復合函數(shù)求導方法和技巧

1、復合函數(shù)求導方法和技巧毛濤(理工學院數(shù)計學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2011級1班，723000)指導老師：延軍摘要箕合函數(shù)求導是數(shù)學分析中的一個難點，也是微積分中的一個重點和難點，因此本文先從復合函數(shù)的 定義以及性質(zhì)人手，在全面了解宜合函數(shù)后再探討亙合函數(shù)的求導方法，分析箕合函數(shù)求導過程中容易出現(xiàn) 的問題，然后尋求能快速準確的對亙合函數(shù)進行求導的方法，并進行歸納總結，最終進行推廣，幫助學生的 有效學習。關鍵詞亙合函數(shù)，定義，分解，方法和技巧，數(shù)學應用1引言復合函數(shù)求導是數(shù)學分析中的一個難點，也是高等數(shù)學三大基本運算中的關鍵，是學生深入學習 高等數(shù)學知識，提高基本運算技能的基礎，對學生后繼課程的學習

2、和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著至關重要的 作用，在各學科和現(xiàn)實生活中也發(fā)揮著越來越重要的作用，從而必須解決復合函數(shù)的求導問題。同時, 在教學過程中，許多學生在進行求導時也犯各種各樣的錯誤，有的甚至在學習復合函數(shù)求導之后做題 時仍然不會進行求導，或者只能求導對一部分，而對另外一部分比較復雜的復合函數(shù)則還停留在一知 半解的程度上，不知該求導哪一部分，也不知要對哪一部分得進行分解求導。復合函數(shù)求導方法是求 導的重中之重，而且也是函數(shù)求導、求積分時不可缺少的工具，這個問題解決的好壞直接影響到換元 積分法甚至以后的數(shù)學學習是否能夠順利進行。求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于搞清楚復合函數(shù)的結構, 明確復合次數(shù)，然后由外層

3、向?qū)又饘忧髮?或者也可以由層向外層逐層求導)，直到關于自變量求導， 同時還要注意不能漏掉求導環(huán)節(jié)并及時化簡計算結果。因此本文先紿出了復合函數(shù)的定義和性質(zhì)，在 充分了解并且堂握復合函數(shù)的概念之后，根據(jù)其定義和性質(zhì)對各種復合函數(shù)進行求導，通過對鏈式求 導法、對數(shù)求導法、反序求導法、多元復合函數(shù)的一元求導法以及反函數(shù)求導法的分析，加以對各種 對應例題的詳細分解，分析每一步的步驟，比較各種求導方法，明確并且能夠堂提各種題型的最佳解 決方法，最終尋求一種能夠既簡便又準確的解決復合函數(shù)求導問題的方法，并總結技巧，方便在以后 學習生活中的使用。2復合函數(shù)的定義如果y是的函數(shù)，“又是的函數(shù)，即)，=73),

4、= g(x),那么y關于的函數(shù)y = /g(x) 叫做函數(shù)y = /W和"= g(x)的復合函數(shù)，其中。是中間變量，自變量為4,函數(shù)值為y。3導數(shù)的四則運算定理1若函數(shù)和u(x)在點與可導，則函數(shù)/(x) = (x)±y(x)在點差也可導,且：/'(%) = '(入0)±/(與)定理2若函數(shù)“W和似x)在點與可導，則函數(shù)/(x) = (x)Mx)在點口也可導,且:八/)='(%)"() + 6), Mx。)推論1若函數(shù)Mx)在點/可導，c為常數(shù),則:("(x)L ="*()定理3若函數(shù)“(X)和U(x)在點凡都

5、可導，且X%)。，則x)= 皿在點/也可尋,且: 心)/'（%） =“'（/Mx。）-（Xo）y'（Xo）（%）4復合函數(shù)求導方法和技巧4.1鏈式法則求復合函數(shù)的導數(shù)定理4如果函數(shù)"=叭。及u = W都在點，可導，函數(shù)Z = f(u, v)在對應點(凡v)具有連續(xù)偏 導數(shù)，則復合函數(shù)Z = /'例，)&(/)在對應點，可導，且其導數(shù)可用下列公式計算：dt Jz du 5z dv ,I . dz du dt 5v dt思路 根據(jù)公式(/。)'"0)= /'(0)0(%) = /'(9(/)。'(飛)我們首

