抽象函數(shù)的對稱性奇偶性周期性總結(jié)習題

1、抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性總結(jié)及習題一.概念：抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù) 符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值, 特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的 一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體，因此理解研究起 來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想 象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于f(x)定義域內(nèi)的每一個 X,都存在非零常數(shù) T,使得f(x T)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一個周期，則kT (k Z,

2、k 0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f (x)的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)y f(x)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C:y f(x),x a,b ,T b a。把y f(x)沿x軸平移KT K(b a)個單位即按向量a (kT,0)平移，即得yf(x)在其他周期的圖像：y f (x kT),x kT a, kT b。f(x)f(x)f (x kT)x a,bx kT a,kT b2、奇偶函數(shù)：設(shè) y f (x), x a,b 或x b, a a, b若f ( x) f(x)，則稱yf(x)為奇函數(shù)；若f ( x)f(x)則稱yf (x)為偶函數(shù)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)

3、的對稱性：(1)中心對稱即點對稱：點A(x, y)與B(2a x,2b y)關(guān)于點(a, b)對稱；點A(a x,b y)與 B(a x, b y)關(guān)于(a,b)對稱；函數(shù)yf(x)與2b y f (2a x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱；函數(shù)b y f (a x)與b y f (a x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱; 函數(shù)F (x, y) 0與F(2a x,2b y) 0關(guān)于點(a,b)成中心對稱。(2)軸對稱：對稱軸方程為：Ax By C 0。/ /、 2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、辛工古點 A(x, y)與 B(x ,y ) B(x 22, y 220 關(guān)于直A2 B2A2

4、 B2線Ax By C 0成軸對稱；函數(shù) y f(x)與y 2B(Ax By? C) f(x 2A(A： By2 O)關(guān)于直線 A2 B2A2 B2Ax By C 0成軸對稱。 F(x,y) 0與F(x 2A(AX By2 C),y 2B(AX By2 C) 0關(guān)于直線 A2 B2A2 B2Ax By C 0成軸對稱。函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論(一)函數(shù)y f(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若 f(x a) f (x b),則 f (x)具有周期性；若 f(a x) f (b x),則 f(x) 具有對稱性：”內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性”。1、f (a x)f (b x)yf(x)圖象關(guān)h

5、直線x(a x) (b x)a b對稱22推論1： f (a x) f (a x) y f (x)的圖象關(guān)于直線 x a對稱推論2、f (x) f (2a x) y f(x)的圖象關(guān)于直線 x a對稱推論3、f ( x) f (2a x) y f(x)的圖象關(guān)于直線 x a對稱.一.一 a b 2、 f(a x) f (b x) 2c y f(x)的圖象關(guān)于點 eab,c)對稱 2推論1、f (a x) f (a x) 2b yf(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論2、f (x) f (2a x) 2byf (x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱推論3、f ( x) f(2a x) 2byf (x)

6、的圖象關(guān)于點(a,b)對稱(二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、偶函數(shù)y"*)與丫f ( x)圖象關(guān)于Y軸對稱2、奇函數(shù)y”*)與丫f ( x)圖象關(guān)于原點對稱函數(shù)3、函數(shù)y f(x)與y f(x)圖象關(guān)于X軸對稱4、互為反函數(shù)y f(x)與函數(shù)y f 1(x)圖象關(guān)于直線y x對稱一._ b a ,一5.函數(shù)yf (ax)與yf (bx)圖象關(guān)于直線x y對稱推論1:函數(shù)yf (a x)與y f (a x)圖象關(guān)于直線x= a對稱推論2:函數(shù)yf(x)與y f (2a x)圖象關(guān)于直線x a對稱推論3:函數(shù)y f ( x)與y f (2a

