暑期數(shù)學(xué)建模自適應(yīng)過濾法與灰色預(yù)測(cè)法

1、自適應(yīng)濾波可以應(yīng)用在如下的自回歸模型上:巧=a.1+43+G（1）概括地說，自適應(yīng)濾波是從©.中的一組初始值開始，逐次迭代，不斷調(diào)整，以實(shí)現(xiàn)自回歸系數(shù)的最優(yōu)化。完整的自適性自回歸濾波法模型表達(dá)式為：巧=0吊.1+0M-2+pli.p+G（2）。a6荷單易行，可采取標(biāo)酒化程序運(yùn)算；中0適用于樣本容一較小的情況；中0不墨求序列是平穩(wěn)的；用0是支系數(shù)模型根據(jù)逐次逼近法，自適應(yīng)系數(shù)的迭代公式為:Fit=Fi(t-l)+2ketxt-i其中，i=l,2,p;片p+l/+2,/就為調(diào)整系數(shù),控制著逐次逼近的收斂速度；4為剩余誤差。為了使迭代次數(shù)盡可能的少且在逼近過程中均方差不增大，左值必須小于或

2、等于1/p。運(yùn)用自適應(yīng)濾波首先的確定毀、的初始值。與適成過渡法的估計(jì)方法$、生、的初始值可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)，1、/2、利用YuleWalker方程求得：9=(/yr/)/(Lr/)為了減少計(jì)算量或提高預(yù)測(cè)精度，還必須考慮一下兩個(gè)問題：(1)自回歸的階數(shù)(2)調(diào)整系數(shù)A的取值當(dāng)序列中不存在季節(jié)效應(yīng)時(shí)，一幽可取2或3；當(dāng)存在季節(jié)效應(yīng)時(shí)，p取季節(jié)周期的長(zhǎng)度。為了使迭代次數(shù)盡可能的少且在逼近過程中均方差不增大，人值必須小于或等于的值可以用序列中P個(gè)較大的實(shí)現(xiàn)值的平方和的倒數(shù)來確定，亦即:另外，當(dāng)序列波動(dòng)性很大時(shí)，可能影響迭代的收斂速度，為此可將原序列做標(biāo)準(zhǔn)化處理(參見徐國(guó)祥.統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)和決策，上海財(cái)經(jīng)大

3、學(xué)出版社，2005. P122)序號(hào)序列xt序號(hào)序列xt序號(hào)序列xt序號(hào)序列xt14.263.34113.636166.7825.872125.1817536.981.7137.11185.0447.6292e02148.26196.0255.57102.71157.96207.61巧=4巧.i+Wm+e,。1=7式1十2）/（1十12）。2=（，2十/）/（12）workfilezshyglfu1150scalarw1scalarw2seriesxx.fill4.2.5.8.6.9.7.62.5.57.3.34,2.1.7,2.02.2.71.3.63.5.18.7.11.8.26.7.96

4、.6.78.5.07.5.04.6.02,7.61seriesf1seriesf2series e f1 (3)=1.20 f2(3)=0.55for !j=1 to 150for !i=3 to 20e(!i)-x(!i)-f1(!i)*x(!i-1H2(!l)*x(!i-2) f 1 (!i+1 )-f 1 (!i)+2#0.008-e(!i)*x(!i-1)f2(!i+1)-f2(!i)+2*0.008>e(!i)*x(!i-2) nextf1(3)-f1(21)f2(3)=f2(21)w1=f1(21)w2=f2(21) nextsmpl 1 20series ycyc=wrx(

5、-1)+w2*x(-2)series cccc=x-ycgroup p1 x yc cc show pl.lineEViews的自適應(yīng)過 濾程序！第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論簡(jiǎn)單來講，灰色預(yù)測(cè)是通過將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律，建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未來發(fā)展趨勢(shì)的狀況。二、衣色預(yù)測(cè)的&種類型?；疑珪r(shí)間序列預(yù)測(cè);預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻。建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰?；冾A(yù)測(cè)如地震等；。系統(tǒng)預(yù)測(cè)色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)系統(tǒng)中多個(gè)變量的協(xié)調(diào)發(fā)展變化；二、次色預(yù)測(cè)的四種類型。拓?fù)漕A(yù)測(cè)一預(yù)測(cè)定值發(fā)生的時(shí)刻。一、生成列為了弱化原始時(shí)間序列的隨機(jī)性，對(duì)原始數(shù)據(jù)的處理，處理后的序列稱為生成列。三、生成

