學(xué)生版高考與阿基米德三角形-可與圓錐曲線結(jié)合!

1、高考與阿基米德三角形一、主要概念及性質(zhì)1、定義：圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性質(zhì)有：2、主要性質(zhì)：性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線上的軸。證明：設(shè)A(o y) Bd, y2), M為弦AB中點(diǎn)，則過(guò)A的切線方程為yy p(x x1)，過(guò)B的切線方程為：y2y p(x X2),聯(lián)立方程組得：VN P(x X)y2 y p(x x2)2Vi2 pxiV222 px2解得兩切線交點(diǎn) Q Y四，Y_2 ,進(jìn)而可知QM Px軸。2p 2性質(zhì)2：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn) C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線。證明：設(shè)Q(x,

2、y),由性質(zhì)1, x Yyy %y2 ,所以有y1y2 2px。由2p 2A, B,C 三點(diǎn)共線知 一y一y22- -y2-y0-江江江 Vxo2p 2p 2p22即 y1y1y2 yxo 討。y1 2py0將 y y1 2 y2 , y1 y2 2px 代入得 yoy p(x x)即為Q點(diǎn)的軌跡方程。性質(zhì)3:拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于 Q點(diǎn)的軌跡。性質(zhì)4：若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過(guò)定點(diǎn)。證明：設(shè)l方程為ax by c 0 ,且A(x1，y。B%, y?),弦AB過(guò)點(diǎn)C(x, y),由性質(zhì)2可知Q點(diǎn)的軌跡方程為yoy p(x xo),該方程與 ax

3、by c 0表示同一條直線，對(duì)照可得% c, yo殂，即弦AB過(guò)定點(diǎn)C ,也。a aa a性質(zhì)5：底邊長(zhǎng)為a的阿基米德三角形的面積的最大值為8P證明：AB a ,設(shè)Q到AB的距離為d ,由性質(zhì)1知222d QMXi X2 YiY2 yi y2 2yy2 (y1122 2p 4P 4P 4P設(shè)直線AB的方程為x my n,則a J(1 m2)(y2 y1)2 ,所以(yi y2)2 a22d 4ps Tad3ao8p性質(zhì)6：若阿基米德三角形的底邊過(guò)焦點(diǎn),則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積的最小彳1為p2。證明：由性質(zhì)2,若底邊過(guò)焦點(diǎn)，則x0 -,y0 0, Q點(diǎn)的軌跡方程是x 上，即為

4、準(zhǔn)線；易22驗(yàn)證kQA kQB 1 ,即QA QB ,故阿基米德三角形為直角三角形，且Q為直角頂點(diǎn)。所以22八2X1X2pyy2p2y1y2pQM - - -p22 4p 2 4p 2 1 2而 SVQAB 2 QM (y1 y2) QM y y1 y2p性質(zhì)7 :在阿基米德三角形中，QFA QFB 。證明：如圖，作 AA 準(zhǔn)線,BB準(zhǔn)線，連接 AQ ,QB ,QF,AF,BF ,則 kFA顯然KfakQA1 ,所以FAQA ,又因?yàn)锳AAF ,由三角形全等可得QAAQAFVQAAVQAFQAQF ,QAAQFA同理可得QB所以 QAA性質(zhì)8： AF證明:AFQF ,QBBQFBQAQBQAB

5、QBAQA B900QB A900QB BQFAQFBBFBFQFX1X2X1X2 衛(wèi)(X1 X2)2222YiY2yiy22p 422而 QF 2 立 Ey1y22p 2 2p2yiy22p2p- AF BF4性質(zhì)9 QM的中點(diǎn)P在拋物線上，且P點(diǎn)處的切線與AB平行。證明：由性質(zhì)1知Q &,_y一y2 ,M 一x2,*y2 ,可得P點(diǎn)坐標(biāo)為 2P 2P22(y1 y2) ,y-y2，此點(diǎn)顯然在拋物線上；過(guò) P點(diǎn)的切線斜率為8p 2P-2p kAB ,結(jié)論得證。% 丫2 yi y2 2二、例題解析1. (2008年江西卷理科第21題)21.(本小題滿分12分)設(shè)點(diǎn)P(xo, yo)在直線x m

6、(ym,0 m 1)上，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線x2 y21的兩條切線1 -PA、PB,切點(diǎn)為 A、B,定點(diǎn) M(,0). m(1)求證：三點(diǎn)A、M、B共線。(2)過(guò)點(diǎn)A作直線x y 0的垂線，垂足為 N，試求 AMN的重心G所在曲線方程2. (2008年山東卷理科第 22題)如圖，設(shè)拋物線方程為 x2 2py(p 0) , M為直線y2P上任意一點(diǎn)，過(guò) M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為 A B.(I)求證： A M , B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)歹U;(n)已知當(dāng) M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 2p)時(shí),AB 4所.求此時(shí)拋物線的方程;(m)是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2 2py(p 0)上，

7、其中,uuu uuu 點(diǎn)C滿足OC OAuuuOB (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在，求出所有適合題意的點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3. (2007年江蘇卷理科19題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C(0, c)任作一直線，與拋物線 y x2相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于 x軸的直線，分別與線段 AB和直線l : y c交于P,Q ,uur uuui(1)若OAOB 2,求c的值；(5分)(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線；(5分)(3)試問(wèn)(2)的逆命題是否成立？說(shuō)明理由。(4分)4 ( 2005 年江西卷理科 22 題)如圖，設(shè)拋物線 C: y x2的

8、焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)P在直線l :x y線 C 的兩條切線PA、 PB ，且與拋物線C 分別相切于A 、 B 兩點(diǎn) .(1)求 APB的重心 G的軌跡方程.(2)證明/ PFA=/ PFB.5 ( 2006 年 全國(guó)卷 2 理科第 21 題 )2uuur已知拋物線x24y 的焦點(diǎn)為 F， A、 B 是熱線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AFuuuur uuur分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。(I)證明FM .AB為定值；(II)2 0 上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P 作拋物uuurFB(0).過(guò) A、 B 兩點(diǎn)設(shè) ABM的面積為S,寫(xiě)出 S f ( ) 的表達(dá)式，并求S 的最小值。廣東?？荚囶}19.(本小題滿分14分)2010屆廣州

9、二模24 已知拋物線C：x 2py p 0的焦點(diǎn)為F,A、B是拋物線C上異于坐標(biāo)原點(diǎn) 。的不同兩點(diǎn)，拋物線 C在點(diǎn)A、B處的切線分別為li、12,且li I2, li與I2相交于點(diǎn)D.(1)求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)；(2)證明：A、B、F三點(diǎn)共線；_3(3)假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為 一，1 ,問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)且與11、12都相切的圓，2若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18.(本題滿分13分)2009韶關(guān)一模已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) N(0,2),且與定直線 L:y 2相切.(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；uuuruuir(II )若A、B是軌跡C上的兩不同動(dòng)點(diǎn)，且 AN NB .分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡 C的切線，設(shè)其交點(diǎn) Q證明NQ AB為定值.20.(本小題滿分14分)2010年深圳市高三年級(jí)第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)已知拋物線C : x2 4y的焦點(diǎn)為F ,過(guò)點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)；橢圓E 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率 e 包.2(1)求橢圓E的方程;