7、 x)圖象關(guān)于直線x a對稱抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1若函數(shù)y= f(x)關(guān)于直線x = a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：(1) f(a + x) = f(a x) (2) f(2a x) = f(x)(3) f(2a + x) = f( x)性質(zhì)2若函數(shù)y= f(x)關(guān)于點(a, 0)中心對稱，則以下三個式子成立且等價：(1) f(a + x) = f(a x) (2) f(2a x) = f(x) (3) f(2a + x) = f( x)易知，y = f(x)為偶(或奇)函數(shù)分別為性質(zhì)1 (或2)當a= 0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域內(nèi)的

8、任一變量x,均有fg(x)=fg(x),則復(fù)數(shù)函 數(shù)y=fg(x)為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x,均有fg(x) = fg(x),則復(fù)合 函數(shù)y = fg(x)為奇函數(shù)。說明：(1)復(fù)數(shù)函數(shù) fg(x)為偶函數(shù)，則 fg( x) = fg(x)而不是 f g(x) =fg(x), 復(fù)合函數(shù) y = fg(x)為奇函數(shù)，則 fg( x) = fg(x)而不是 f g(x)=一 fg(x) 。(2)兩個特例：y = f(x+ a)為偶函數(shù)，則 f(x+ a) = f( x+a)； y = f(x + a)為 奇函數(shù)，則 f(x + a) = f(a + x)(3) y= f(x +

9、a)為偶(或奇)函數(shù)，等價于單層函數(shù)y = f(x)關(guān)于直線x=a軸對稱(或關(guān)于點(a， 0)中心對稱) 3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y= *2+乂)與丫 = £8乂)關(guān)于直線x= (b a) /2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y= *2+乂)與y= f(bx)關(guān)于點(b a) /2, 0)中心對 稱推論1、復(fù)合函數(shù)y = f(a + x)與y=f(ax)關(guān)于y軸軸對稱推論2、復(fù)合函數(shù)丫 = *2 + 乂)與y= f(a x)關(guān)于原點中心對稱4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y = f(x)是周期函數(shù)，且2|a|l

10、l它的一個周期。 f(x + a) = f(x a) f(x + a)= f(x) f(x + a) = 1/f(x) f(x + a) = 1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5若函數(shù)y= f(x)同時關(guān)于直線x = a與x = b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T = 2|a b|性質(zhì)6、若函數(shù)v= f(x)同時關(guān)于點(a, 0)與點(b, 0)中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T = 2|a b|性質(zhì)7、若函數(shù)y = f(x)既關(guān)于點(a, 0)中心對稱，又關(guān)于直線x = b軸對稱, 則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T = 4|a b|6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用(1)若 y f

11、(x)關(guān)于點(h,k)對稱，則 x x/ 2h, y y/ 2k ,即f(x) f(x/)f (x) f(2h x) 2kf(xi) f(x2)f(xn) f (2h xn) f(2h xni)f (2h xi) 2nk(2)例題1、 f(x)f(x)f (1 x) 1;4x 1f(x) 3k3、f(x a) f (x)y f(x)的周期為T 2a2x 1 關(guān)于(0,1)對稱：f (x) f ( x)f (x)R,x 0)關(guān)于(1)對稱：f (x) f(3 1x 12 2x2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(0, 0)對稱：f(x) f( x) 0。3、若f(x) f (2a x)或f (a x) f

12、(a x),則y f(x)的圖像關(guān)于直線x a對稱。設(shè)f(x) 0有n個不同的實數(shù)根，則x1x2xnx1(2a x1)x2(2ax2)xn(2axn)na.22(當 n 2k 1時，必有 x1 2a x1,x1 a)(四)常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、f(x T) f (x)( T 0)y f(x)的周期為T, kT(k Z)也是函數(shù)的周期2、 f (x a) f (x b) y f(x)的周期為 T b a4、f(x a)y f (x)的周期為T 2a5、 f (x a)6、 f(x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期為T 2ay f(x)的周期為T 3a7、