6、刊0累加設(shè)原始序列為:X<0>=X(0,(l),X(0)(2),-,X(0)(n)記生成列為:x">=X(I),X(2),，X(n)氟第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論腐三、生成列。累加其中，X(k)=2、X?i)對(duì)于非負(fù)數(shù)據(jù)累加次數(shù)越多，則隨機(jī)性弱化越多，一般隨機(jī)序列經(jīng)多次累加后，大多可用指數(shù)曲線逼近。三、生成列0年減累減方法與累加相仿。關(guān)聯(lián)系數(shù)設(shè)：X<0)=X(°)(D,X(°)(2).，X(°)(n)文(0>=(x(0)(l),X(o)(2).-,X(0)(n)J關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為：關(guān)聯(lián)系數(shù)"(k)minX(0)(k)-(k)+

7、pmaxX(o)(k)-X<o)(k)X(o)(k)-X(o)(k)+pmaxX(o)(k)-X(o)(k)14k4n其中，凝分辨率，0<p<l,一般取0.5。第第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論飛對(duì)單位不一、初始值不同的序列，在計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)前應(yīng)首先對(duì)序列進(jìn)行初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別除以第一個(gè)數(shù)據(jù)。關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值稱為關(guān)聯(lián)度，即關(guān)聯(lián)度越大，序列間的關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)。五、GM(1,1)模型。GM(1,1)楂翅的結(jié)構(gòu)設(shè)時(shí)間序列X(。)有n個(gè)觀察值：x(o>=x(o)(1)x(o)(2)>x(o)(n)J通過累加生成的新序列為X(D：X(l>=X(1),X(2),，X(n)五、G

8、M(1,1)模型。GM(1,1)模型的結(jié)構(gòu)則GM(1,1)模型相應(yīng)的微分方程為：dX+aX=dt其中，a稱為發(fā)展灰度，稱為內(nèi)生控制灰度。a和藤需要估計(jì)。前第二節(jié)次色預(yù)測(cè)理論超五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的結(jié)構(gòu)解微分方程，即可得到預(yù)測(cè)模型:C文+1)=乂(°)(1)2底政+2第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)由于函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在離散情況下即為序列的一階差分，即dX”7dt二VX"。)噬第二節(jié)美色預(yù)測(cè)理論五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)所以對(duì)時(shí)間序列來講，GM(1,1)模型相應(yīng)的微分方程可轉(zhuǎn)化為：這樣參數(shù)就

9、可用普通最小二乘法來估計(jì)了。五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)灰色模型的檢驗(yàn)包括：參數(shù)估計(jì)時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)(類似回歸模型的檢驗(yàn))、相對(duì)誤差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。氟第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論腐五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)。相對(duì)誤差檢驗(yàn)五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)3。參數(shù)估計(jì)時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)中。相對(duì)誤差檢驗(yàn)；中。關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)；X(0) (i)- x(o)(i)x 100%*。后驗(yàn)差檢驗(yàn)。五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)。相對(duì)誤差檢驗(yàn)相對(duì)誤差都小于005,即為合格。預(yù)測(cè)模型選取的原始序列的長(zhǎng)度(稱為維度)的大小對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度有一定的影響，

10、相對(duì)誤差越小的維度越好。五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)。關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)計(jì)算預(yù)測(cè)序列與原始序列的關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)p=0.5時(shí)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。第二節(jié)美色預(yù)測(cè)理論五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn):。后驗(yàn)差檢驗(yàn)(1)計(jì)算原始序列標(biāo)準(zhǔn)差si =2（X- x）2五、GM(1,1)模型0 GM(1,1)模型的檢驗(yàn)。后驗(yàn)差檢驗(yàn)(2)計(jì)算絕對(duì)誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差 （1） = X（0） / G 3）一X （I）五、GM(1,1)模型OGM(1,1)模型的檢驗(yàn):o后驗(yàn)差檢驗(yàn)(2)計(jì)算絕對(duì)誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差s2五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)O后驗(yàn)差檢驗(yàn)(3)計(jì)

