4-4極坐標、參數(shù)方程

1、參 數(shù) 方 程 集 中 訓 練 題 型 大 全上傳人：王位高 QQ:632596693 希望各位數(shù)學愛好者多交流選擇題參在極坐標系中，點(,)與(-, -)的位置關(guān)系為( )。 A關(guān)于極軸所在直線對稱 B關(guān)于極點對稱 C關(guān)于直線= (R) 對稱 D重合極坐標方程 4sin2=5 表示的曲線是( )。 A圓 B橢圓 C雙曲線的一支 D拋物線點 P1(1,1) 與 P2(2,2) 滿足1 +2=0，1 +2 = 2，則 P1、P2 兩點的位置關(guān)系是( )。 A關(guān)于極軸所在直線對稱 B關(guān)于極點對稱 C關(guān)于=所在直線對稱 D重合橢圓的兩個焦點坐標是( )。 A(-3, 5)，(-3, -3) B(3,

2、 3)，(3, -5) C(1, 1)，(-7, 1) D(7, -1)，(-1, -1)六、1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A BC D2下列在曲線上的點是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 4化極坐標方程為直角坐標方程為（ ）A B C D 5點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D 6極坐標方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓七、1直線的參數(shù)方程為，上的點對應的參數(shù)是，則點與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線3直線

3、和圓交于兩點，則的中點坐標為（ ）A B C D 4圓的圓心坐標是（ ）A B C D 5與參數(shù)方程為等價的普通方程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長為（ ）A B C D 八、1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 2曲線與坐標軸的交點是（ ）A B C D 3直線被圓截得的弦長為（ ）A B C D 4若點在以點為焦點的拋物線上，則等于（ ）A B C D 5極坐標方程表示的曲線為（ ）A極點 B極軸 C一條直線 D兩條相交直線6在極坐標系中與圓相切的一條直線的方程為（ ）A B C D填空題參、把參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程，結(jié)果是。把直角坐標系的原點作為極點，

4、x 的正半軸作為極軸，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位，若曲線的極坐標方程是，則它的直角坐標方程是。六、1直線的斜率為_。2參數(shù)方程的普通方程為_。3已知直線與直線相交于點，又點，則_。4直線被圓截得的弦長為_。5直線的極坐標方程為_。七、1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_。2直線過定點_。3點是橢圓上的一個動點，則的最大值為_。4曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為_。5設則圓的參數(shù)方程為_。八、1已知曲線上的兩點對應的參數(shù)分別為，那么=_。2直線上與點的距離等于的點的坐標是_。3圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_4極坐標方程分別為與的兩個圓的圓心距為_。5直線與圓相切，則_。參、

5、如圖，過點M (-2, 0) 的直線依次與圓(x +)2 + y2 = 16和拋物線 y2 = - 4x 交于A、B、C、D 四點，且|AB| = |CD|，求直線的方程。過點 P(-2, 0) 的直線與拋物線 y2 = 4x 相交所得弦長為8，求直線的方程。求直線 ( t 為參數(shù))被拋物線 y2 = 16x 截得的線段AB 中點 M 的坐標及點 P(-1, -2) 到 M 的距離。A為橢圓+=1上任一點，B為圓( x - 1)2 + y 2= 1 上任一點，求 | AB | 的最大值和最小值 。A、B在橢圓+= 1(a > b > 0)上，OAOB，求AOB面積的最大值和最小值。

6、1橢圓+=1(a > b > 0)的右頂點為A，中心為O，若橢圓在第 一象限的弧上存在點P，使OPA=90°，求離心率的范圍。11、求圓心為C，半徑為3的圓的極坐標方程。12、已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角，（1）寫出直線l的參數(shù)方程。（2）設l與圓相交與兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積。3、求橢圓。三、18四、14設橢圓4x2+y2=1的平行弦的斜率為2，求這組平行弦中點的軌跡五、19的底邊以B點為極點，BC 為極軸，求頂點A 的軌跡方程。20在平面直角坐標系中已知點A（3，0），P是圓珠筆上一個運點，且的平分線交PA于Q點，求Q 點的軌跡的極坐標方程。六

7、1已知點是圓上的動點，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。2求直線和直線的交點的坐標，及點與的距離。3在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值。七、1參數(shù)方程表示什么曲線？2點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。3已知直線經(jīng)過點,傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積。八、1分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程：（1）為參數(shù)，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)；2過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的最小值及相應的的值。參 數(shù) 方 程 集 中 訓 練 題 型 大 全 答案 A 【習題分析與點M(,)關(guān)于極軸對稱的點有(,-)