13、f (x a)1f(x) 1y f(x)的周期為T 2a8、 f (x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期為T 4a9、 f(x 2a)f (x a) f(x)y f (x)的周期為T 6a10、若 p Qf(px) f (px -2p),則T -2p.11、yf(x)有兩條對稱軸x a和x b (b a) y f(x)周期T 2(b a)推論：偶函數(shù) y f(x)滿足f(a x) f (a x) y f(x)周期T 2a12、yf(x)有兩個對稱中心(a,0)和(b,0) (b a) y f(x)周期 T 2(b a)推論：奇函數(shù)y f(x)滿足f(a x) f (a x) y

14、f(x)周期T 4a13、 yf(x)有一條 對稱軸xa和一個對 稱中心(b,0) (ba) f(x)的T 4(b a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學問題，它對訓(xùn)練學生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實例說明其應(yīng)用類型。1 .求函數(shù)值例1.(1996年高考題)設(shè)£(刈是(，)上的奇函數(shù)，f(2 x)f(x)，當0 x 1時，f(x) x ,則 f (7.5)等于()(A) ；(B) ；(C) ；(D).例2. ( 1989年北京市中學生數(shù)學競賽題)已知f(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f (x 2)1

15、 f (x)1 f(x), f (1) 2 E,求 f (1989)的值.f (1989) V3 2。2、比較函數(shù)值大小1例3.若f(x)(x R)是以2為周期的偶函數(shù)，當x0,1時，f(x) x1998一98101104-f ()' f(7V)、f ()的大小.191715解： f(x)(x R)是以2為周期的偶函數(shù)，又1f(x) x礴在0,1上是增函數(shù)，且c11614,01,1719153、求函數(shù)解析式14101吟)即聿f(10475)例4. ( 1989年高考題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間()上且以2為周期的函數(shù)，對k Z ,用Ik表示區(qū)間(2k解析式.解：設(shè) x (2k 1,2k

16、1),2x I0時，有 f(x) x ,1,2k 1),已知當x I。時,2k 1 x 2k 11由 1 x 2k 1 得 f(x2f (x) x2.求 f (x)在 Ik 上的x 2k 1_22k) (x 2k)f (x)是以2為周期的函數(shù),f(x 2k) f (x), f (x) (x 2k)2.例5 .設(shè)f(x)是定義在(，)上以2為周期的周期函數(shù)，且 f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)2間 2,3 上，f (x)2(x 3)4.求 x 1,2 時，f(x)的解析式.解：當 x 3, 2 ,即 x 2,3 ,2_ 2f (x) f( x) 2( x 3)42(x 3)4又f(x)是以2為周期的周期函

17、數(shù)，于是當x 1,2 ,即 3x42 時,有 f(x)f(x 4)一一一 2f(x)2 (x 4) 3422(x 1)2 4(1 x 2).f (x)2(x 1)2 4(1 x 2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2 x)f (2 x)對任意x R均成立,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性解：由f (x)的周期為4,得f (x)f(4 x),由 f(2 x) f(2 x)得f( x) f (4 x) , f( x) f (x)，故 f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)例7.設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2 x) f (2 x) , f (7 x)f (7 x

18、)且f(0) 0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間 30,30上與x軸至少有多少個交點解：由題設(shè)知函數(shù) f(x)圖象關(guān)于直線x 2和x 7對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f(x)是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間 0,10上，f (0) 0, f(4)f(2 2)f(2 2)f(0) 0且f(x)不能恒為零，故f (x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間 30,30有6個周期，故在閉區(qū)間 30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個交點.6、在數(shù)列中的應(yīng)用,求數(shù)列的通項公式，并計算)8.在數(shù)列 an中，aJ3,anan 1 , (nan 12)a1a5a9a1997 -分析：此題的思路與例 2思路類似解：令a1

19、 tg1a11a1tg1 tga31 a21 a21 tg(4)-tg(21 tg(4)an 1 tg(n 1) 4，于是anan 11 an 1tg不難用歸納法證明數(shù)列的通項為:an(n 1); 4),且以4為周期.于是有1 , 5, 9 1997是以4為公差的等差數(shù)列,a1 a5a9a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4 得總項數(shù)為 500項，a1 a5a9a1997 500 a1500 3.7、在二項式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾分析：轉(zhuǎn)化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進行計算即可9292 c 092 c191c 902 c 91牛

