奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)

1、奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)一 質(zhì)數(shù)和合數(shù)（ 1）一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)） 。一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身， 還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。（ 2）自然數(shù)除0 和 1 外，按約數(shù)的個(gè)數(shù)分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類。任何一個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。要特別記?。?0 和 1 不是質(zhì)數(shù)， 也不是合數(shù)。（ 3） 最小的質(zhì)數(shù)是2 ， 2 是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其他質(zhì)數(shù)都為奇數(shù)；最小的合數(shù)是 4 。（ 4 ）質(zhì)數(shù)是一個(gè)數(shù)，是含有兩個(gè)約數(shù)的自然數(shù) ?；ベ|(zhì)數(shù)是指兩個(gè)數(shù)， 是公約數(shù)只有一的兩個(gè)數(shù)，組成互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)數(shù)可能是兩個(gè)質(zhì)數(shù)（3和5 ）,可能是一個(gè)質(zhì)數(shù)和一個(gè)合數(shù) （3和4 ）,可能是

2、兩個(gè)合數(shù)（4和9）或 1與另一個(gè)自然數(shù)。（5）如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么就說(shuō)這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。（6 ） 10 0以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2 5個(gè)：2、3、5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、8 3、 8 9、 9 7二 整除性（1 ）概念一般地，如a、b、c為整數(shù)，bN0,且 a+b=c,即整數(shù)a除以整除b（b不等于0）, 除得的商 c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說(shuō)余數(shù)是0） ，我們就說(shuō)，a 能被 b 整除（或者說(shuō)b能整除a

3、）。記作b | a.否則，稱為a不 能被 b 整除， （或 b 不能整除a） ，記作b a。如果整數(shù) a 能被整數(shù) b 整除， a 就叫做 b 的 倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù)。（2 ）性質(zhì)性質(zhì) 1： （整除的加減性）如果a、 b 都能被c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。艮口：如果 c | a, c | b,那么 c | （a± b）。例如：如果2 | 10, 2 | 6,那么2 | （10 +6）,并且 2 | （106）。也就是說(shuō)， 被除數(shù)加上或減去一些除數(shù)的倍數(shù)不影響除數(shù)對(duì)它的整除性。性質(zhì)2:如果b與c的積能整除a,那么b 與 c 都能整除 a.即：如果bc | a,

4、那么b | a, c | a。性質(zhì) 3： （整除的互質(zhì)可積性）如果b、 c 都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的積 能整除a。即：如果 b | a, c | a,且（b, c） =1, 那么bc | a。例如：如果 2 | 28, 7 | 28,且（2, 7）=1,那么（2X7） | 28。性質(zhì) 4： （整除的傳遞性）如果c 能整除b，b能整除a,那么c能整除a。即：如果c | b, b | a,那么c | a。例如：如果3 | 9, 9 | 27,那么3 | 27。（3 ）數(shù)的整除特征能被2 整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、 2、 4、 6、 8 的整數(shù) .能被5 整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0

5、或5。突破口能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9 ）整除。判斷能被3（或9）整除的數(shù)還可以用“棄3 （或9）法”：例如：8 3 5 1 7 4 6能被9整除么？解：8+1 = 9, 3 + 6 = 9, 5+4 = 9, 在數(shù)字中只剩7, 7不是9的倍數(shù)，所以8 3 5 1 7 4 6不能被9整除。能被4（或25 ）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。能被8（或125 ）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8 （或125）整除。能被 11 整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1 的倍數(shù)。能被 7（ 11 或 13 ） 整除的

6、數(shù)的特征： 一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（ 11 或 13）整除，依此反復(fù)檢驗(yàn)。例如：判斷3546725 能否被 13 整除？解：把 3546725 分為3546 和 725 兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821 分為 2 和821 兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?8212 = 819,又 13 | 819, 所以 13 | 2821,進(jìn)而 13 | 3546725.上述辦法也可以用來(lái)判斷余數(shù)和末位數(shù)；對(duì)于其他的數(shù)，可以將其分解成上述幾個(gè)互質(zhì)的數(shù)的乘積，再逐個(gè)考慮。三 約數(shù)與倍數(shù)（1 ）公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的

7、一個(gè)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。例如：4是1 2和1 6的最大公約數(shù)，可記做：（1 2,16）=4（2 ）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)， 叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如： 36 是 12 和 18 的最小公倍數(shù)， 記作 12 ， 18=36 。（3）最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系如果用 a 和 b 表示兩個(gè)自然數(shù)1、那么這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a, b） x a, b=ax b。（多用于求最小公倍數(shù)）2、（a, b）& a , b & a, b3、a, b是（a, b）的倍數(shù)，（a, b）是a, b的約數(shù)4、（

8、a, b）是a+b 和ab 的約數(shù)，也 是（a, b） +a, b和（a, b） a, b的約 數(shù)（4）求最大公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。例如：1、（短除法）用一個(gè)數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？解:（30, 60, 75） =5X3=15這個(gè)數(shù)最大是 15。2、（分解質(zhì)因數(shù)法）求1 0 0 1和3 0 8的最大公約數(shù)是多少？解：10 0 1 = 7X11X13 （這個(gè)質(zhì)分 解常用到） ，3 0 8 = 7 X 1 IX4所以最大公約數(shù)是7X1 1 = 77在這種方法中，先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是最大公約數(shù)。3

9、、（輾轉(zhuǎn)相除法）用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981 的最大公約數(shù)。解：.4811=2X 1981+849,1981=2X 849+283,849=3X283, （4811, 1981） =283。補(bǔ)充說(shuō)明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù)， 可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)， 再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。(5 )約數(shù)個(gè)數(shù)公式一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)， 等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)(即指數(shù))加 1的連乘的積。例如：求 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)。解：240 = 24X31 X 51, 240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是(4+1) X ( 1+1) X (1 + 1)

10、=20,.240有20個(gè)約數(shù)。四 奇偶性( 1)奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?2k( k 為整數(shù))表示，奇數(shù)則可以用 2k+1( k 為整數(shù))表示。特別注意，因?yàn)?0 能被 2 整除，所以 0 是偶。最小的奇數(shù)是1,最小的偶數(shù)是0.( 2)奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)。性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)。性質(zhì)3：偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得偶數(shù)。性質(zhì)4：奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加得奇數(shù)。性質(zhì)5:偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)。偶數(shù)義偶數(shù)二偶數(shù)(3 )反證法例：桌上有9 只杯子，全部口朝上，每次將其中 6 只同時(shí) “翻轉(zhuǎn)” .請(qǐng)說(shuō)明： 無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)” ，都不能使9 只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過(guò)奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)” .要使 9 只杯子口全朝下， 必須經(jīng)過(guò)9 個(gè)奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”. 即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù) .但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6 只杯子，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次