雙曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)整理版

1、雙曲線知識(shí)點(diǎn)指導(dǎo)教師：鄭軍雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個(gè)定點(diǎn)Fi與F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長（V |FiF2| ）的點(diǎn)的軌跡 （引|PF2| 2a FiFJ （ a為常數(shù)）.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn).要注意兩點(diǎn)：（1）距離之差的絕對(duì)值（ 2） 2av | FiF2|.當(dāng)|MF| |MF|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F?所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF| |MF|= 2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)Fi所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=| F1F2I時(shí)，軌跡是一直線上以Fi、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a>| FiF2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.斶1)闿2)2. 第二定義：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線I的距離之

2、比是常數(shù)e（e> 1）時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線I叫做雙曲線的準(zhǔn)線*圖 818雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:2 2話冷1(a>0, b>°)(焦點(diǎn)在X軸上)；2 y 2 ab21 (a>0, b>0)(焦點(diǎn)在y軸上);1.如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y2.軸上.a不一定大于b.2 2與雙曲線冷 為1共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是a ba23.2雙曲線方程也可設(shè)為：-m2y1(m n 0)n2例題：已知雙曲線C和橢圓162七1有相同的焦點(diǎn),且過P(3, 4)點(diǎn)，求雙曲線C的軌跡方程。點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)

3、系，直線與雙曲線的位置關(guān)系:1點(diǎn)與雙曲線：點(diǎn)Pgy。)在雙曲線2 x 22y .21(a0,b0)的內(nèi)部2x022y01.2 1abab2222點(diǎn)Pgy。)在雙曲線x2y_.21(a0,b0)的外部X。2y0 1.2abab2222點(diǎn)P( x0, y°)在雙曲線x2y_.21(a0,b0)上智址=1'.2 =labab2直線與雙曲線：(代數(shù)法)設(shè)直線l: y kx m，雙曲線2x22y1( a 0,b0)聯(lián)立解得ab 2 2 2 2 24a b (m b a k )(b2 a2k2 )x2 2a2mkxa2m2a2b201) m 0時(shí)，-k -直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(左支一個(gè)點(diǎn)

4、右支一個(gè)點(diǎn))；a ak -，k-，或k不存在時(shí)直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；aa2) m 0 時(shí)，k存在時(shí)，若b2 a2k20k b，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；a22. 2 2 2 2 2, 2 2 2 2.2.若 b a k 0，( 2a mk) 4(b a k )( a m a b )0時(shí)，m2 b2 a2k20，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；0時(shí)，m2 b2 a2k20 ,直線與雙曲線相離，沒有交點(diǎn)；2 .20時(shí)m2 b2 a2k20， k2 m2直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；a若k不存在，a m a時(shí)，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；m a或ma直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；3. 過定點(diǎn)的直線與雙曲

5、線的位置關(guān)系：2 2設(shè)直線 1 ： y kx m 過定點(diǎn) P(x0, y0)，雙曲線一21(a 0,b 0)a b1).當(dāng)點(diǎn)P(X0,y°)在雙曲線內(nèi)部時(shí)：-k -，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；a ak-，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；ak -或k-或k不存在時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；aa2).當(dāng)點(diǎn)P(X0,y°)在雙曲線上時(shí)：k b或k 2X°，直線與雙曲線只交于點(diǎn)P(X0,y°)；aay。b k -直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn))；a ak警(y。0 )或b k學(xué)(y。0 )或kb或k不存在,a y°a

6、a y°a直線與雙曲線在一支上有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)y°0時(shí)，Kk一或k不存在，直線與雙曲線只交于點(diǎn) P(X0,y°)；ak b或kb時(shí)直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；aab k -直線與雙曲線交于兩點(diǎn)(左支一個(gè)點(diǎn)右支一個(gè)點(diǎn))；a a3) .當(dāng)點(diǎn)P(X0,y°)在雙曲線外部時(shí)：當(dāng)P 0,0時(shí)，-k b，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn);a ak -或k b或k不存在，直線與雙曲線沒有交點(diǎn); a a當(dāng)點(diǎn)m 0時(shí)，k時(shí)，過點(diǎn)P(X0,y°)的直線與雙曲線相切k b時(shí)，直線與雙曲線只交于一點(diǎn);a幾何法：直線與漸近線的位置關(guān)系2例:過點(diǎn)P(0,3)的直線I和雙曲線C

7、 : x2 乂 1，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線I的方4四、程。雙曲線與漸近線的關(guān)系:1.若雙曲線方程為2.3.2 ab2 x2y2 ab22yx22 ab22y2 x2 ab2ybx a2 x2y2 ab2漸近線方程:0若雙曲線方程為1漸近線方程:x若漸近線方程為a雙曲線可設(shè)為2 x2y0y1(a0,b0)(a>0, b>0)0.24. 若雙曲線與篤a2 y b21有公共漸近線五、1.則雙曲線的方程可設(shè)為上)雙曲線與切線方程:2雙曲線右a2 X2 a2b (0,焦點(diǎn)在x軸上,0，焦點(diǎn)在y軸27 1(a 0, b 0)上一點(diǎn)P(x0, y0)處的切線方程是0_bay0y 1孑1.2.3.