20、： 92(91 1) C 92 91C92 91C 92 91C 92 91 19292 (7 13 1)92 C；2(7 13)92 C92(7 13)91C.92)(7 13)2C：；(7 13) 1因為展開式中前 92項中均有7這個因子，最后一項為1,即為余數(shù)，92故92天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.(上海市1994年高考題)設(shè)z £3i(i是虛數(shù)單位),則滿足等式zn z, 22且大于1的正整數(shù)n中最小的是(A) 3 ;(B) 4;(C) 6;(D) 7.1 3分析：運用z Ji方哥的周期性求值即可. 22解： zn z, z(zn 1 1) 0zn 1 1 ,z3 1

21、, n 1必須是3勺倍數(shù)，即n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1時,n最小，(n)min 4.故選擇(B)9、解“立幾”題例一A1B1C1D1是單位長方體，黑白二蟻都從點 A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1A1D1，黑蟻爬行的路線是AB BB1.它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i 2段所在直線與第i段所在直線必須是異面直線(其中i N).設(shè)黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是(A) 1 ;(B) V2 ; (C) 73 ;(D) 0.解：依條件列出白蟻的路線AA1A1D1D1cl C1C CBBA AA

22、1，立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期1990=6 331 4,因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在D1點，白蟻在C點，故所求距離是 近.例題與應(yīng)用例 1: f(x)是 R 上的奇函數(shù) f(x尸一f(x+4) , xC0, 2時 f(x)=x ,求 f(2007)的值例2:已知f(x)是定義在 R上的函數(shù),且滿足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x) , f(1)=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 x8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的

23、偶函數(shù)，f(x尸f(4-x),且當x 2,0時，f(x)= -2x+1,則當x 4,6時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999 -x),f(x)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)= f(4-x),且當x 2,0時，f(x)是減函數(shù),求證當x 4,6時f(x)為增函數(shù)例 6: f(x)滿足 f(x) =-f(6-x) , f(x)=例-x),若 f(a) =-f(2000) , aC5, 9且 f(x)在5, 9上 單調(diào).求a的值.例 7：已知 f(x)是定義在 R上的函數(shù)

24、，f(x)= f(4 -x), f(7+x)= f(7 x),f(0)=0 ,求在區(qū)間 1000, 1000上f(x)=0至少有幾個根？解：依題意f(x)關(guān)于x=2, x=7對稱，類比命題2 (2)可知f(x)的一個周期是10故 f(x+10)=f(x) .f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0, 10上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，2000.因此萬程f(x)=0在區(qū)間 1000, 1000上至少有1 + 2 =401個根.10例1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么y= f(x+4)與y=f(6 x)的

25、圖象之間(D )A.關(guān)于直線x = 5對稱B.關(guān)于直線x=1對稱C.關(guān)于點(5, 0)對稱D.關(guān)于點(1,0)對稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)y= f(x+4)與y=f(6 x)之間關(guān)于點(6 4) Z2, 0)即(1, 0)中心對稱，故選D。(原卷錯選為C)例2、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x=1對稱，證明f(x)是周 期函數(shù)。(2001年理工類第22題)例 3、設(shè) f(x)是1 8, +2 上的奇函數(shù)，f(x+2)= f(x),當 00x0時 f(x) =x,則f等于()(1996年理工類第15題)例4、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10 + x) = f(10 x

26、), f(20x)=f(20 + x),則 f(x)是(C )A .偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)六、鞏固練習1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集 R上的函數(shù)，那么 y= £僅+ 4)與丫 = f(6 x)的圖象()。A .關(guān)于直線x = 5對稱B.關(guān)于直線x = 1對稱C.關(guān)于點(5, 0)對稱 D.關(guān)于點(1,0)對稱2、設(shè) f(x)是(一8, 十 oo)上的奇函數(shù)，f(x + 2) = f(x),當 0WxW時， f(x) = x，則 f=()。A. B. C.D.3、設(shè)f(x)是定義在(一 8, + oo)上