11、算標(biāo)準(zhǔn)差之比c=s2/s,五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)。后驗(yàn)差檢驗(yàn)(4)計(jì)算小誤差概率假設(shè)絕對(duì)誤差服從正態(tài)分布，計(jì)算概率:P=pA<0)(i)-A(0>(i)<0.674S2五、GM(1,1)模型。GM(1,1)模型的檢驗(yàn)。后驗(yàn)差檢驗(yàn)PC標(biāo)準(zhǔn)>0.95<0.35好>0.80<0.50合格>0.70<0.65勉強(qiáng)合格W0.7020.65不合格第二節(jié)次色預(yù)測(cè)理論需六、GM(1,1)模型的例子年份199819992000200120022003GDP386.06476.57679.35873.891085.331252.333

12、86.06862.631541.982415.873501.2|4753.53甲笫二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論峭六、GM(1,1)模型的例子。得到的參數(shù)：a=334.5912p=0.203991.一。毋到的模型：x(l>(k+1)=386.06+1640.225e'°'20399lk-1640.225嗣,第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論超六、GM(1,1)模型的例子。相對(duì)誤接：1.47E-160.037870.1723260.2109790.2209310.172037。關(guān)聯(lián)度：r=0.696。標(biāo)準(zhǔn)旌比：C=2.987*；七、GM(1,1)殘姜模型若用原始序列X(。)建立的GM(1,1)

13、模型檢驗(yàn)不合格或預(yù)測(cè)精度不理想，這時(shí)可對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行殘差修正以提高模型的預(yù)測(cè)精度。.第二節(jié)衣色預(yù)測(cè)理論端七、GM(1,1)殘姜桃契設(shè)用原始序列X(。)建立的GM(1,1)模型為:X(,)(k+1)=X<o)(l)-e-ak+aa用其對(duì)原始序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的累加序列X的預(yù)測(cè)序列為：X(,)=X(,)(I),X(,>(2),-,X(,)(n)定義殘差為：e(o)(i)=X(,)(i)-X(,)(i)殘差序列為：言e(o)=e(o>(ixe<o,(2),.,e(o,(n)則可對(duì)殘差序列e(。)建立相應(yīng)的GM(1J)模型：e(,)(k+l)=e(o)(l)-e-ae

14、k+2acae將其導(dǎo)數(shù)加到原始序列的GM(1,1)中得修正模型：X(l)(k+1)=X<o)(l)-e-ak+b(k-l)(-ac)e<0,(l)-Je-(k,)aa其中,b(k 1) = «0,& v 2小結(jié):灰色預(yù)測(cè)模型適用于累加序列呈指數(shù)型發(fā)展的序列的趨勢(shì)預(yù)測(cè)，常用于短、中期預(yù)測(cè)。例1：GM(1,1)用于宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的例子的EViews程序：workfilegmllu16seriesgdpg*,fill386.06,476.57,679.35,873.89,1085.33,1252.33seriesgdplfor!l=2to6g45l(l)=gdp(l)g*

15、l(!l)=gdpl(!l-l)+g*(!l)nextequationeq.lsgdpcgdplscalarmm=c(l)/c(2)seriesgdplycfor!j=lto6g*lyc(!j)=(g4>(l)+m)*exp(c(2)*(!j-l)fnnextseriesycfor!l=2to6yc(l)=g*lyc(l)yc(!l)=g*iyc(!l)-gdpiyc(!l-l)nextseriesxdwuxdwu=abs(gdp-yc)/gdpseriesglxsglxs=(min(abs(gdp/gdp(l)-yc/yc(l)+0.5*max(abs(gdp/gdp(l)-yc/yc(l)/(abs(gdp/gdp(l)-yc/yc(l)+0.5*max(abs(gdp/gdp(l)-yc/yc(l)scalargidgld=mean(glxs)scalarsisl=stdev(gdp)scalars2s2=stdev(abs(gdp-yc)scalarclcl=S2/Slseriesjsjs=abs(abs(gdp-yc)-mean