6、先要清楚的分析出復合函數(shù)的 復合關系，找出要求導的復合函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)復合而成的，然后再恰當?shù)脑O置中間變量，把 它分解成一些基本的初等函數(shù)的復合，最后由最外層開始，先使用法則，后使用導數(shù)基本公式，由表 及里的一層一層地求導，注意不可忘記里層的求導。例1求復合函數(shù)/*)= 0+，1 + .1)的導函數(shù)。解(分析過程)第一步，將這個復合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：f(x) = bin ll = X+yJi + X1(可以看出要求導的函數(shù)是由這兩個函數(shù)復合而來，然后設置中間變量) 第二步，再根據(jù)鏈式法則進行求導，并將中間變量代回原來的X變量：/(X)，=(加(Inn)' = =)u&#

7、39; = 1 + a11 x+j + x2y/l + X2(注意對u的求導時Ji* 也是一個復合函數(shù)，(x+Ji+Yy=1+(717?/.W.=1+ 2d+x2y2，1 + 產(chǎn)=1+ J 2x2y/l + x2 x=1+ /l + X2不可忘記里層的求導，要做到準確求導)第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：1r/(0二-(1+1=)x + a/1 + 廠，1 + 廠1V1 + A'2例2求復合函數(shù)y = /2cosx的導函數(shù)。解 (分析過程)第一步，將這個復合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：y = Inn u = 2v v = cos x(可以看出要求導的函數(shù)是由這三個函數(shù)復合而來，設

8、置恰當?shù)闹虚g變量) 第二步，再根據(jù)鏈式法則進行求導，并將中間變量代回原來的X變量：)，=(/ u)'(2y)'(cos x)'(/)，= (2v = 2 (cos = -sinxu(注意J的表達式均是一元函數(shù)表達式)第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：yf =(加 )'(2.)'(cos x)f1 c=-z-sinxu1 c=-2-sinx2v-sinxcosx=kinx例3求復合函數(shù)y =。/(/x)的導函數(shù)。第一步，將這個復合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：y = Innu = Invv = Inx(可以看出要求導的函數(shù)是由這三個函數(shù)復合而來，設置恰當

9、的中間變量)第二步，再根據(jù)鏈式法則進行求導，并將中間變量代回原來的X變量：yf = (limy Invy (Inx)9(/)' = (Inv)r = -=uvx(注意v的表達式均是一元函數(shù)表達式)第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：y" = (Ini(y ,(/)'. (Inx)91 1 1 II V X1 1 1= In(Inx') Inx x1x Inx - In(Inx')注：鏈式法則求復合函數(shù)的導數(shù)是復合函數(shù)求導的一種基本方法，也是一種關鍵方法。在運用鏈 式法則求導時，一定要先明確鏈式法則的適用條件，在適合運用鏈式法則求導的前提下，準確的設置

10、 中間變量，在分析所給的函數(shù)時，y = e(),=w"),u = g(x)等分解表達式必須為一元函數(shù)。在求導 過程中，一定要記清每一步是誰對誰(即什么函數(shù)對哪個變量)求導數(shù)，對前變量(即函數(shù))求導后, 在后邊應馬上乘以一個前變量對后變量求導因子，不能漏掉鏈式法則中的任何一個環(huán)節(jié)，不能忘記對 里層函數(shù)的求導。而在實際做題中，當我們已經(jīng)熟練堂握鏈式法則后，并不一定要每一步都寫出所求 復合函數(shù)的中間變量，心中知道是怎么復合而來的就行，然后做到準確無誤的求導。4.2對數(shù)求導法求復合函數(shù)的導數(shù)對數(shù)求導法可以把乘積的函數(shù)轉(zhuǎn)化成加減的函數(shù)，把函數(shù)的黑運算轉(zhuǎn)化成函數(shù)的相乘運算，對于 一些函數(shù)的乘、除

11、、乘方、開方所構成的函數(shù)，采用對數(shù)求導法來求導，這會簡化我們的求導運算， 因此對數(shù)求導法是復合函數(shù)求導的一種重要的，同時也是一種比較簡便的方法。思路 先對類型如y = /W的復合函數(shù)兩邊同時取對數(shù)，然后對兩邊同時關于x求導數(shù)，最后移項， 移成)/ = y'(x)的形式，最終整理得出答案。例4求復合函數(shù))，=/上萼二,(工4)的導函數(shù)。(x-3)(x-4)解 (分析過程).W.第一步，先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得：l(x - l)(x - 2)lny = In V(x-3)(x-4)=In(x -1) + In(x -2)- In(x-3)- In(x - 4) 2第二步，對上式兩邊同時對求