27、的函數(shù)，且滿足 f(10+x) =f(10 x), f(20-x) = - f(20 + x),則 f(x)是()。A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)4、f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于 x = 1對稱，證明f(x)是周期函數(shù)。參考答案：D, B, C, T=2。5、在數(shù)列xn中，已知 為x21, xn 2 xn 1*口(門N*),求為。=-1 .、選擇題(每題 5分，共40分)f(x)的最小正周期是1 .定義在 R上的函數(shù)f (x)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，若A.x0,2時，f(x)的值為B.C.D.4 一2 .偶函數(shù)

28、y=f(x)滿足條件 f(x +1) = f(x 1),且當 xC 1,0時，f(x) =3x+ ,則 f(l0gl 5) 9的值等于()29B.50101C.45D. 14.設(shè) f X是定義在R上的奇函數(shù)，且當x 0時，f xx2.若對任意的x不等式f xa f J2x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是5.函數(shù)f (x)C. a1，一1的最大值是(1 x(1 x)4A. 5B.54C.6.已知f(x)是定義在R上且以3為周期的奇函數(shù)，當dT4x (0,3)時,2f(x)ln( x2x 1),則函數(shù)f (x)在區(qū)間0,6上的零點個數(shù)是B. 5C. 7D. 9f(x)x f(x)一 52x 1 x f

29、( 5) 21114 4 28 .若函數(shù)f (x)、一 2、g-x-)是偶函數(shù)，則常數(shù) a的取值范圍是x| xA. a 1或a 1B. a 1C. 1 a 1D. 0 a 19.已知a為參數(shù),函數(shù) f(x) (x a)3x2a2 (x a)38x3a是偶函數(shù)，則a可取值的集合是A. 0,5 B. -2,5 C. -5,2 D. 1,200910 .已知yf(x)是偶函數(shù)，而 y f(x 1)是奇函數(shù)，且對任意0 x 1 ,都有一 .一51 f(x) 0,則 a f(2010),b f(-),c f()的大小關(guān)系是() 42A. bca B. cba C. acb D. abc二、填空題(每題

30、6分，共36分)11 .已知 f(x) 3ax 1 2a 在1, 1上存在 x0(x。1),使得 f(x0)=0,則 a 的取值范圍是； 2一 -12 .設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當xW0時，f(x)=2x x,則f(1) .13 .函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集 R上的不恒為零的偶函數(shù)，f( 1) 0,且對任意實數(shù)x都有 xf(x 1) (1 x)f(x),則 f(0) f (1) f (1) |H "彎1)的值是，、1，14 .右f(x)a是奇函數(shù)，則實數(shù) a 3x 1 215 .右函數(shù)f (x) x x a為偶函數(shù)，則頭數(shù) a .2x _16 .右 f(x) lg( a)(a

31、 R)是奇函數(shù)，則 a=.1 x217 .對于偶函數(shù)f(x) mx (m 1)x 2 x 2,2,其值域為 ；三、解答題(15-18題每題11分；19、20各15分；共74分)1 x18.已知 f (x) lg.1 x(1)求函數(shù)f (x)的定義域；(2)判斷并證明函數(shù) f(x)的奇偶性；411(3)若 一 a ,試比較 f(a) f( a)與 f(2a) f( 2a)的大小. 222x b 一19.(本小題滿分14分)已知定義域為 R的函數(shù)f (x) f-是奇函數(shù)2 a求函數(shù)f(x)的解析式；判斷并證明函數(shù) f (x)的單調(diào)性；2一一 2 一若對于任意的t R,不等式f (mt 2t) f(