8、或(-,-)，關(guān)于=所在直線對稱的點有(-,-)或(,-)，關(guān)于極點對稱的點有(-,)或(,+)。掌握好點與極坐標的對應關(guān)系，及點之間特殊的對稱關(guān)系是很有用處的。D【習題分析】 化為4P=5。即=，表示拋物線，應選D。判斷曲線類型一般不外乎直線、圓、圓錐曲線等，因此需化為相應方程即可。C【習題分析】點 P2 坐標為(-1, 2-1)也即為(1, 3-1)，點P1、P2關(guān)于=所在直線對稱，應選C。 判斷點的對稱，應記憶好相應坐標之間的關(guān)系，必要時可結(jié)合圖形。B 【習題分析】先將橢圓方程化為普通方程，得： +=1。然后由平移公式。及在新系中焦點（0, ±4）可得答案，應選B。【填空】x2

9、+(y-1) 2=1【習題分析】將原方程變形為，兩邊相加即可得x2 + (y - 1)2 =1。3x2-y2=1【習題分析】原方程可化為 42cos2-2 =1。將cos= x， p2 = x2 + y2 代入上式，得 4x2 - x2 - y2 = 1，即 3x2 - y2 = 1。【計算】x=-2或2x-y+4=0或2x=y=4=0【習題分析】設直線的參數(shù)方程為(t 為參數(shù)) 代入圓的方程和拋物線的方程，化簡并利用| AB | = | CD | tA + tD = tC + tB, 根據(jù)韋達定理可迅速獲解。 【習題分析】設： ( t 為參數(shù))，為直線的傾角，代入拋物線方程整理得： 2sin

10、2 - (4cos) t + 8 = 0由韋達定理得 t1 + t2 = t1·t2 =。弦長| t1 - t2 | = 8，整理得 4sin4+ 3sin2-1 = 0 解得 sin2= sin= ±0 < =或 即所求直線的方程為 y = ± (x + 2)，【習題分析】不能把原參數(shù)方程直接代入 y = 16x2 中，因為原參數(shù)不是 標準式，不具有幾何意義，在求 | PM | 時不用兩點間距離 公式，而用參數(shù)的幾何意義直接得出。 因而解本題用到兩個結(jié)論：1 弦的中點對應參數(shù)為： t =，2 點P(直線經(jīng)過的定點)到弦中點M的距離|PM=|【習題分析】由+

11、y2=1有P(2cos,sin)，則2x+y=4cos+sin= sin(+)(tan= 4), (2x + y)大=。若已知橢圓(圓或雙曲線)上一點，用參數(shù)方程來設坐標較方便，用此法可以解決 Ax + By 型的最值問題。7,【習題分析】圓心C（1，0），求|AB|的最值，只需求AC的最值，設A（5cos,3sin） 用兩點間距離公式求解|AC|。解決本題的關(guān)鍵在于將圓上的動點B轉(zhuǎn)化到定點圓心C。，【習題分析】從橢圓中心(拋物線頂點)出發(fā)的線段長有關(guān)的問題，可將 直接代入普通方程，轉(zhuǎn)化為極坐標方程, 設A（ 1，），B（2，±）則有 SAOB=| 12 | 進一步處理。 e<

12、1【習題分析】設 P(acos, bsin)(0 << 90°)，OPA=90°有·= -1 (a2-b2)cos2- acos2+ b2=0解得 cos=或cos=1(舍)。當1，即 a b，也即e < 1時，存在這樣的點P，使OPA=90°。練習1參考答案三、解答題1、1、如下圖，設圓上任一點為P（），則 而點O A符合2、解：（1）直線的參數(shù)方程是（2）因為點A,B都在直線l上，所以可設它們對應的參數(shù)為t1和t2,則點A,B的坐標分別為以直線L的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到 因為t1和t2是方程的解，從而t1t22。所以|PA|&

13、#183;|PB|= |t1t2|2|2。3、（先設出點P的坐標，建立有關(guān)距離的函數(shù)關(guān)系） 練習3參考答案18解：把直線參數(shù)方程化為標準參數(shù)方程 練習4參考答案14取平行弦中的一條弦AB在y軸上的截距m為參數(shù)，并設A(x1，設弦AB的中點為M(x，y)，則極坐標與參數(shù)方程單元練習5練習5參考答案19.解:設是曲線上任意一點,在中由正弦定理得:得A的軌跡是:20.解:以O為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,設,坐標系與參數(shù)方程單元練習6坐標系與參數(shù)方程單元練習6參考答案一、選擇題 1D 2B 轉(zhuǎn)化為普通方程：，當時，3C 轉(zhuǎn)化為普通方程：，但是4C5C 都是極坐標6C 則或二、填空題1 2 3

