3簡單的線性規(guī)劃問題

1、第3章不等式3.3二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題3.3.3簡單的線性規(guī)劃問題高效演練 知能提升A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1 .目標(biāo)函數(shù)z= 3x y,將其看成直線方程時(shí)，z的意義是()A .該直線的截距B.該直線在y軸上的截距C.該直線在y軸上的截距的相反數(shù)D .該直線在x軸上的橫截距解析：把目標(biāo)函數(shù)變形為y= 3x z,由此可見，z是該直線在y軸上的截距 的相反數(shù).答案：C2.已知a>0, x, y滿足約束條件fx>1x+ y<3若z= 2x + y的最小值為1,則a=()y>a(x 3),1 1A.4B.2C. 1D. 2解析：根據(jù)約束條件畫出可行域，將最大值轉(zhuǎn)化

2、為 y軸上的截距，當(dāng)z= 2x + y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z最小，x=1,x=1,1由？代入y= a(x 3)得a=2x+y=1 y= 1,2答案：B2xy 2>03.平面直角坐標(biāo)系xOy中, M為不等式組x + 2y1>03x+y 8<0所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線0M斜率的最小值為（）1 1A. 2 B. 1 C. 3 D. 2解析：作出可行域，由圖象可知當(dāng)點(diǎn) M位于點(diǎn)A時(shí)，0M的斜率最小，由x+2y1 = 0,x= 3,1 ? 丫3x+y8 = 0y= 1,1 1即A（3, 1）,此時(shí)0M的斜率為3 = 3答案：Cx+ 2y<84. （2014 廣 東 卷）若變量x, y

3、滿足約束條件0W xS40< y§3則z= 2x+y的最大值等于（）A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 解析：畫出x, y約束條件限定的可行域如圖陰影部分所示，作直線l： y=2x,平移直線I,經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A（4, 2）時(shí)，z取最大值，即Zmax = 2X 4+2= 10,故選 C.x+2/=8答案：C5.設(shè)點(diǎn)P(x, y),其中x, y N，滿足x+ yw3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()B. 9個(gè)D .無數(shù)個(gè)解析：選擇單位長度,A. 10 個(gè)C. 3個(gè) 找整數(shù)點(diǎn).答案：A二、填空題fx+y<56 .圖中陰影部分的點(diǎn)滿足不等式組2x+ y<6x>0 y>

4、Q在這些點(diǎn)中，使目標(biāo)函數(shù)z= 6x+8y取得最大值的點(diǎn)的坐標(biāo)是 .解析：目標(biāo)函數(shù)可化為y= ；x+8，因?yàn)椋?gt;1,所以當(dāng)過點(diǎn)(0, 5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z= 6x+ 8y取得最大值.答案：(0, 5)fx>27.設(shè)z= kx+y,其中實(shí)數(shù)x, y滿足x 2y+4>02xy4w 0.若Z的最大值為12,貝卩實(shí)數(shù)k=解析：畫出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值12時(shí)，最優(yōu)解一定為 a（4, 4）,這時(shí) 12= 4k+ 4, k=2.答案：2x-2<08.已知x, y滿足約束條件y1W0tx + 2y-2>0則z= x-y的取值范圍為 .解析：畫出可行域，如圖中的陰

5、影部分所示.由圖知，一z是直線y= x-z在y軸上的截距，當(dāng)直線y= x-z經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取最小值，此時(shí)x= 2, y= 0,則z的最大值是x y= 2-0= 2;當(dāng)直線 y= x-z經(jīng)過點(diǎn)B(0, 1)時(shí)，z取最大值，此時(shí)x= 0, y= 1,貝卩z的最小值是x y= 0- 1 = - 1,所以z= x- y的取值范圍為一 K z< 2.答案：1, 2三、解答題9.某實(shí)驗(yàn)室需購某種化工原料106千克，現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35千克，價(jià)格為140元;另一種是每袋24千克，價(jià)格為120元.在滿 足需要的條件下，最少要花費(fèi)多少元？解：設(shè)購買重量為每袋35千克的x袋，