32、1 t ) 0恒成立，求m的取值范圍.20.(本小題12分)bf (x) 1 / n已知函數(shù)a 1(a 0,a1,b R）是奇函數(shù)，且f(2)(1)求a, b的值;(2)用定義證明f（x）在區(qū)間（0,）上是減函數(shù).已知：f X是定義在區(qū)間1,1上的奇函數(shù)，且1 .若對于任意的m,n1,1 ,mf m f n0時，都有0 .(1)解不等式f(2)若f x t2 2at 1對所有x1,1 ,a 1,1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍22.（本小題滿分14分）已知奇函數(shù)qx rf(x) m有最大值f(1) 5,其中實數(shù)a 0，b是正整數(shù).求 f（x）的解析式；an 1 an（n是正整數(shù)）.6. D參考答案

33、1. . C【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于定義在 R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，且可知 f(x) 的 最 小 正 周 期 是， 那 么 可 知2 、 r)=-f( ) =- cos3331，一一一,故可知答 2f(x+1)=f(x-1),說明函數(shù)的周期為 2,2,2 、2+ )=f ()=-f (-)=-f (333案為C考點：函數(shù)的奇偶性以及周期性點評：主要是考查了函數(shù)的性質(zhì)的運用，屬于基礎(chǔ)題。2. D 試題分析：根據(jù)題意，由于偶函數(shù)y=f(x)滿足條件4 一f(-x)=f(x)當 x C 1,0時,f(x) = 3x+ -,則對于 log 1 5=-log 3 5 , f(

34、log1 5)=f(2+ 10gl 5)=f(2-933410g3 5)=3 g35+=1故可知答案為 D.9考點：函數(shù)的奇偶性點評：主要是考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)解析式的運用，屬于基礎(chǔ)題。3. A【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)又過(0, 0)所以直接選 A.【考點定位】對圖像的考查其實是對性質(zhì)的考查，注意函數(shù)的特征即可，屬于簡單題4. B【解析】試題分析：利用“排除法" 。a=0時，f(x a) f(x)x2,f(J2x) 2x2, x0, 2不等式f x a f V2x不恒成立；排除A,D。a=1 時,f (x a) f (x 1) (x 1)2, f (V2x) 2x2 , , x

35、 1,3不等式f x a f V2x不恒成立排除C,故選Bo考點：函數(shù)的奇偶性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。點評：中檔題，本題綜合考查函數(shù)的奇偶性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用“排除法”，簡化了解題過程。5. C【解析】因為函數(shù)f (x)11 x(1 x)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知，分母的最x 1小值為3 ,那么所求的最大值是4 ,選C43【解 析】:當 x C ( 0,)時 f (x) =ln X x2-x+1 )，令 f ( x) =0 ,則 x2-x+1=1 ,解得x=1,又函數(shù)f (x)是定義域為 R的奇函數(shù)，在區(qū)間e ,上，f(-1)=-f(1)=o, f(o)=0.f () =f (+3)

36、=f () =-f (),.f (-1) =f (1) =f (0) =f () =f () =0又函數(shù)f (x)是周期為3的周期函數(shù)，則方程f (x) =0在區(qū)間0, 6上的解有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,共9個.7. (A)、一 5511【解析】f(x)是周期為2的奇函數(shù)，f( )f()f(2 ) f (-)2222又，當 0w x w 1 時，f (x) 2x 1 x ,5 1111f( 5) f( )2(1)6 2222故選(A)8. B【解析】9. C【解析】10. A【解析】11. . ( 1 , +°°) U ( - °0, 1 )5【解

37、析】試題分析：根據(jù)題意，由于 f(x) 3ax 1 2a在1, 1上存在x0(x01),使得2a-12a-1f(x0)=0,那么可知3ax+1-2a=0,x= 在區(qū)間1, 1上，則根據(jù)題意， 1 1 ,a331的取值氾圍是(一，+°°) U (00, 1)。5考點：函數(shù)的零點點評：主要是考查了函數(shù)零點的運用，屬于基礎(chǔ)題。12. 3【解析】試題分析：因為，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，f (1) f ( 1)2( 1)2 ( 1)3考點：函數(shù)的奇偶性點評：簡單題，奇函數(shù)應(yīng)滿足：定義域關(guān)于原點對稱，f(-x) =-f(x)13. 0【解析】試

