數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗

1、時間序列平穩(wěn)性的檢驗方法時間序列平穩(wěn)性的檢驗方法看時序圖看時序圖計算樣本自相關(guān)函數(shù)計算樣本自相關(guān)函數(shù)單位根檢驗單位根檢驗平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩(wěn)序列非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。 tX tX t t (a) (b) 圖圖 9 9. .1 1 平平穩(wěn)穩(wěn)時時間間序序列列與與非非平平穩(wěn)穩(wěn)時時間間序序列列圖圖 進一步的判斷: 檢驗樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形檢驗樣本自相關(guān)函

2、數(shù)及其圖形 隨著滯后階數(shù)的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降隨著滯后階數(shù)的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。平穩(wěn)序列快得多。 kr kr 1 1 0 k 0 k (a) (b) 圖圖 9 9. .1 1. .2 2 平平穩(wěn)穩(wěn)時時間間序序列列與與非非平平穩(wěn)穩(wěn)時時間間序序列列樣樣本本相相關(guān)關(guān)圖圖 例1 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 從圖形看：它在其樣本均值它

3、在其樣本均值0 0附近上下波動，且樣本自相關(guān)附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到系數(shù)迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近波動且逐漸收斂于附近波動且逐漸收斂于0 0。因此，初步判斷，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。 例2：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。因此，初步判斷，該該隨機過程是一個隨機過程是一個是非平穩(wěn)過程是非平穩(wěn)過程。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.22

4、4681012141618RANDOM2AC平穩(wěn)性的單位根檢驗平穩(wěn)性的單位根檢驗 對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運用統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗則是更為準確與重要的。 單位根檢驗（單位根檢驗（unit root test）是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。1 1、DFDF檢驗檢驗我們已知道，隨機游走序列 Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型 Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。也就是說，我們對式 Xt=Xt-1+t （*） 做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機變量Xt有一個單位根單位根。 （*）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-

5、1+ t (*)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（*）式判斷是否有 =0。 一般地一般地: : 檢驗一個時間序列檢驗一個時間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過檢驗的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型帶有截距項的一階自回歸模型 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：檢驗其等價變形式檢驗其等價變形式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的參數(shù)中的參數(shù) 是否小于是否小于0 0 。 因此，針對式 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 我

6、們關(guān)心的檢驗為：零假設(shè)零假設(shè) H0： =0。 備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1： 0 上述檢驗可通過上述檢驗可通過OLS法下的法下的t檢驗完成。檢驗完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗無法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為 統(tǒng)計量統(tǒng)計量），即DF分布分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過OLS法估計 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比

7、較： 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設(shè)臨界值，則拒絕零假設(shè)H0： =0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是注意：在不同的教科書上有不同的描述，但

8、是結(jié)果是相同的。結(jié)果是相同的。例如：例如：“如果計算得到的如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕臨界值的絕對值，則拒絕=0”的假設(shè)，原序列的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 進一步的問題進一步的問題：在上述使用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上實際上假定了時間序列是由假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的生成的。 但在實際檢驗中但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程，時間序列可能由更高階的

9、自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導致DF檢驗無效。 另外另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關(guān)隨自相關(guān)隨機誤差項問題機誤差項問題。 為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗）檢驗。 2 2、ADFADF檢驗檢驗ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：檢驗是

10、通過下面三個模型完成的： 模型模型3 中的中的t是時間變量是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。 檢驗的假設(shè)都是：針對檢驗的假設(shè)都是：針對H1: 0,檢驗檢驗 H0： =0，即存在一單位根即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。模型 1： tmiitittXXX11 （*） 模型 2： tmiitittXXX11 （*） 模型 3： tmiitittXXtX11 （*） 實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。 何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。 檢驗原理檢驗原理

11、與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；2）當三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則）當三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。認為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當?shù)男问侥Ｐ瓦m當?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。一個簡單的檢驗過程：一個簡單的檢驗過程：單

12、整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 隨機游走序列 Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價地變形為 Xt=t 由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。單整單整 一般地，如果一個時間序列經(jīng)過一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是則稱原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。代表一平穩(wěn)時間序列?，F(xiàn)實經(jīng)濟生活中現(xiàn)實經(jīng)濟生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，只有少數(shù)經(jīng)濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等如利

13、率等;2)大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常如一些價格指數(shù)常常是是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠降灿幸恍r間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為穩(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（非單整的（non-integrated）。 如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱

14、原如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序列序列，記為，記為I(1)。 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟時間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時對這些數(shù)據(jù)進行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸虛假回歸或或偽回歸偽回歸（spurious regression）。 如：用中國的勞動力時間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2 ，但不能認為兩者有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，而只不過它們有共同的趨勢

15、罷了，這種回歸結(jié)果我們認為是虛假的。為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的確定性的（deterministic）而非隨機性的（隨機性的（stochastic），才會是有效的。換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機一帶位移的隨機游走過程游

16、走過程： Xt=+Xt-1+t （*） 根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（隨機性趨勢（stochastic trend）。 2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程： Xt=+t+t （*） 根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（確定性趨勢（deterministic trend）。 考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程： Xt=+t+Xt-1+t （*） 其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。 3) 如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性確定性與隨機性兩種趨勢。兩種趨勢。 判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。 該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此，(1)如果檢驗結(jié)果表明所給時間序列有單位如果檢驗結(jié)果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數(shù)不顯著異于零，則該序根，且時間變量前的參數(shù)不顯著異于零，則該序列顯示出隨機性趨勢列顯示出隨機性趨勢; (2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數(shù)如果沒有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。顯著地異于零，則該序列顯示出確定