12、導數(shù)，得：1,11 1 1 1 y = -(+)尸 2 x-1 x2 x-3 工一4(切記不可寫成(/y)' =-)y移項，得：，1 1 1 1 、y =-(+-)2 x-1 x-2 x3 x-4第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：，1 l(x-l)(x-2) 1111 .v =-J(+)2帕-3)(工-4) x-1 x-2 x-3 x-4例5求復合函數(shù))/"，。，(的導函數(shù)。解(分析過程)第一步，先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得：Iny = Inx3'nx=sin xlux第二步，對上式兩邊同時對求導數(shù)，得：1 ， ； 1y = cos xlnx +sin x-yx移項，

13、得：yr = y(cos xlnx + x第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：*yf =(cos xlnx + Sin -)xi例6求復合函數(shù)("二")；,(x>4)的導函數(shù)。(x +2)5*+ 4戶解(分析過程)第一步，先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得：£z 7 * + 5尸。-4戶Iny = In(x+2)s(x+4-=2/z/(a+ 5) + - Inx - 4) -5In(x + 2)-In(x + 4)32第二步，對上式兩邊同時對求導數(shù)，得：1,2151y =j)x + 5 3(x-4) x + 2 2(x + 4)移項，得：，2151、y = y(+-

14、),6 x + 5 3。-4) x + 2 2(x + 4)第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：I(工 + 5)2(工一4戶2151y =7-(+)(x + 2)2 + 4)! "53(-4) x + 22(x + 4)注：對數(shù)求導法對一些幕指數(shù)函數(shù)，乘積形式函數(shù)這類復雜的復合函數(shù)的求導是很便捷的。在求 解時先對函數(shù)式兩邊取對數(shù)，然后對此對數(shù)式兩邊同時對x求導，但要注意在解題時，/(x)WO時， Infx) = fXx),而不是他(幻二-；由于此類復合函數(shù)求導計算比較繁瑣，所以在求導過 于(x)f(x)程中要及時對所求導后的函數(shù)式進行化簡，最后通過移項，整理得出結果，確保得到最簡潔

15、、準確的 答案。4.3 反序求導法求復合函數(shù)的導數(shù)反序求導法是一種對復合函數(shù)從里到外依次求導的方法，它和鏈式求導法在求導時具有相似性， 但本質(zhì)又不同。反序求導法具有以下三個方面的優(yōu)點：第一，求導次序和求復合函數(shù)值的次序一樣， 合乎習慣，有助于對此方法的堂提和運用；第二，從里到外的求導，避免了求導不徹底的錯誤；第三, 形式上便于書寫。思路 通常求由函數(shù),，= /()， =夕。)構成的復合函數(shù)y = /奴工)的導數(shù)時，是應用復合函數(shù) 求導法則：乂 = /：()夕(外，從外到里求導；而反序求導法則是：乂從里到外進行求導。例7求復合函數(shù)y = "-2"的導函數(shù)。第一步，設 丁 =

16、e'1 u = -2x(采用反序求導法則求導復合函數(shù)依然先要設置中間變量，將復合函數(shù)分解成初等函數(shù))第二步，根據(jù)反序求導法則：/：()從里到外進行求導/ = -2/ = e"第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：=-2產(chǎn)例8求復合函數(shù)y = sin 3/的導函數(shù)。解 (分析過程)第一步，設)' =$11 u = 3x2(設置中間變量，將復合函數(shù)分解為初等函數(shù)后采用反序求導法則從里到外進行求導)第二步，根據(jù)反序求導法則：)；=?'")£()從里到外進行求導u =6x(sin )' = cos u第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：)

17、/ = ' (sin )= 6xcos 3x2例9求復合函數(shù)y = (sin/r的導函數(shù)。解 (分析過程)第一步，設丁 = 、 u = sinvv = x2(先恰當?shù)脑O置中間變量，然后將原復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)，最后采用反序求導法從 里到外進行求導)第二步，根據(jù)反序求導法則：4進行求導M = 2x u = cos v y： = 3ir第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：=2x-cos v-3/r=2x cosx2 - 3(sin x2 )2= 6xcosx2 -(sinx2)2注：在對復合函數(shù)進行求導時，反序求導法與鏈式求導法的區(qū)別在于鏈式求導法對復合函數(shù)的求 .W.導是從外到依