38、題分析：根據(jù)題意，函數(shù) f(x)是定義在實數(shù)集 R上的不恒為零的偶函數(shù)從xf (x+1)=(1+x) f (x)結(jié)構(gòu)來看，要用遞推的方法，先用賦值法求得f( - )=0 ,再由f( )=f( +1)2221111依此求解.即又 xf (x 1) (1 x)f(x),令*=,可知 f( )=0, f( )= f(-),依2222次可知賦值得到f( 5)=f( 3 +1)=0 ,由于f(1)=0-f(-1),那么可知22f(0) f(1) f(1) UI f(2211)的值為 0.考點：函數(shù)奇偶性和遞推關(guān)系式點評：本題主要考查利用函數(shù)的主條件用遞推的方法求函數(shù)值，這類問題關(guān)鍵是將條件和結(jié)論有機地結(jié)

39、合起來，作適當變形，把握遞推的規(guī)律.114. 2【解析】 一. 一一一一11試題分析：因為f(x)=0且te義域為R,所以f(0)=0 ,所以f(0)= a 0,所以a -。30 12考點：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)。點評：若f (x)是奇函數(shù)，且在 x=0時有定義，則f(0)一定為0.做題時一定要靈活應(yīng)用此性質(zhì)。15. 0_ , 一-一 2 【解析】因為函數(shù) f(x) x x a為偶函數(shù)，那么利用定義可知a=0.16. -1【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性。lg(-2 a) lg(-2x a)1 x1 x解： f(x)為奇函數(shù)f ( x) f (x)即：lg(a (a 2)x) lga (a 2)x

40、1 x1 xa (a 2)x1 x1 xa (a 2)x即(1x) (1 x) a (a 2)x a (a 2)x17. 2,2,222 21 x a (a 2) xa2 1(a 2)2解得:1【解析】，一 .， ，一 118. (1) (-1, 1) (2)奇函數(shù)(3)當 0 a 一時，f (2a) f ( 2a) > f (a) f ( a)；2當 a 0時，f(2a) f( 2a) = f(a) f( a)；1 ，一一 一 _ 一 一當 一 a 0 時，f (2a) f ( 2a) < f(a) f( a)2【解析】試題分析：解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1).1 x

41、1 x(2) f( x) lg-lg-f(x),2 x1 x. f(x)是奇函數(shù).(3)設(shè) 1x2x11 ,則1x21 x11x21 x11 x21 x23 2x1x2(1 ) ( 1 )21一2一0,1x21 x (1x1 )(1x2)f (x1),1x11 x21 x1lgrv 即 f(x2) 函數(shù)f (x)在(-1,1)上是減函數(shù).由(2)知函數(shù)f (x)在(-1,1)上是奇函數(shù),. f(a) f ( a) = 2f(a), f(2a) f ( 2 a) 2f(2a),1.當 0 a 時，2a a,則 f(2a)> f(a) , f (2a) f ( 2a)> f(a) f(a)； 2當 a 0時，f(2a) f( 2a)= f(a) f( a)；1 ，一 一一一 -當 一 a 0 時，f (2a) f ( 2a) < f(a) f( a).2考點：對數(shù)函數(shù)點評：函數(shù)的單調(diào)性對求最值、判斷函數(shù)值大小關(guān)系和證明不等式都有較大幫助。-2x 119. (1) f (x) F (2)減函數(shù)，證明見解析(3) m 22x 12【解析】試題分析：: f(x)為奇函數(shù)，f(0) 0, f( 1)f(1)1 b0,4,解得a 2,b 1.所以f(x)2x 12x 1 2f(x) f(x),滿足條件. f(x)2x 12(2x