巧求最值問(wèn)題八種方法

1、巧求最值問(wèn)題八種方法如何求“最值”問(wèn)題求最大值與最小值是中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一種題型.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中作為一個(gè)艦點(diǎn)大量存在，解 這類題有一定的難皮和技巧，所以不少同學(xué)為之感嘆，這里向大家介紹一些求置值問(wèn)題的方法與 技巧。一、利用配方求眾值例1 :若x,y是實(shí)數(shù)，則x2- + y2-3x-3y + 1999的最小值是。分析：由于是二次多項(xiàng)式，難以直接用完全平方公式，所以用配方法來(lái)解更為簡(jiǎn)捷。 原式=：丄(尤2 _2；o，+y2)+ 丄(兀2 _6x + 9) + 丄(y2 _ 6 + 9) + 1990= |(x-y)2 +|(x-3)2 +斗()，一 3)2 +1990厶厶厶顯然有(x-y)?。，(x-

2、3) 2O,(y-3) 2 0,所以 當(dāng)x-y=0, x-3=0, y-3 = 0時(shí)，得x=y=3時(shí)，代數(shù)式的值最小，最小是1990;例2,設(shè)x為實(shí)數(shù)，求y =衛(wèi)一兀+丄一3的最小值。x分析：由于此函數(shù)只有一個(gè)未知數(shù)，容易想到配方法，但要注意只有一個(gè)完全平方式完不成, 因此要考慮用兩個(gè)平方完全平方式，并使兩個(gè)完個(gè)平方式中的x取值相同。由于y=x2 -2x + l+ x + -2-l = (x-l)2 +(Vx )2 -1，要求 y 的最小值，必須有 x 1 = 0, Xy/X且 != = 0,解得 x = 1,y/X. 1于是當(dāng)x = 1時(shí)，y=fx + 3的最小值是7。X二、利用重要不等式求

3、最值例3:若xy=1,那么代數(shù)式 +的最小值是ox 4y分析：已知兩數(shù)積為定值，求兩數(shù)平方和的最小值，可考慮用不等式的性質(zhì)來(lái)解此題，1 1 1 2 / 1、21 1 1 一r + 7 ( ) + ( ) » 2- =；1x 4y2廠f 2)廠(xyY所以:7 + T-的最小值是1x 4y4*三、構(gòu)造方程求最值例4：已知實(shí)數(shù)a. b> c滿足：a+b+c = 2, a b c=4.求a、b > c中的最.大者的置小值.分析:此例字母較多，由已知可聯(lián)想到用根與系數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造方程來(lái)解。4 解：設(shè)c為最大者，由已知可知,c>0, 得：a+b二2-c, ab=_，則a. b

4、可以看作c>4?4對(duì)一(2 c)x + = 0的兩根，因?yàn)閍、b是實(shí)數(shù)，所以(2-c)2-4->0 ,即ccc3-4c2+4c-16>0, (c + 2)(c-2)(c-4)>0，得 c<2 或 c24,因?yàn)?c 是靈大者，所以 c的最小值是4.四、構(gòu)造圖形求黃值例5：使厶2+4 + 丁(8-羽2+16取最小值的實(shí)數(shù)x的值為分析：用一般方法很難求出代數(shù)式的罠值，由于y/x2+4 + J(8_x)?+16=J(x_O)2+(O_2)2 + J(x_8)2+(0_4)2 ,于是可構(gòu)造圖形，轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn) c(x,0),使它到兩點(diǎn)A(0, 2)和B (8, 4)

5、的距離和CA + CB置小，利用對(duì)稱可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，這 樣，通過(guò)構(gòu)造圖形使問(wèn)題迎刃而解。解：ylX" + 4 + J(8 - x) +16二 J(x-0) +(0-2) + J(x-8)+ (0-4)".0k+b = -28k + b = Sk=-4b = 2于是構(gòu)造如圖所示。作A (0, 2)關(guān)于x軸的 對(duì)稱點(diǎn)A' (0, -2),令直線A' B的解析式為y二kx+b,3 8 所以y = x-2,令y=0,得x =-4 3即C點(diǎn)的坐標(biāo)是負(fù)0),所以蚣=§時(shí)，厶2+4 + J(8_x)2+殆最小值 33五、利用判別式求最值3f +6x + 5例6:

6、求y= ；的置小值52 + x +1解：去分母可以整理出關(guān)于x的一元二次方程，(y-6)x2 -(2y-12)x + (2y-10) = 0,因?yàn)?x 為實(shí)數(shù)，所以$()得：4WxW6,解得，故y的最小值是4六、消元思想求最值例7：已知a、b> c為整數(shù)，且a+b=2006,c-a=2005? a<b,則a+b+c的靈大值為(200 6年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)分析由題：由于是求三個(gè)未知數(shù)的最大值，設(shè)法將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知數(shù)的形式，由題設(shè)可得 b=2006-a, c=2O05+a,將其代入原式得：a+b+ c =a + 20O6 a+2005+a =4011+a又 a+b=20O6,

7、a、b 均為整數(shù)，a<b,所以 aW10O2,所以當(dāng)a=100 2時(shí)，a + b+c 的我大值是40 1 1+1002=501 3七、利用數(shù)的整除性求眾值例8：已知a、b為正整數(shù)，關(guān)于x的方程x2-2ax + b = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根xx> x 關(guān)于y的方程y2 + lay + h = 0兩個(gè)實(shí)數(shù)根為y. y?，且滿足山兒一七比=2008,求b的最小值。(數(shù)學(xué)周報(bào)杯2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)試題)分析與解：因?yàn)榉匠蘕2 一 2ax + b = 0與y2 + lay + b = 0有實(shí)根，所以有：(2a)2 -4Z?>0, a2 >b9由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x+x2= 2a,

8、 x x2=h- Vj + y2 = 2a. y y2 =b 即 a + >2 = -2d = -(X| +X2) = (-%!)+ (-X2)bv'2 =(-i )(-2)解得:或.)2=一兀2 US =-1把y”)2的值分別代入，Xy2 -X2y2 = 2008 得x(-X|) - x2(-x2) = 2008 ,或X(-x2) 一x2) = 2008 (不成立)即x22 一器=2008, (x2 + X,)(x2 -%!)= 2008因?yàn)?x + x2 = 2a > 0, x x2 = b> 0 所以 x > 0, -r 2 > 0于是有 2a也，4

9、b = 2008 即cNa -b = 1x502 = 2x251因?yàn)閍, b都是正整數(shù)，所以a = _Ja = 5O5或*I? 一 = 502廠 a2-b = a = 2 a2-b = 252或“a = 251 a2-b = 4a = S = 502S = 2. 或<了或qZ? = l-5022/? = 5022 -1/? = 2-2512分別解得:a = 251/? = 2512-4經(jīng)檢驗(yàn)只有Jg "2a = 25符合題意./? = 5022 -f 少=251'-4所以b的最小值為:= 2512-4=62997八. 利用函數(shù)的增減性求最值例9:設(shè)x> x 2是方程2x2 - 4mx + 2nr + 3m - 2 = 0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m為何值時(shí),Xj2+X22有最小值,并求這個(gè)最小值。解:因?yàn)榉匠?x2 -4mx + 2m2 + 3m-2 = 0有實(shí)根，所以4 = (4m)2 - 82/?/2 + 3m -2) > 0，解得 m < 由根與系數(shù)的關(guān)系Xj + x2 = 2m,兀2 =+引"26 n37于是xj +x2 = (x, +x2)2 -2x,x2