平面向量的基本功

1、平面向量的基本功，你掌握了嗎 李啟盛平面向量的基本功，包括平面向量概念、方法、易錯(cuò)點(diǎn)及應(yīng)試技巧，只有掌握這些基本功，就容易學(xué)好平面向量，我們不妨看一看自己對(duì)基本功知道多少。1、向量有關(guān)概念 （1）向量的概念，既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別，向量常用有向線(xiàn)段來(lái)表示，但不能說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段，因?yàn)橄蛄靠梢云揭?。如已知A（1，2），B（4，2），則把向量按向量平移后得到的向量是_。（答案：（3，0）。 （2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0。注意零向量的方向是任意的。 （3）單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與共線(xiàn)的單位向量是）。 （4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的

2、兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量具有傳遞性。 （5）平行向量（也叫共線(xiàn)向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作ab，規(guī)定零向量和任何向量平行。注意：相等向量一定是共線(xiàn)向量，但共線(xiàn)向量不一定相等，兩個(gè)向量平行與兩條直線(xiàn)平行是不同的兩個(gè)概念，兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線(xiàn)，但兩條直線(xiàn)平行不包含兩條直線(xiàn)重合，平行向量無(wú)傳遞性（因?yàn)橛?），三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn)共線(xiàn)。 （6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是a。如有下列命題：若，則，兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，若，則ABCD是平行四邊形，若ABCD是平行四邊形，則，若，則，若，則。其中正確的是_（

3、答案：）。2、平面向量的基本定理 如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。如若，則c_（答案：）。3、實(shí)數(shù)與向量的積 實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作。它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定：，當(dāng)時(shí)，的方向與a的方向相同，當(dāng)時(shí)，的方向與a的方向相反，當(dāng)時(shí)，注意。4、平面向量的數(shù)量積 （1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a、b，作，則稱(chēng)為向量a、b的夾角。當(dāng)時(shí)，a與b同向；當(dāng)時(shí)，a與b反向；當(dāng)時(shí)，a與b垂直。 （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a、b，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積、點(diǎn)積），記作。規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)

4、實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，如ABC中， 則_（答案：9）。5、向量的運(yùn)算 （1）向量加法的平行四邊形法則只適用于不共線(xiàn)的向量，向量加法還可利用三角形法則。設(shè)，那么向量叫做a與b的和，即 （2）向量減法的三角形法則，設(shè)，那么，其方向由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)，注意此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如化簡(jiǎn)：_，_，_（答案：，0）。6、向量平行（共線(xiàn)）的充要條件 。如向量，當(dāng)x_時(shí)，a與b共線(xiàn)且方向相同（答案：2）。7、向量垂直的充要條件。特別地 如已知若，則m_（答案：）。8、線(xiàn)段的定比分點(diǎn) （1）定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上異于的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則叫做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比，P

5、點(diǎn)叫做有向線(xiàn)段以定比為的定比分點(diǎn)。 （2）的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，；當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，；當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，；若P點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成的比為，則P點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成的比為。如點(diǎn)P分所成的比為，則點(diǎn)A分所成的比為_(kāi)（答案：）。9、平移公式 如果點(diǎn)P（x，y）按向量平移至P（x，y），則曲線(xiàn)按向量平移得曲線(xiàn)。特別注意：向量平移具有坐標(biāo)不變性。向量中的三角形“四心”問(wèn)題李啟盛學(xué)習(xí)向量的加減法離不開(kāi)三角形，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心是三角形性質(zhì)的重要組成部分，你知道它們的向量表示嗎？你能證明嗎？下面的幾個(gè)結(jié)論也許能給同學(xué)們一點(diǎn)幫助。結(jié)論1：若點(diǎn)O為ABC所在的平面

6、內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)O為ABC的垂心。證明：由，得，即，所以。同理可證。故O為ABC的垂心。結(jié)論2：若點(diǎn)O為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)O為ABC的垂心。證明：由，得，所以。同理可證。容易得到由結(jié)論1知O為ABC的垂心。結(jié)論3：若點(diǎn)G為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)G為ABC的重心。證明：由，得。設(shè)BC邊中點(diǎn)為M，則，所以，即點(diǎn)G在中線(xiàn)AM上。設(shè)AB邊中點(diǎn)為N，同理可證G在中線(xiàn)CN上，故點(diǎn)G為ABC的重心。結(jié)論4：若點(diǎn)G為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則點(diǎn)G為ABC的重心。證明：由，得，得。由結(jié)論3知點(diǎn)G為ABC的重心。結(jié)論5：若點(diǎn)P為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，則點(diǎn)P為ABC的內(nèi)心。證明：由于，可得。設(shè)與同方向的單位向量為，與同方向的單位向量為，則。因?yàn)闉閱挝幌蛄浚韵蛄吭贏的平分線(xiàn)上。由，知點(diǎn)P在A的平分線(xiàn)上。同理可證點(diǎn)P在B的平分線(xiàn)上。故點(diǎn)G為ABC的內(nèi)心。結(jié)論6：若點(diǎn)O為ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)