(qiáng)為I(z),其關(guān)于=1處的對(duì)稱ff之時(shí),衍射后焦區(qū)附近的軸上光強(qiáng)分布及焦移情況呈現(xiàn)出關(guān)于透鏡后焦點(diǎn)的對(duì)稱分布。證明如下:若處為:(8)兩式,若z=-z,則有:F(z)=F(-z)=-F(z),=2-m,此時(shí),據(jù)(2)、f(z)=I(z),即關(guān)

12、于I=1處的對(duì)稱處的軸上光強(qiáng)是關(guān)于焦點(diǎn)沿軸對(duì)稱分布f的。顯然,兩對(duì)稱處的焦移也是關(guān)于透鏡的后焦點(diǎn)沿軸對(duì)稱分布的。3總結(jié)以上我們立足Collins衍射積分公式,分析了平面波通過(guò)光闌透鏡分離系統(tǒng)后的焦(5)兩式出發(fā),對(duì)其焦區(qū)移情況,得到了一些有意義的結(jié)果。更進(jìn)一步,我們還可以從(4)、附近空間的三維光強(qiáng)分布及位相分布情況做具體的討論,有關(guān)內(nèi)容,將另文分析。參考文獻(xiàn)1R.G.Wenzeletal.J.Opt.Soc.Am.A,1986;3(6):8382R.G.Wenzel.J.Opt.Soc.Am.A,1987;4(2):3403YajunLiandEmilWolf.OpticsCommun,19

13、81;39(4):2114M.BornandE.Wolf.PrinciplesofOptics,6thedition,pergamonpress,1980FocalShiftinaPlaneWaveFocusedbyanApertureLensSeparatedSystemLiuXuejun(DepartmentofPhysics,AnhuiUniversity)AbstractApplyingtheCollinsformula,thefocalshiftforaplanewavepassingthroughanaperture-lensseparatedsystemisanalysedinthispaper.Apositiveequationisderivedandillustratedbynumericalcalculations.Twok