基于向量誤差修正模型的兩區(qū)制門限協(xié)整檢驗

1、基于向量誤差修正模型的兩區(qū)制門限協(xié)整檢驗摘要這篇論文檢驗了一個具有單協(xié)整向量的兩區(qū)制向量誤差修正模型以及誤差修正中的門限效應。我們采用了一個相關的單一算法，能夠給出二元情況下完全門限協(xié)整模型的最大似然估計。我們對門限采用SupLM方法進行檢驗。我們派生出一個空漸近分布，演示模擬臨界值的方式，以及給出一個bootstrap近似。我們研究了使用蒙特卡洛模擬的檢驗的有效性，發(fā)現(xiàn)這種檢驗方式十分有效。通過使用這樣的方法對利率期限結構模型的研究，我們發(fā)現(xiàn)，存在著非常強的門限效應。I引言門限協(xié)整是由Balke和Fomby（1997）提出的用于研究非線性協(xié)整關系的可行的工具。特別值得注意的是，這個模型允許長

2、期均衡的非線性調整。這個模型被廣泛應用：Balke and Wohar（1998）、Lo and Zivot（2001）、Martens et al（1998）、Michael et al（1997）、OConnell（1998）、OConnell and Wei（1997）、Obstfeld and Taylor（1997）以及Taylor（2001）、Lo and Zivot（2001）對這些方法展開了廣泛的回顧。這一系列模型最重要的統(tǒng)計問題在于檢驗門限效應的存在性（空的線性？）。Balke和Fomby（1997）建議采用Hansen（1996）和Tsay（1989）用來檢驗誤差修正（協(xié)整

3、殘差）的單因素檢驗方法。眾所周知，在協(xié)整向量已知的情況下這種檢驗方法是有效的，但是Balke-Fomby并沒有對將此方法用于估計的協(xié)整向量的情況的檢驗做出理論上的說明。Lo和Zivot（2001）將Balke和Fomby的方法擴展到了具有已知協(xié)整向量的多元門限協(xié)整模型，采用了Tsay（1998）以及Hansen（1996）對多元擴展模型的檢驗方法。在本文中，我們將把這些方法擴展到檢驗未知協(xié)整向量的情況中。正如Balk-Fomby所研究的，我們的模型是一個具有單協(xié)整向量以及誤差修正中存在門限效應的向量誤差修正模型（VECM）。然而，與Balke-Fomby只關注于單變量估計以及檢驗方法不同，我們

4、的估計與檢驗將關注于完全多變量門限模型。事實上，將誤差修正作為門限變量并不是本文分析的必要條件，我們這里所討論的方法能夠非常簡單的合并到其他模型中，只要這些模型中的門限變量是前定變量的固定的變形形式。本文有兩點貢獻。第一，我們提出了一個采用最大似然估計方法估計門限模型的方法。這種算法包含了一個搜索門限以及協(xié)整向量的聯(lián)合網(wǎng)絡結構。這個算法在二元情況下非常容易實現(xiàn)，但是在更高緯度的情況下卻可能非常困難。此外，正因為如此，我們無法提供對于一致性以及最大似然估計分布理論上的證明。第二，我們發(fā)展出一個檢驗門限效應的方法。原假設不存在門限效應，所以模型簡化為一個常規(guī)的線性VECM。在此原假設下的估計非常容

5、易，簡化為一個常規(guī)的降秩回歸。這就表明其檢驗可以基于拉格朗日乘子（LM）準側，只要求在原假設下進行估計。由于門限參數(shù)并非在原假設下決定，我們在SupLM檢驗的基礎上進行擴展推論（參照Davies（1987）、Andrews（1993）以及Andrews and Ploberger（1994）對這種檢驗思路的動機以及理由）。我們的檢驗采用了與Seo（1998）為了檢驗誤差修正模型中結構變異所派生出來的方法所具有的相似的代數(shù)形式。我們派生出SupLM檢驗的漸近原分布，發(fā)現(xiàn)它與Hansen（1996）用來平穩(wěn)數(shù)據(jù)進行門限檢驗的形式一致。一般來說，漸近分布基于數(shù)據(jù)的協(xié)方差結構，預先排除制表。我們建議采

