第一章 第四、五節(jié) 一元二次不等式和含絕對值的不等式的解法 人教試驗修訂本

1、第一章 第四、五節(jié) 一元二次不等式和含絕對值的不等式的解法1. 知識要點 本節(jié)要求學生熟練掌握|ax+b|<c, |ax+b|>c(c>0)型和ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a¹0) 型不等式的解法以及與此有關(guān)問題的解決. 上述幾種不等式的解法如下:(1) 型如|x|<a (a>0), |ax+b|<c (c>0)的解法: |x|<a (a>0)的解集是x|-a<x<a; |ax+b|<c(c>0) 的解集是x|-c<ax+b<c,據(jù)此再求出原不等式的解集, 此處要注意

2、討論a的符號。(2) 型如 |x|>a (a>0) , |ax+b|>c(c>0)的解法: |x|>a (a>0)的解集是x|x>a,或x<-a;|ax+b|>c(c>0)的解集是x| ax+b>c,或ax+b<-c據(jù)此再求出原不等式的解集, 此處也要注意討論a的符號.(3) 一元二次不等式的解法:先以ax2+bx+c>0(a>0) 和ax2+bx+c<0(a>0) ? 為例列表如下: D=b2-4ac 解集 類 型D>0D=0D<0ax2+bx+c=0x1, x2 (x1<x2

3、)-Æax2+bx+c>0x|x>x2或x<x1x|x¹-Rax2+bx+c<0x| x1<x<x2ÆÆ 型如ax2+bx+c>0(a<0) 可化成ax2+bx+c<0(a>0)后再求解, 型如ax2+bx+c<0(a<0) 可化成ax2+bx+c>0(a>0)后再求解.2. 典型例題例1: 解不等式|4-2x|>7分析: 此不等式解法可參照|ax+b|>c(c>0)的解法.解: 原不等式等價于|2x-4|>7 由此得2x-4>7,或2x-4

4、<-7 解得 x>, 或 x<- 所以, 原不等式的解集是x| x>, 或 x<-例2: 解不等式-x2+5x-60 分析: 首先把二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù), 然后再解.解: 兩邊都乘以-1, 得x2-5x+60 因D>0,方程x2-5x+6=0的解是x1=2 x2=3 所以, 原不等式的解集是 x|2x3例3: m是何值時, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) 0 (m ¹ -1)對于任何xÎR都成立? 分析: 由于m¹-1, 由此使此題轉(zhuǎn)化為不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) 0的解集為R需要滿足什

5、么條件? 這里只需使D0且m+1>0即可解: 因m¹-1且(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) 0對于任何xÎR都成立, 則只要滿足 D=-2(m-1)2-4(m+1)´3(m-1) 0且m+1>0即可 解這個不等式得 m2 所以, 當m2 時, 不等式(m+1)x2-2(m-1)x+3(m-1) 0(m¹-1) 對于任何xÎR都成立.3. 鞏固訓練(一) 選擇題(1) 不等式|x-4|+1>0的解集是( )A. x|x>5,或x<3 B. x|3<x<4 C. R D. Æ(2) 下

6、列一元二次不等式中, 解集為Æ的是( )A. (x-3)(1-x)<0 B. x2-2x+3<0 C.(x+4)(x-1)<0 D.2x2-3x-2>0(3) 不等式-|x-5|>-15的解集是( )A. x|-10<x<20 B.x|x<20 C.x|x<-10或x>20 D. x|x>-10(4) 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是x|-7<x<-1那么a的值是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(5) 不等式1|x-3|6的解集是( )A. x|-3x9 B. x|x2或x4C.

7、x|-3x4 D. x|-3x2或4x9(6) 已知不等式x2-2x-3<0的解集為A, 不等式x2+x-6<0的解集是B, 不等式x2+ax+b<0的解集是AÇB, 那么a+b等于( )A. -3 B. 1 C. -1 D. 3(二) 填空題:(7) 不等式x2+5x+m<0的解集是x|-7<x<2,則m=_(8) 不等式ax2+bx+c>0的解集為x|x<-1,或x>2, 那么不等式ax2-bx+c>0的解集是_(9) 不等式|x2-2x-3|>x2-2x-3的解集是_(10) 不等式x2-(a+1)x+a>

8、0(a>1)的解集是_(三) 解答題:(11) 解不等式|x-a|>2(12) 證明對于任何實數(shù)K, 方程x2-(k+2)x+2k=0有實根(13) 若不等式mx2+(2m+1)x+9m+4<0的解集為R, 求實數(shù)m的取值范圍.(14) 解關(guān)于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0參考答案(一) 選擇題C (2) B (3) A (4) C (5) D (6) A(二) 填空題(7) -14 (8) x|x>1或x<-2 (9) x|-1<x<3 (10) x|x>a或x<1(三) 解答題(11) 提示: 由|x-a|>2得

9、x-a>2或 x-a<-2解得x>a+2 或x<a-2 所以, 原不等式的解集為x|x>a+2或x<a-2(12) 提示: 因為D=(k+2)2-4´2k=k2-4k+4=(k-2)20對任何實數(shù)k都成立, 所以對任何實數(shù)k, 方程x2-(k+2)x+2k=0有實根(13) 提示: 分類討論當m=0時, 原不等式變?yōu)?x+4<0, 顯然它的解集不是R,所以m=0不滿足條件 當m¹0時, 只要滿足 D=2(m+1)2-4m(9m+4)<0 m<0 即可, 解得m<- 由知, m<-(14) 提示: 原不等式變形(x-a)(x-a2)>