6、重量為每袋24千克的y袋，則所要花費(fèi)的金額z= 140x + 120y，依題意，可得關(guān)于x、y的約束條件：35x+24y > 106x N, y N,目標(biāo)函數(shù)z的值最小,又x, y N，尋找可行域上靠近邊界的幾個(gè)點(diǎn).令x= 0,知y5,當(dāng)x= 1,知y3,當(dāng)x= 2,知y2,當(dāng) x= 3, 知 y1, 當(dāng) x= 4,知 y0, 將靠近邊界的幾個(gè)點(diǎn)(0, 5), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)分別代入目標(biāo) 函數(shù),可知直線z= 140x + 120y過點(diǎn)(1, 3)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z有最小值500元.10.某工廠要制造A種電子裝置45臺(tái)，B種電子裝置55臺(tái)，需用薄鋼

7、板給 每臺(tái)裝置配一個(gè)外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規(guī)格：甲種薄鋼板每張面積2m2，可做A、B的外殼分別為3個(gè)和5個(gè)，乙種薄鋼板每張面積3 m2，可做A、B的外殼分別為6個(gè).兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的面積最 ??？ 解:設(shè)用甲種薄鋼板x張，乙種薄鋼板y張，則可做A種產(chǎn)品外殼(3x + 6y)3x+ 6y45個(gè)，B種產(chǎn)品外殼(5x + 6y)個(gè)，由題意可得5x+ 6y55 x N, y N,所有的薄鋼板的總面積是z= 2x+ 3y.可行域是如圖所示的陰影部分，其中 11： 3x+ 6y= 45; I2： 5x+ 6y= 55, h與 b的交點(diǎn)為 A(5, 5),因目標(biāo)函數(shù)z= 2x+ 3y在可行

8、域上的最小值在區(qū)域邊界的 A(5, 5)處取得,此時(shí)z的最小值為2X 5+ 3X 5 = 25.即甲、乙兩種板各5張，既能保證制造A, B的兩種外殼的用量，同時(shí)又能能力提升fy>011.實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組 x-y>02x y- 2<BJ-2, sD._-£ 1使用料總面積最小.、選擇題則3=刖的取值范圍是()AJ 7 3C. -3，+*解析：如下圖，畫出滿足不等式組tx y>0 的解2x-y- 2<02s-y-2=02*/IV1x(x, y)構(gòu)成的可行域 ABO,求得B(2, 2).因?yàn)楦鶕?jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義 是可行域上一點(diǎn)與點(diǎn)(-1,1)連線的斜

9、率，可求得目標(biāo)函數(shù)的最小值-1,最大值2.故3的取值范圍是I - 1 , 1 .答案：Ax+y-3<Q12.若函數(shù)y= 2x圖象上存在點(diǎn)(x, y)滿足約束條件x-2y-3<Qx>m,則實(shí)數(shù)m的最大值為()13A.? B. 1 C.? D. 2解析：如圖所示，當(dāng)直線x= m經(jīng)過y= 2x與x+ y-3 = 0的交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)yy=2x,=2x的圖象上僅有一個(gè)點(diǎn)在可行域內(nèi)，由方程組得x= 1,x+y-3=0所以m< 1.答案：B13.某學(xué)校用800元購買A, B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用 品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A, B兩種用

10、品應(yīng)各買的件數(shù)為()B. 3件，3件A. 2件，4件D.不確定C. 4件，2件解析：設(shè)買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則100x+ 160y< 80,x>1y>l x, y N*求z= 800 100x- 160y取得最小值時(shí)的整數(shù)解(x, y),用圖解法求得整數(shù)解為(3, 3).答案：B二、填空題x>114.已知$ xy+1<0 則x2+ y2的最小值是.2xy 2<Q'x>l解析：由x y+1<Q畫出可行域，得交點(diǎn) A(1, 2), B(3, 4),如圖所示，2x y 2<0根據(jù)x2 + y2表示可行域一點(diǎn)到原點(diǎn)的

11、距離，可知 x2 + y2的最小值是|AO|2= 5.答案：5px+ 4y>415.給定區(qū)域 D:x+ y<4令點(diǎn)集 T=(xo, yo) D|x°, yolx0Z, (xo, yo)是z= x+ y在D上取最大值或最小值的點(diǎn)，則T中的點(diǎn)共確定 _條不同的直線.解析：畫出可行域，其中z= x+ y取最小值的整點(diǎn)為(o, 1),取得最大值時(shí)的整點(diǎn)為(o, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, o),共 5個(gè).故可確定的直線有5+ 1 = 6(條).答案：6三、解答題16.某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過 5。畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：蔬菜年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元o.55萬元韭菜6噸。9萬元。3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤=總銷售收入-總種植成本)最大，求應(yīng)分別種植黃瓜和韭菜各多少畝？并求出最大利潤.解