6、用Hansen（1996，2000b）的平穩(wěn)回歸元bootstrap方法，或者參數(shù)殘差bootstrap算法，來近似樣本的分布。Section2將介紹門限模型以及從Gaussian quasi-MLE方法中派生出來的用于檢驗該模型的方法。Section3將采用LM檢驗方法檢驗門限協(xié)整以及它的漸近分布，并給出兩種計算P值的方法。Section4將給出一個關于該檢驗的大小以及有效性的模擬結果。Section5給出一個在利率期限結構上的應用。漸近分布理論的證明將在附錄中給出。本文估計、檢驗的Gauss程序以及本文中主要工作的副本發(fā)布在/bhansen.2估計2.1.線

7、性協(xié)整設xt為一個p維一階單整時間序列，具有一個p×1維的協(xié)整向量。用wt='xt表示0階單整的誤差修正序列。那么一個滯后l+1階的線性VECM模型可以簡潔的寫成：xt=A'Xt-1+ut （1）其中，Xt-1=1wt-1xt-1xt-2xt-l回歸元Xt-1為一個k×1階列向量，A為一個k×p階矩陣，其中k=pl+2。誤差項ut為一個具有有限協(xié)方差矩陣=Eutut'鞅差序列（MDS）向量。符號 wt-1和Xt-1代表對的一般估計值。當估計真實值時，我們將分別將其表示為wt-1和Xt-1。我們需要對做一些標準化處理以使其能夠唄識別。由于僅僅

8、存在一個協(xié)整向量，那么就可以比較簡單的將中的一個元素設為1，在系統(tǒng)是雙變量（p=2）的情況下不會造成任何優(yōu)度損失，而在多變量（p>2）的情況下，也只是施加了在協(xié)整關系中增加了一個相關系數(shù)元素xt的一個約束。參數(shù)，A，的估計采用最大似然估計的方法，并假設誤差項ut服從高斯分布（對做一些標準化處理）。估計結果記為，A，回歸殘差向量為ut=xt-AXt-1。2.2.門限協(xié)整對模型（1）進行擴展為一個兩區(qū)制門限協(xié)整模型：xt=A1'Xt-1+ut if wt-1A2'Xt-1+ut if wt-1>其中，為門限參數(shù)。可以簡化為如下形式：xt=A1'Xt-1d1t,+

9、A2'Xt-1d2t,+ut (2)其中，d1t,=1 wt-1d2t,=1 wt-1>1為一個條件狀態(tài)函數(shù)。門限模型（2）存在兩區(qū)制，有誤差修正的值決定。系數(shù)矩陣A1和A2決定了區(qū)制機制。模型（2）允許所有系數(shù)才兩區(qū)制之間轉換（除了協(xié)整向量）。在許多的例子中，通過僅允許個別系數(shù)在不同區(qū)制間能夠變換，可以大大的簡化模型。這些是模型（2）的特殊形式，對A1，A2施加了約束。例如，僅允許常數(shù)項以及誤差修正參數(shù)wt-1可以變動，施加約束使滯后的xt-j在區(qū)制轉移時保持不變。門限效應只有當0<Pwt-1<1是才存在，否則模型就是簡單的一個線性協(xié)整模型。我們通過如下假設假設這一

10、約束0Pwt-11-0 （3）其中，0>0為顯著性參數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗性應用，我們設定0=0.05。我們通過最大似然估計方法估計模型（2），其前提假設是誤差項ut服從高斯分布。高斯似然函數(shù)為：LnA1,A2,=-n2log-12t=1nutA1,A2,'-1utA1,A2,其中，utA1,A2,=xt-A1'Xt-1d1t,-A2'Xt-1d2t,最大似然估計量A1，A2，為使似然函數(shù)LnA1,A2,達到最大值的參數(shù)值。為了計算上的方便，我們首先集中計算出A1,A2,。將,固定，只計算A1,A2,的最大似然估計量。這就只是一個特殊的OLS回歸：A1,=t=1nXt-1X

11、t-1'd1t,-1t=1nXt-1xt'd1t, （4）A2,=t=1nXt-1Xt-1'd2t,-1t=1nXt-1xt'd2t, （5）ut,=utA1,A2,以及：,=1nt=1nut,ut,' （6）值得注意的是，（4）式與（5）式分別是當wt-1以及wt-1>時xt對Xt-1的OLS回歸結果。這就將似然函數(shù)簡化為：Ln,=LnA1,A2,=-n2log,-np2 （7）然后，最大似然估計量,就是使log,最小化的參數(shù)值。根據(jù)前面對的規(guī)范化處理的討論以及施加于式（3）的約束條件01nt=1n1xt'1-0A1與A2的最大似然估計量

