多元微積分第一章(第1節(jié))

1、 多元多元 微微 積積 分分第一章第一章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學1.1 1.1 空間解析幾何基本知識空間解析幾何基本知識1.2 1.2 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1.3 1.3 偏導數(shù)和全微分偏導數(shù)和全微分1.4 1.4 多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法1.5 1.5 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值1.6 1.6 最小二乘法最小二乘法1.7 1.7 偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應(yīng)用 第一節(jié) 空間解析幾何 基本知識第一章第一章三、三、 空間曲面與方程空間曲面與方程一、一、 空間直角坐標系空間直角坐標系 二、二、 空間兩點間的距離空間兩點間的距

2、離xyz一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系的基本概念的基本概念 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸) 空間中取一定點空間中取一定點O,O,以以O(shè) O為原點作三條互相垂直為原點作三條互相垂直的數(shù)軸且有相同的單位長度，按右手規(guī)則組成一個的數(shù)軸且有相同的單位長度，按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系?？臻g直角坐標系。o 坐標面 卦限(八個)面xoy面yozzox面xyzo在直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組),(zyx)0 , 0 ,(x)0 , 0(yR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(

3、稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;MPQ), 0 , 0(z坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo二、二、 空間兩點間的距離公式空間兩點間的距離公式222zyx),(1111zyxM則兩點間的距離公式:212212212)()()(zzyyxx設(shè)兩點與, ),(2222zyxM21MM特別，M(x,y,z)與坐標原點O(0,0,0)的距離公式為:OM例例1. 求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 143

4、2MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 為頂點例例2. 在 z 軸上求與兩點)7, 1 ,4(A等距解解: 設(shè)該點為, ),0,0(zM即由題意有,BMAM 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求點為及)2,5,3(B. ),0,0(914M離的點 . 提示提示:(1) 設(shè)動點為, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 設(shè)動點為, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z思考思考: (1) 如何求在如何求在

5、xoy 面上與面上與A , B 等距離之點的軌跡方程等距離之點的軌跡方程?(2) 如何求在空間與如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程等距離之點的軌跡方程 ?實數(shù)軸上的點實數(shù)軸上的點 11平面中平面中的點的點實數(shù)實數(shù)x x有序數(shù)對有序數(shù)對(x,y)(x,y) 11空間中空間中的點的點 11有序數(shù)組有序數(shù)組(x,y,z)(x,y,z)一般地，一般地，n n元有序數(shù)元有序數(shù)組組),(321nxxxx稱為稱為n維空間中的點，并用維空間中的點，并用nR表示表示n n維空間。維空間。 在空間解析幾何中, 任何曲面都可以看作點的幾何軌跡.那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面曲面S的方程的方

6、程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的圖形. (1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程F(x, y, z)0; (2) 滿足方程F(x, y, z)0的任意一個當建立空間直角坐標系后， 如果曲面如果曲面S與三元方程與三元方程 F(x, y, z)0或z=f(x,y)有下述關(guān)系: 解構(gòu)成的有序數(shù)組(x,y,z)一定是曲面S上某一點的坐標.三、空間曲面與方程三、空間曲面與方程 例例. 設(shè)點A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求線段AB的垂直平分面的方程. 由題意知道, 所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡. 設(shè)M(x, y, z)為所求平面上的任一點, 則有 |AM|BM|,

7、 等式兩邊平方, 然后化簡得 2x6y2z70. 這就是所求的平面的方程. 解解 即 222222) 4() 1() 2() 3() 2() 1(zyxzyx 一般地，三元一次方程一般地，三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0表示空間中的平面，其中表示空間中的平面，其中A,B,C,D為任意常數(shù)，且為任意常數(shù)，且A,B,C不全為零。不全為零。1.平面平面故所求方程為2. 球面球面 例例. 求動點到定點),(zyxM),(0000zyxM軌跡軌跡方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解解: 設(shè) 為軌跡上任一點,RMM0即 依題意距離為 R 的xyzoM0MRzzyyxx202020)()()(2

8、202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx球面方程特點球面方程特點：三元二次方程三元二次方程 Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0平方項系數(shù)相同，沒有交叉項。平方項系數(shù)相同，沒有交叉項。xyzxyzol定義定義. 空間中，一條直線l 沿著一條定曲線 平行移動所產(chǎn)生的曲面稱為柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線.平行于z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzoo3. 柱面柱面xzy0母線母線F( x,y )

9、=0z = 0準線準線 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一點都滿足方程；上每一點都滿足方程；曲面曲面S外的每一點都不滿足方程外的每一點都不滿足方程點點N滿足方程，故滿足方程，故點點M滿足方程滿足方程 一般一般定義定義. 一條平面曲線4. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. 該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . 平面曲線 稱為母線.例如例如 :建立 yoz 面上曲線 C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)

10、曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).x S曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z).y zo S結(jié)論：書結(jié)論：書 7頁頁思考：思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？oyxz0),(22zxyf00),(:xzyfC練習：練習：方程 2222zayx表示什么曲面？表示什么曲面？ 圓錐面圓錐面 其中 x

11、y例例3. 求坐標面 xoz 上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解:繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z (1)已知曲面點的幾何軌跡, 建立此曲面的方程; (2)已知坐標x、y、z滿足的方程, 研究此方程所表示的曲面的形狀. 研究曲面的兩個基本問題研究曲面的兩個基本問題 通過配方, 原方程可以改寫成 (x1)2(y2)2z25. 例如：考察方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？ 解 這是一個球面方程 球心在點) 0 , 2 , 1 (0

12、M、半徑為5R 5. 二次曲面二次曲面三元二次方程 一般的二次曲面形狀很難用描點的方法得到，研究二次曲面特性的基本方法: 截割法截割法 常見類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面所表示的曲面，稱為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為 0 )zyx1. 橢球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：,012222zbyax,012222xczby 012222yczax橢圓1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11b

13、yyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)1 ()1 (2212212222czczbyaxcba,(為正數(shù))z2. 雙曲面雙曲面(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉

14、雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面3. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到)xyzxzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b

15、截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). zqypx22222 4. 拋物面拋物面xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面(1). .zqypx22222 4. 拋物面拋物面用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （馬鞍面）（馬鞍面）(2). 雙曲拋物面雙曲拋物面 截痕法截痕法.(2). 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法.(2). 雙曲拋物面雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面曲