8、X0X2aycy 1 b2 1.x2雙曲線孑b吿1(a 0,b 0)與直線Ax By C 0相切的條件是A2a2 B2b2 c2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在x軸)2 2xy21(a0,b 0)ab標(biāo)準(zhǔn)方程(焦點(diǎn)在y軸)雙曲線的性質(zhì):六、2 2m(a °,b0)2第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fl，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于IF1F2I)的 點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。M MF1 MF22a 2a定義P、 yyF2/x/F1 第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線I的距離的比是常數(shù)e，當(dāng)e 1時(shí), 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)F叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定

9、直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù) e(e 1)叫做雙曲線的離心率。范圍對(duì)稱軸對(duì)稱中心焦占坐八 、八、一I-標(biāo)頂點(diǎn)坐 標(biāo)離心率準(zhǔn)線方 程頂點(diǎn)到 準(zhǔn)線的 距離pyP IKJF2x軸,y軸；實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b原點(diǎn)0(0,0)£( c,0) F2(c,0)F1(0, c)F2(0, c)焦點(diǎn)在實(shí)軸上，c Ja2 b2 ;焦距：IF1F2I 2c(a,0) ( a,0)(0, a,) (0，a)e C(e 1)，c22 b2，e越大則雙曲線開口的開闊度越大a2 準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：絲C頂點(diǎn)A ( A )到準(zhǔn)線l1 ( I2 )的距離為aC_t 2頂點(diǎn)Ai ( A

10、)到準(zhǔn)線12 ( li)的距離為L ac焦占至U 八、八、亠J準(zhǔn)線的 距離22焦點(diǎn)Fi（ F2）到準(zhǔn)線ii（ 12）的距離為c a_丄c c2焦點(diǎn)Fi （ F2）到準(zhǔn)線l2 （ li ）的距離為丄cc漸近線方程b /虛） y-x （片）a實(shí)b(虛)x -y (=) a實(shí)共漸近 線的雙 曲線系 方程2 2k (k 0)ab2 2-T 2k ( k 0)ab直線和 雙曲線 的位置2 2雙曲線篤與i與直線y kx b的位置關(guān)系：ab22x y i利用a2 b2'轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。y kx b二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相父弦 AB的弦長 |AB| Ji k2J（Xi

11、 x2）2 4Xi«通徑：AB| y2 yi|過雙曲 線上一 點(diǎn)的切 線弩呼i或利用導(dǎo)數(shù)abay ；02x i或利用導(dǎo)數(shù)七、弦長公式：若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A B,且Xi,X2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則AB 応X2p(ylABVk21 x-!x224x1x2 1 k2 ，若yi, y2分別為A、B的縱 |a|坐標(biāo)，則ABX224y2。通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于2b2A B兩點(diǎn)，則弦長| AB|竺。ay2若弦AB所在直線方程設(shè)為x ky b，則AB = Ji k2|y y2特別地，焦點(diǎn)弦的弦長的計(jì)算是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解

12、,例：直線y x八、焦半徑公式:21與雙曲線21相交于A, B兩點(diǎn)，貝U AB =2雙曲線篤ab21 (a>0, b>0)上有一動(dòng)點(diǎn) M(x0,y0)當(dāng) M(xo,y。)在左支上時(shí)MFj exo a,|MF2| exo a當(dāng) M(xo,y。)在右支上時(shí) | MF! | exo a, IMF2I exo a注：焦半徑公式是關(guān)于X。的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當(dāng) M(Xo,y。)在左支端點(diǎn)時(shí)IMFj c a ,IMF2I c a，當(dāng) M(xo,y。)在左支端點(diǎn)時(shí) | MF! | c a , | MF2 | c a九、等軸雙曲線:2x2 a貝U:2y21 (a>0, b>0)當(dāng)a

13、 b時(shí)稱雙曲線為等軸雙曲線;b21. a b ；2. 離心率e 2 ；3. 兩漸近線互相垂直，分別為y= x ；4. 等軸雙曲線的方程x2 y2,0 ；5. 等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。 十、共軛雙曲線：1. 定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共 軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線.2. 方程：3. 性質(zhì)：共軛雙曲線有共同的漸近線；共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)共圓.2 2x - y_TT -2a b它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。1 (a>0;b>0)的焦點(diǎn)為F1與F2，且p為曲線上任意一點(diǎn),則PF1F2的面積Sb2cot

14、焦點(diǎn)三角形面積公式： S f,pf2 b2 cot ,(F1PF2)1 2 2雙曲線1. 點(diǎn)P處的切線PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.2. PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直 徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓 相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P 在左支)2 25. 若P0(xo, yo)在雙曲線 令 占1 (a>0,b > 0) 上,則過P。的雙曲線的切線方程是a bx)x yoy 12 .2a b2若P0(xo, y0)在雙曲線2ab21 (

15、a> 0,b >0)夕卜，則過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是轡1.a b2 2雙曲線 冷 吿1( a> 0,b >0)的左右焦點(diǎn)分別為F1, F 2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一 a b點(diǎn)F1PF2，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為 S F1pf2 b2cot.1 2 2設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連 結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，貝U MFL NF.過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),AP和AQ交于點(diǎn)M, AP和AQ交于點(diǎn)N,貝U

16、 MFLNF.6.7.8.9.10.11.12.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.2AB是雙曲線務(wù)a則 KoM K AB2ybb2Xg1 (a>0,b >0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(xo,y。)為AB的中點(diǎn),2a y。，即K ABb2Xga2y。°x2若P0(X0,y0)在雙曲線-2 a2y。b2 .2 y_ b21 (a> 0,b > 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是2X0Xy°y X0aa2b213.目錄雙曲線知識(shí)點(diǎn)1雙曲線定義:錯(cuò)誤!未定義書簽。錯(cuò)誤!未定義書簽。2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 錯(cuò)誤!未定義書簽3. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是： 錯(cuò)誤!未定義書簽4. 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)