12、為A1=A1,和A2=A2,。關鍵的（7）式并非平滑的，所以簡便的梯度爬坡算法（FOB？）并不適合計算（7）式的最大化問題。在前面的p=2的例子中，我們建議采用一種網(wǎng)格搜索的方法在二維空間,中求解最大化的解。在更高緯度的情況下，網(wǎng)格搜索方法并不合適，其他的所搜方法（例如Dorsey and Mayer，1995，提出的遺傳算法）可能更為有效。但在本文中，由于是一個一直的前定變量，網(wǎng)格搜索可以極大的簡化計算過程。使用網(wǎng)格搜索，需要選取一個搜索的值域。我們采用線性模型中的一致估計（2.1中所討論的MLE）校準得出的值域。設wt=wt，令L,U表示wt的經(jīng)驗性結果，在L,U上構建一個平均分布的空間網(wǎng)

13、格。令L,U表示一個基于線性估計（漸近近似正態(tài)分布）的置信間隔，再在L,U上建立平均分布的空間網(wǎng)格。然后，網(wǎng)格搜索算法將在L,U以及L,U上檢驗所有符合01nt=1n1xt'1-0的，。在圖1和2中，我們給出了在Section5中的經(jīng)驗性例子的不可微標準函數(shù)（基于一年期和十年期債券利率的應用性研究，設定l=1）。圖1將式（7）作為的函數(shù)繪制，圖2則將其作為的函數(shù)繪制。綜上所述，我們關于p=2情形的算法為：1、基于線性估計量在L,U與L,U上構建網(wǎng)格；2、對于網(wǎng)格上的每一組，的值帶入（4）（5）（6）式分別計算A1,、A2,、,；3、找到網(wǎng)格中使log,取最小值的，作為估計值,；4、計算

14、得出A1=A1,、A2=A2,、=,以及ut=ut,。值得注意的是，在第3步中，并不能保證最小化估計值,是唯一的，因為似然函數(shù)不是一個凹函數(shù)。我們介紹了一個用于MLE的算法，但需要強調的是這并不是一個理論上的推斷。我們并沒有給出估計結果的一致性的證明或者是分布理論。在線性模型中，以速率n靠近，在一個平穩(wěn)模型中，以速率n靠近。那么似乎在門限協(xié)整模型中做這樣的猜測是合理的：,以速率n靠近，。在這種情況下，由于和已知，斜率估計值A1和A2服從漸近正態(tài)分布。那么，這些估計參數(shù)的標準差也可以輕松得出。3門限檢驗3.1. 統(tǒng)計學檢驗令H0表示表示線性VECM模型（1），H1表示兩區(qū)制的門限模型（2）。這些

15、模型是嵌套模型，H0模型是對H1模型施加約束A1=A2的特殊形式。我們想要比較檢驗H0（線性協(xié)整）與H1（門限協(xié)整）。我們將致力于正規(guī)模型基礎上的統(tǒng)計學檢驗，以能夠直接比較這兩個模型，并指出模型之間的不同之處。此外，有人可能會建議考慮采用Tsay（1989）的非參數(shù)非線性檢驗和Tsay（1998）的單變量和多變量情況下的檢驗。但正如Balke and Fomby（1997）以及Lo and Zivot（2001）的模擬研究，這些非參數(shù)檢驗一般不如基于可比較模型的檢驗具有說服力。在本文中我們采用LM統(tǒng)計量檢驗。我們這樣選擇基于兩點：第一，LM統(tǒng)計量的計算非常容易快捷，使得bootstrap可行；

16、第二，一個似然比率或者wald檢驗需要無約束模型參數(shù)估計的分布理論，而本文并不具備相關理論。雖然沒有相關證據(jù)，我們猜測這些檢驗漸近等價于LM檢驗。所以我們推斷能夠使用LM統(tǒng)計量檢驗。假設，已知且平穩(wěn)，則H0假設下的模型為：xt=AXt-1+ut （8）以及H1假設下的模型為：xt=A1'Xt-1d1t,+A2'Xt-1d2t,+ut （9）在給定，時，這些模型是線性的，那么最大似然估計就是有效地。由于（8）是（9）的一個嵌套模型，那么對于異方差情況下依舊具有穩(wěn)健性質的類似于LM的統(tǒng)計量就可以從模型（9）的線性回歸中計算得出。特別的，令X1,和X2,分別表示Xt-1d1t,和Xt