18、次進行求導，而反序求導法對復合函數(shù)的求導則是從到外依次進行求導，因此反序求導 法相比較于鏈式法則的優(yōu)點在于鏈式法則對復合函數(shù)從外到進行求導時容易忽略對部函數(shù)的求導，從 而導致求導不徹底，而反序求導法在對復合函數(shù)進行求導時首先就對函數(shù)部進行求導，因此出現(xiàn)求導 不徹底的可能性非常小，甚至直接可以避免這種情況的發(fā)生，所以反序求導法則是復合函數(shù)求導中的 一種非常重要的方法。4.4 多元復合函數(shù)的一元求導法多元復合函數(shù)的一元求導法是根據(jù)多元復合函數(shù)偏導數(shù)的概念，對自變量4求偏導數(shù)，把其余自 變量都暫時看成常量，從而函數(shù)就變成是x的一元函數(shù)，從而就可以利用一元函數(shù)求導法進行復合函 數(shù)的求導，對一些復合函數(shù)

19、求偏導可以起到既方便又準確的作用。思路 將復合函數(shù)中除過要求導的自變里外其余自變量均看成常量，然后利用一元函數(shù)求導法依 次進行求導。例 10 已知復合函數(shù)Z = e"(一口)，其中 = asinx + y, y = cosx-y求，。 dx解(分析過程)第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)： = aeax(u-v) + eax(uf-vf) dx第二步，然后利用一元函數(shù)求導法依次進行求導：=aeax(a sin x + y) (cos x - y) + eax (a cos x + sin x)=aeaa sin x -cos x + 2y) + aeax cos x + Din x=

20、creax sin x - aeax cos x + laye + aeax cos x + eax sin x第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：=ecx (a2 + l)sin x + lay*(v_z)du例11已知復合函數(shù)=；,其中y = asinx, z = cosx求丁。cr + dx解(分析過程)第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：dx cr +1第二步，然后利用一元函數(shù)求導法進行求導：=一aeay - z) + * (a cos x + sin x) cr +1=(creax sin x - aeax cos x + aeax cos x + eax sin x) cr=/一

21、(a2 +1)* sin xcr +第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：=eax sin x例 12 已知復合函數(shù) Z = e" sin v, = xy, y = x + y,求二，二。dx dy解（分析過程）第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：dz dz du dz dvdx du dx dy dx第二步，然后利用一元函數(shù)求導法進行求導：=elt sin v-y + eu cosv 第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：=exry -sin（x + y） + cos（x + y）第一步，先將其余自變量暫時看成常數(shù)：dz. dz du dz. dvdy du dy dv dy第二步

22、，然后利用一元函數(shù)求導法進行求導：=e" sin v-x+e" cos v 1第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：=eXY x - sin（x + y） + cos（x + y）注：利用多元復合函數(shù)的一元求導法求導函數(shù)時對自變量求偏導，把其余自變量都暫時看成常量, 從而要求導的函數(shù)就變成了一元函數(shù)，此時，便可以使用一元函數(shù)的所有求導公式和法則進行求導了, 使用這種方法可以既快速又準確的對復合函數(shù)進行求導，但一定要看清要求導的自變量和把其余自變 里要看成常數(shù)。4.5 反函數(shù)求導法。'（為）定理5設y = /（x）為x = 9（y）的反函數(shù)，若奴?。┰邳c兒的某鄰域連續(xù)

23、，嚴格單調(diào)且。'（用）工。，則/（X）在點發(fā)0（%=奴為）可導，且/"（/） =.W.思路設可導函數(shù)y = /(a)的反函數(shù)x =(p(y)也可導，然后由x =奴y) = °(/'(x)兩邊對x求導,從而得出所要求復合函數(shù)的導數(shù)。例13求函數(shù)y = arcsina的導函數(shù)。解(分析過程)第一步，由于y = arcsinx, xw(-1,1)是x = sin y , y e (-，,g)的反函數(shù)，故由公式x = sin(arcsin x)第二步，兩邊同時對x求導后變形得:(arcsin x)f =!(sin ycos y 5/l-sin2 y第三步，將分析求導

24、后的數(shù)據(jù)整理得結果:-=2=,xe(-lJ) Jl-r例14求函數(shù)丁 = arctanx的導函數(shù)。解 (分析過程)的反函數(shù)，因此由公式 2 2第一步，由于 y = arctanx , xe R 是 x = tany , y e(:(與)=下可以得出: (%)x = tan(arctaii x)第二步，兩邊同時對x求導后變形得:(arctan 打=!(tan ysec2 y1 +tan2 y第三步，將分析求導后的數(shù)據(jù)整理得結果：= （-CO,+O0）1 +廠注：反函數(shù)求導方法是復合函數(shù)求導中一種重要的方法，熟練的寫出原函數(shù)的反函數(shù)是求導的關 鍵，此外，在求導過程中要記得是同時對兩邊進行求導，不可

