幾何直觀——新課程標準的核心概念

1、幾何直觀新課程標準的核心概念2作者:日期:3幾何直觀一一新課程標準的核心概念-中學(xué)數(shù)學(xué)論文幾何直觀一一新課程標準的核心概念譚代全(重慶市開縣岳溪初級中學(xué)，重慶 405404405404)摘要：幾何直觀是學(xué)生應(yīng)該掌握的一個基本能力，是新課程標準的一個核心概念， 本文通過對幾何直觀相關(guān)概念的闡釋，力求尋找加強幾何直觀的有效途徑和方 法。關(guān)鍵詞：幾何直觀；新課標；核心概念中圖分類號：G633G633 文獻標識碼：A A 文章編號：1005-6351(2013)-09-0102-011005-6351(2013)-09-0102-01義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準在實驗稿的基礎(chǔ)上，認真總結(jié)前期試驗的經(jīng)驗教訓(xùn)，

2、廣泛聽取各方面的意見和建議后， 提出了數(shù)感、符號感等十個核心概念，幾何直 觀是其中重要的一個概念。顧名思義，“幾何直觀”可以從兩個方面去理解和把握：一是幾何，在這里主要是指幾何圖形；二是直觀，這里的直觀既是指直接看到的東西， 更重要的是依托 現(xiàn)在看到的東西、以前看到的東西為基礎(chǔ)進行思考、想象。綜合起來，幾何直觀 就是利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象。它在本質(zhì)上是一種通過幾何圖形所展開的 空間想象能力。愛因斯坦曾說過一句名言：“想象力比知識更重要，因為知識是 有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著知識的進步，并且它是知識進化的 源泉。嚴格說，想象力是科學(xué)研究中的實在因素?！薄皵?shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空

3、間形式的科學(xué)?！笨臻g形式最主要的表現(xiàn)就是“圖形”，除了美術(shù)，只有數(shù)學(xué)一直把圖形作為最基本的、主要的研究對象。在數(shù)學(xué) 研究、學(xué)習(xí)、講授中，不僅需要關(guān)注研究圖形的方法、研究圖形的結(jié)果，更需要4感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在“數(shù)學(xué)一幾何一圖形”這樣一個關(guān)系鏈中讓我們體會到它所帶來的最大好處。這正如二十世紀最偉大的數(shù)學(xué)家希 爾伯特在其名著直觀幾何一書中所談到的，圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研 究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路； 可以幫助我們理解和記憶得到的 結(jié)果。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價值由此可見一斑。從另一個角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)的內(nèi)容緊密相聯(lián)。事實上

4、，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容、概念，例如，數(shù)，度量，函數(shù)，以至于高中的解 析幾何，向量等，都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”， 只有從兩個方面認識它們，才能很好的理解他們、掌握它們的本質(zhì)意義。也只有 這樣，才能讓這些內(nèi)容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學(xué)生接受并運 用它們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的“數(shù)形結(jié)合”。這次課程改革中，強調(diào)幾何變換不僅僅是內(nèi)容上的變化， 也是設(shè)計幾何課程指導(dǎo) 思想上的變化，這將是幾何課程發(fā)展變化的方向。 讓圖形“動起來”，在“運動 與變換”中來研究、揭示、學(xué)習(xí)圖形的性質(zhì)，這樣，一方面，加深了對圖形性質(zhì) 的本質(zhì)認識；另一方面，對幾何直觀

5、能力也是一種提升。由此可以看到，在義務(wù) 教育階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀是很重要的。幾何直觀與“邏輯”“推理”也是不可分的。 幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它 不僅僅是看到了什么？而是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這 是數(shù)學(xué)非常重要而有價值的思維方式。 幾何直觀會把看到的與以前學(xué)到的結(jié)合起 來， 通過思考、想象，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，這也就是合情推理， 它為嚴格證明結(jié)論奠定了基礎(chǔ)。5有些數(shù)學(xué)的研究對象是可以“看得見、 摸得著”的，而很多數(shù)學(xué)研究對象是“看6不見、摸不著”的，是抽象的，這是數(shù)學(xué)的一個基本特點。但是，數(shù)學(xué)中那些抽 象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是

6、具體的。例如，我 們看不到“七維空間”，但是，我們知道“白色的光是由七種顏色的光組成的： 紅、橙、黃、綠、青、藍、紫。”這就可以是理解“七維空間”的“可以看到的 源”。是幫助我們聯(lián)想的“實物”和基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)中，需要依托“一維、二維、 三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能 力。幾何直觀在研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中是非常重要的，它也可以看作是最基本的能力，希 望老師重視它，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中可以從以下幾個方面幫助學(xué)生不斷提升這種能 力。1 1、在教學(xué)中使學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣。在日常教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的 習(xí)慣是很重要的?？梢酝ㄟ^多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念

7、、 尋求解題思路帶來的益處。無論計算還是證明，邏輯的、形式的結(jié)論都是在形象 思維的基礎(chǔ)之上產(chǎn)生的。在教學(xué)中應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫圖時盡量畫，其實質(zhì)是 將相對抽象的思考對象“圖形化”， 盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)過程變得直 觀，直觀了就容易展開形象思維。2 2、重視變換一一讓圖形動起來。幾何變換或圖形的運動是幾何也是整個數(shù)學(xué)中 很重要的內(nèi)容，她既是學(xué)習(xí)的對象，也是認識數(shù)學(xué)的思想和方法。一方面，在數(shù) 學(xué)中我們接觸的最基本的圖形都是對稱圖形， 例如，球、圓錐、圓臺、正多面體、 長方體、長方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對稱圖形”；另一方面， 在認識、學(xué)習(xí)、研究“不對稱圖形”時，又往往是運用這些“對稱圖形”為工具 的。變換又可以看做運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時， 在頭腦中讓圖7形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看做一個剛體，通 過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉(zhuǎn) 180180。，去認識、理解、記憶平行四邊形 的其他性質(zhì)。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是培養(yǎng)幾何直觀的好辦法。3 3、學(xué)會從“數(shù)”與“形”兩個角度認識數(shù)學(xué)。在前面的論述中，多次反復(fù)強調(diào)了這一點，數(shù)形結(jié)合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發(fā)展成 一種對數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識， 這種對數(shù)學(xué)的認識和運用的能力，應(yīng)該 是形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度所必須要求的。4 4 掌握、運