17、-1d2t,的行疊矩陣，令1,和2,分別表示utXt-1d1t,和utXt-1d2t,的行疊矩陣，其中ut為Section2.1中所定義的線性模型的殘差向量，再定義外籍矩陣為：M1,=IpX1,'X1,M2,=IpX2,'X2,以及1,=1,'1,2,=2,'2,然后我們定義V1,和V2,為vecA1,以及vecA2,的Eicker- White協(xié)方差矩陣：V1,=M1,-11,M1,-1 （10）V2,=M2,-12,M2,-1 （11）得出異方差的似LM穩(wěn)健統(tǒng)計量的標準表達形式：LM,=vecA1,-A2,'V1,+V2,-1vecA1,-A2, （

18、12）如果和已知，式（12）就可以作為檢驗統(tǒng)計量。若未知，則LM統(tǒng)計量由在H0假設下點估計得出的估計量通過（12）式計算得到。對的原估計為（Section2.1），但在H0假設下不存在對的估計，以致并不能簡單的得出LM統(tǒng)計量。根據(jù)交并原理，Davies（1987）提出了統(tǒng)計量：SupLM=supLULM, (13)在本文的檢驗中，由于設定了搜索域L,U，那么L就是wt-1的百分之0，U就是其百分之1-0。為了進行檢驗，餐宿0不能接近于0，Andrews（1993）的研究表明這樣做將降低檢驗的說服力。Andrews（1993）指出將0設定在0.05和0.15之間是檢驗效果非常不錯的選擇。對于選擇

19、（13）式的檢驗統(tǒng)計量的進一步的理由Andrews（1993）和Andrews and Ploberger（1994）中做了詳細討論。Andrews and Ploberger（1994）認為，通過對LM,的指數(shù)加權平均能夠增加檢驗的可靠性。然而，由于對加權函數(shù)的選擇問題，加權方法天生具有隨意性，所以我們的分析依舊基于式（13）。由于函數(shù)LM,對于 不可微，對于（13）式所定義的最大化問題的求解就需要在L,U上進行網(wǎng)格估計。當協(xié)整向量0為一個已知的前定變量時，可以認為固定為一個已知值0，則檢驗采取式（13）的形式。我們將這個檢驗統(tǒng)計量表示為：SupLM0=supLULM0, （14）尤其需要指

20、出的是，使（13）與（14）式達到最大值的的值可能與Section2中的MLE估計值不同。事實上，基于如下兩點原因確實如此：第一，（13）與（14）式為LM檢驗，是基于原假設下的參數(shù)估計結果而不是備選假設；第二，這些LM統(tǒng)計量是基于異方差-自相關的協(xié)方差矩陣估計結果計算得出的，在這種情況下，就算是SupWald統(tǒng)計量的最大化解也與MLE的結果不一致（僅當估計的是同方差協(xié)方差矩陣時二者才等價）。這種差異普遍存在與門限檢驗以及對回歸模型的估計當中，并非只存在于門限協(xié)整模型中。3.2. 漸近分布首先考慮協(xié)整向量真實值0已知的情況?；貧w元是平穩(wěn)的，檢驗問題是一個對Hansen（1996）的多元概括。檢

21、驗中所用的漸近分布服從于那篇文章中的形式。我們將遵循標準弱依賴性條件。假設：'xt,xt為4r階矩有界的，具有嚴格的平穩(wěn)性與規(guī)律性，具有一個混合斜率m=Om-A，其中，A>vv-1且r>v>1。此外，誤差項ut為一個MDS（多維標度法？），誤差修正'xt具有一個有限密度函數(shù)。在原假設（8）的情況下，當ut獨立同分布且具有有限密度函數(shù)以及為一個4r階矩有界時，這些前提條件就全部滿足；在備選假設（9）的情況下，必須對參數(shù)進行進一步的約束才能滿足這些假設。令F表示wt-1的邊緣分布函數(shù)，令符號“”表示關于0,1-0弱收斂性的同一指標（？）。定義t-1=Fwt-1以及

22、Mr=IpEXt-1Xt-1'1t-1r以及r=E1t-1rutut'Xt-1Xt-1'定理一：在原假設H0下 SupLM0T=sup0r1-0Tr其中，Tr=S*r'*r-1S*r*r=r-MrM1-1r-rM1-1Mr+MrM1-11M1-1Mr以及S*r=Sr-MrM1-1S1其中，Sr為一個具有協(xié)方差內核ESr1Sr2'=r1r2的零均值高斯過程矩陣。定理一中的漸近分布與Hansen（1996）所介紹的一樣。一般的，漸近分布不能再進一步的簡化。然而，在本節(jié)最后我們將討論一種特殊的簡化形式。接下來我們考慮需要估計的情況。由于n-0=Op1，那么，在