25、以一邊求導而另外一邊照寫。在解題時 熟練堂提各種公式的變形也是正確解題的一個關鍵點。5小結在對復合函數(shù)進行求導時，首先必須熟練堂提函數(shù)的運算順序，其次在于弄清楚復合函數(shù)的結構。 在用鏈式法則求導復合函數(shù)時，首先應將其分解成若干簡單函數(shù)，復合函數(shù)分解的徹底與否是復合函 數(shù)求導正確與否的關鍵所在，所以在分解復合函數(shù)時，要做到不漏不重，明確復合次數(shù)，應注意分清 哪個是外層函數(shù)，哪個是里層函數(shù)，如果這一步發(fā)生錯誤，那么后一步求導肯定是錯誤的。求導時應 先對外層函數(shù)進行求導，再對里層函數(shù)進行求導，按法則詳細寫出求導過程，并應注意及時化簡計算 結果，不能遺漏求導環(huán)節(jié)。做題時，要會引進中間變量，將復合函數(shù)正

26、確分解是復合函數(shù)求導的關鍵, 這需要通過一定數(shù)量的練習才可堂握。當熟練堂提復合函數(shù)的分解后，可以不必把中間變量寫出來， 按照復合函數(shù)的求導法則，由外向里，逐層求導即可。在用對數(shù)求導法求導復合函數(shù)時，首先要對函 數(shù)兩邊同時取對數(shù)，以此來方便求導。在用反序求導法進行復合函數(shù)求導時，首先也要對復合函數(shù)進 行分解，但是注意是從到外進行求導，該方法避免了求導不徹底的錯誤，而且方便于書寫。多元復合 函數(shù)的一元求導法主要是對復合函數(shù)求偏導，注意要把要求自變里之外的其余自變it都暫時看成常數(shù), 使用這種方法對一些復合函數(shù)求偏導可以起到既方便又準確的作用。在實際求導過程中，有時將復合1 1 -函數(shù)進行變形也可以

27、起到方便求導的作用，如：復合函數(shù)丁= /、可以變形為:>'=（-一r）2 ,Vl + x21 + 廠（ = ）;復合函數(shù) y = 1sin3xcosx-4sin3xsinx 變形為 y = Isin（4x + ） + sin（2x-）, 22233再進行求導就方便很多了。所以在求導時要根據(jù)具體情況對復合函數(shù)進行具體分析，要有明確的思路, 靈活選用恰當?shù)那髮Х椒?，最終尋求一種能夠既簡便又準確的解決復合函數(shù)求導問題的方法，進行準 確無誤的求導。參考文獻m華東師大學數(shù)學系,數(shù)學分析M.（第三版）,：高等教育出社.2001.87-114.清華，昊.數(shù)學分析容、方法與技巧（上）,華中科技大

28、學,2003周建瑩，正元.高等數(shù)學解題指南一大學,2002.4月華.復合函數(shù)求導探析職業(yè)技術學院學報,2011, 10 （2）: 123-124.5筑生.數(shù)學分析新講M.:大學,1990.6馬俊卓合函數(shù)的幾種簡便求號法5.現(xiàn)代企業(yè)教育，2006, 8 （下）：83-85.7羅洪艷，閆運和復合函數(shù)求導法則教學淺析JL才智，2011,第二十八期.w.建玲.亙合函數(shù)導數(shù)的新方法J.北方學院學報，2008, 24 (4) : 81-84.9玉璉,數(shù)學分析講義(上冊)M.：高等教育.1997.10德興.數(shù)學分析中的典型問題與方法M.:高等教育.199311吳炯圻.數(shù)學專業(yè)英語M.第二版.:高等教育,200912紅英.突破求其合函數(shù)導數(shù)的重點、難點J.師高等?？茖W校學報，2004, 20 (3): 69-7013賀建平宦合函數(shù)求導數(shù)教學法探討J.職業(yè)技術，2007,第五期.14奎奇，方鋼.關于復合函數(shù)的求導方法5.高等函授學報，2008 , 21 (5) J3-14.15農(nóng)建誠.巨合函數(shù)求導方法教學教法探討J.課程教育冊究，2012,第十九期.161梁樹春.亙合函數(shù)求導法教學探討叫.廣西財政高等?？茖W校學報，2002, 15 (4): 61-63.17倪煥敏.關于復合函數(shù)求導有效教學的探究JL工業(yè)職業(yè)技術學院學報，2012, 12 (3): 116-11