14、將代入得，則，而，得4 直線為，圓心到直線的距離，弦長的一半為，得弦長為5 ，取三、解答題1解：（1）設圓的參數(shù)方程為， （2） 2解：將代入得，得，而，得3解：設橢圓的參數(shù)方程為， 當時，此時所求點為。坐標系與參數(shù)方程單元練習7參考答案一、選擇題 1C 距離為2D 表示一條平行于軸的直線，而，所以表示兩條射線3D ，得， 中點為4A 圓心為5D 6C ，把直線代入得，弦長為二、填空題1 而，即2 ，對于任何都成立，則3 橢圓為，設，4 即5 ，當時，；當時，； 而，即，得三、解答題1解：顯然，則 即得，即2解：設，則即，當時，；當時，。3解：（1）直線的參數(shù)方程為，即 （2）把直線代入得，則

15、點到兩點的距離之積為坐標系與參數(shù)方程單元練習8參考答案一、選擇題 1D ，取非零實數(shù)，而A，B，C中的的范圍有各自的限制2B 當時，而，即，得與軸的交點為； 當時，而，即，得與軸的交點為3B ，把直線代入得，弦長為4C 拋物線為，準線為，為到準線的距離，即為5D ，為兩條相交直線6A 的普通方程為，的普通方程為 圓與直線顯然相切二、填空題1 顯然線段垂直于拋物線的對稱軸。即軸，2,或 3 由得4 圓心分別為和5，或 直線為，圓為，作出圖形，相切時，易知傾斜角為，或 三、解答題1解：（1）當時，即； 當時， 而，即（2）當時，即；當時，即；當時，得，即得即。2解：設直線為，代入曲線并整理得則所以

16、當時，即，的最小值為，此時。參在極坐標系中，點(,)與(-, -)的位置關(guān)系為( )。 A關(guān)于極軸所在直線對稱 B關(guān)于極點對稱 C關(guān)于直線= (R) 對稱 D重合極坐標方程 4sin2=5 表示的曲線是( )。 A圓 B橢圓 C雙曲線的一支 D拋物線點 P1(1,1) 與 P2(2,2) 滿足1 +2=0，1 +2 = 2，則 P1、P2 兩點的位置關(guān)系是( )。 A關(guān)于極軸所在直線對稱 B關(guān)于極點對稱 C關(guān)于=所在直線對稱 D重合橢圓的兩個焦點坐標是( )。 A(-3, 5)，(-3, -3) B(3, 3)，(3, -5) C(1, 1)，(-7, 1) D(7, -1)，(-1, -1)

17、六、1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A BC D2下列在曲線上的點是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 4化極坐標方程為直角坐標方程為（ ）A B C D 5點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D 6極坐標方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓七、1直線的參數(shù)方程為，上的點對應的參數(shù)是，則點與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線3直線和圓交于兩點，則的中點坐標為（ ）A B C D 4圓的圓心坐標是（ ）A B C D 5

18、與參數(shù)方程為等價的普通方程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長為（ ）A B C D 八、1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 2曲線與坐標軸的交點是（ ）A B C D 3直線被圓截得的弦長為（ ）A B C D 4若點在以點為焦點的拋物線上，則等于（ ）A B C D 5極坐標方程表示的曲線為（ ）A極點 B極軸 C一條直線 D兩條相交直線6在極坐標系中與圓相切的一條直線的方程為（ ）A B C D填空題參、把參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程，結(jié)果是。把直角坐標系的原點作為極點，x 的正半軸作為極軸，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位，若曲線的極坐標方程是，則它的直角

19、坐標方程是。六、1直線的斜率為_。2參數(shù)方程的普通方程為_。3已知直線與直線相交于點，又點，則_。4直線被圓截得的弦長為_。5直線的極坐標方程為_。七、1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_。2直線過定點_。3點是橢圓上的一個動點，則的最大值為_。4曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為_。5設則圓的參數(shù)方程為_。八、1已知曲線上的兩點對應的參數(shù)分別為，那么=_。2直線上與點的距離等于的點的坐標是_。3圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_。4極坐標方程分別為與的兩個圓的圓心距為_。5直線與圓相切，則_。解答題參、如圖，過點M (-2, 0) 的直線依次與圓(x +)2 + y2 = 16和拋物

20、線 y2 = - 4x 交于A、B、C、D 四點，且|AB| = |CD|，求直線的方程。過點 P(-2, 0) 的直線與拋物線 y2 = 4x 相交所得弦長為8，求直線的方程。求直線 ( t 為參數(shù))被拋物線 y2 = 16x 截得的線段AB 中點 M 的坐標及點 P(-1, -2) 到 M 的距離。A為橢圓+=1上任一點，B為圓( x - 1)2 + y 2= 1 上任一點，求 | AB | 的最大值和最小值 。A、B在橢圓+= 1(a > b > 0)上，OAOB，求AOB面積的最大值和最小值。橢圓+=1(a > b > 0)的右頂點為A，中心為O，若橢圓在第 一