23、0的比率為n-1的置信鄰域內研究LM,的變化特征就足夠了。定理二：在原假設H0下，LM,=LM+n,具有與LM0,相同的有限維度漸近分布（fidis）。另外，如果我們能夠說明LM,過程是一個緊湊的集合（？），那么SupLM和SupLM0就具有相同的漸近分布，也就是T。這就表明使用估計值而不是真實值0，并沒有改變LM檢驗的原漸近分布。不幸的是，我們無法證明這個想法的正確性。證明時存在雙重困難，由于虛擬變量的存在，導致LM,在上是不連續(xù)的，而且LM,也是非平穩(wěn)變量xt-1的函數(shù)。僅有很少一部分文獻將經(jīng)驗性過程描述成時間序列過程，幾乎沒有任何一篇文獻討論非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。再者，非平穩(wěn)變量xt-1出現(xiàn)在虛擬

24、變量函數(shù)中，所以Taylor序列方法并不能簡化這個問題。我們認為，雖然缺乏完備的證明，定理二的fidi結果足夠說明使用漸近分布T計算SupLM統(tǒng)計量的合理性。定理一給出了漸近分布T的一個表達形式。它具有一個隨進過程Tr的上確界形式。Tr為一個卡方過程，對每一個r而言，Tr的邊緣分布為卡方分布。由于T為這個隨機過程的上確界，它的分布形式就由卡方過程的聯(lián)合分布決定，那么就取決于未知函數(shù)Mr和r。由于這兩個函數(shù)可以選取很多種形式，T的臨界值無法制成圖表。在一種特殊的情況下，我們可以給出一種重要的簡化形式。令模型（2）不具有截距項，且xt沒有滯后項，同時滿足Eutut'Ft-1=，那么唯一的回

25、歸元就是誤差修正項wt-1。由于Mr為純量的單調遞增函數(shù)，那么就存在函數(shù)s使得Ms=sM1。不是一般性，我們標準化M1=1以及=I。那么，Ss=Ws就是一個標準布朗運動，Ss=Ws-sW1為布朗橋，而且有T=sup0r1-0Tr=sup0r1-0Ts=sups1ss2Ws-sW12s1-s其中，s1=-10以及s2=-11-0。這是Andrews（1993）中用來檢驗未知時間點上結構變異是所用的分布，也是滿足s0=s21-s1s11-s2的一個函數(shù)。（？）3.3. 漸近的p值：固定回歸元的bootstrap除去Section3.2最后討論的特殊情況，定理一和二所描述的漸近分布基于矩函數(shù)Mr和r

26、，那么臨界值就無法制成圖表。在本節(jié)中，我們將討論Hansen（1996，2000b）中所使用的固定回歸元bootstrap入耳用來計算漸近臨界值和p值，得出一階漸近修正推論。定理二表明，第一階段對于協(xié)整向量的估計并不會影響SupLM檢驗的漸近分布。那么在討論門限推論時就不需要考慮估計方法的影響。然而，由于當為需要估計的時候，定理二并不是一個關于SupLM漸近分布的完備證明，我們必須強調這個思路的一些部分只是猜測。接著，我們來描述一個固定回歸元的bootstrap。我們令wt-1=wt-1以及Xt-1=Xt-1，令ut為Section2中所介紹的降秩回歸的殘差。對于接下來的討論，ut、wt-1、

27、Xt-1以及都固定為其樣本值。設ebt獨立同分布且服從標準正態(tài)分布N0,1，令ybt=utebt。用Xt-1對ybt回歸，得到回歸殘差ubt。用Xt-1d1t,以及Xt-1d2t,對ybt回歸，得到回歸系數(shù)矩陣A1b和A2b，以及殘差ubt。定義V1b和V1b為設定=，并由1,和2,所定義的ubt代替ut之后由式（10）和（11）所計算的值。接著再令SupLM*=supLUvecA1b-A2b'V1b+V2b-1vecA1b-A2bHansen（1996）的分析表明，在對H0條件做出局部替代的情況下，SupLM*pT，SupLM*的分布具有對SupLM漸進原分布有效地一階近似。其中，“p”表示有Gine和Zinn（1990）定義的依概率弱收斂。SupLM*的分布位置，但是可以是使用模擬的方法計算得出。根據(jù)上面所介紹的方法能夠得到一個分布形式。根據(jù)對于誤差項ebt相互獨立的模擬結果，能夠得出一個新的分布形式。如果這個過程重復足夠大次數(shù)（例