21、象限的弧上存在點P，使OPA=90°，求離心率的范圍。一1、求圓心為C，半徑為3的圓的極坐標方程。2、已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角，（1）寫出直線l的參數(shù)方程。（2）設l與圓相交與兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積。3、求橢圓。三、18四、14設橢圓4x2+y2=1的平行弦的斜率為2，求這組平行弦中點的軌跡五、19的底邊以B點為極點，BC 為極軸，求頂點A 的軌跡方程。20在平面直角坐標系中已知點A（3，0），P是圓珠筆上一個運點，且的平分線交PA于Q點，求Q 點的軌跡的極坐標方程。六1已知點是圓上的動點，（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍。2求直線和

22、直線的交點的坐標，及點與的距離。3在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值。七、1參數(shù)方程表示什么曲線？2點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。3已知直線經(jīng)過點,傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積。八、1分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程：（1）為參數(shù)，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)；2過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的最小值及相應的的值。參 數(shù) 方 程 集 中 訓 練 題 型 大 全 答案 田碩 A 【習題分析】與點M(,)關(guān)于極軸對稱的點有(,-)或(-,-)，關(guān)于=所在直線對稱的點有(-,-)或(,-)，關(guān)于極點對稱的點有

23、(-,)或(,+)。掌握好點與極坐標的對應關(guān)系，及點之間特殊的對稱關(guān)系是很有用處的。D【習題分析】 化為4P=5。即=，表示拋物線，應選D。判斷曲線類型一般不外乎直線、圓、圓錐曲線等，因此需化為相應方程即可。C【習題分析】點 P2 坐標為(-1, 2-1)也即為(1, 3-1)，點P1、P2關(guān)于=所在直線對稱，應選C。 判斷點的對稱，應記憶好相應坐標之間的關(guān)系，必要時可結(jié)合圖形。B 【習題分析】先將橢圓方程化為普通方程，得： +=1。然后由平移公式。及在新系中焦點（0, ±4）可得答案，應選B?！咎羁铡縳2+(y-1) 2=1【習題分析】將原方程變形為，兩邊相加即可得x2 + (y

24、- 1)2 =1。3x2-y2=1【習題分析】原方程可化為 42cos2-2 =1。將cos= x， p2 = x2 + y2 代入上式，得 4x2 - x2 - y2 = 1，即 3x2 - y2 = 1。【計算】x=-2或2x-y+4=0或2x=y=4=0【習題分析】設直線的參數(shù)方程為(t 為參數(shù)) 代入圓的方程和拋物線的方程，化簡并利用| AB | = | CD | tA + tD = tC + tB, 根據(jù)韋達定理可迅速獲解。 【習題分析】設： ( t 為參數(shù))，為直線的傾角，代入拋物線方程整理得： 2sin2 - (4cos) t + 8 = 0由韋達定理得 t1 + t2 = t1

25、·t2 =。弦長| t1 - t2 | = 8，整理得 4sin4+ 3sin2-1 = 0 解得 sin2= sin= ±0 < =或 即所求直線的方程為 y = ± (x + 2)，【習題分析】不能把原參數(shù)方程直接代入 y = 16x2 中，因為原參數(shù)不是 標準式，不具有幾何意義，在求 | PM | 時不用兩點間距離 公式，而用參數(shù)的幾何意義直接得出。 因而解本題用到兩個結(jié)論：1 弦的中點對應參數(shù)為： t =，2 點P(直線經(jīng)過的定點)到弦中點M的距離|PM=|【習題分析】由+y2=1有P(2cos,sin)，則2x+y=4cos+sin= sin(+)

26、(tan= 4), (2x + y)大=。若已知橢圓(圓或雙曲線)上一點，用參數(shù)方程來設坐標較方便，用此法可以解決 Ax + By 型的最值問題。7,【習題分析】圓心C（1，0），求|AB|的最值，只需求AC的最值，設A（5cos,3sin） 用兩點間距離公式求解|AC|。解決本題的關(guān)鍵在于將圓上的動點B轉(zhuǎn)化到定點圓心C。，【習題分析】從橢圓中心(拋物線頂點)出發(fā)的線段長有關(guān)的問題，可將 直接代入普通方程，轉(zhuǎn)化為極坐標方程, 設A（ 1，），B（2，±）則有 SAOB=| 12 | 進一步處理。 e<1【習題分析】設 P(acos, bsin)(0 << 90°)，OPA=90°有·= -1 (a2-b2)cos2- acos2+ b2=0解得 cos=或cos=1(舍)。當1，即 a b，也即e < 1時，存在這樣的點P，使OPA=90°。練習1參考答案三、解答題1、1、如下圖，設圓上任一點為P（），則 而點O A符合2、解：（1）直線的參數(shù)方程是（2）因為點A,B都在直線l上，所以可設它們對應的參數(shù)為t1和t2,則點A,B的坐標分別為以直線L的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到 因為t1和t2是方程的解，從而t1t22。所以|PA|·|PB|= |t1t2|2|2。3、（先設