分段函數(shù)的應(yīng)用-中考數(shù)學(xué)函數(shù)考點全突破

1、1考點分析考點分析：分段函數(shù)的考察在實際應(yīng)用題以及數(shù)形結(jié)合的填空選擇題中出現(xiàn)分段函數(shù)的考察在實際應(yīng)用題以及數(shù)形結(jié)合的填空選擇題中出現(xiàn)的頻率還是比較高的，常見的應(yīng)用題中已知兩種不同的函數(shù)關(guān)系并且求出相關(guān)的頻率還是比較高的，常見的應(yīng)用題中已知兩種不同的函數(shù)關(guān)系并且求出相關(guān)的一些問題，需要我們對初中的幾個函數(shù)表達式熟悉，數(shù)形結(jié)合題目中一般會的一些問題，需要我們對初中的幾個函數(shù)表達式熟悉，數(shù)形結(jié)合題目中一般會給我們分段函數(shù)的圖像，由兩種或者多種函數(shù)組成的新的函數(shù)圖像，我們在利給我們分段函數(shù)的圖像，由兩種或者多種函數(shù)組成的新的函數(shù)圖像，我們在利用已學(xué)的函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進行加以理解與運用。用已學(xué)的函數(shù)知識

2、的基礎(chǔ)上進行加以理解與運用。常見的函數(shù)關(guān)系：常見的函數(shù)關(guān)系：1.1.正比例函數(shù)關(guān)系正比例函數(shù)關(guān)系y=kxy=kxk k0 0，a a0 02.2.一次函數(shù)關(guān)系一次函數(shù)關(guān)系y=kx+by=kx+b3.3.反比例函數(shù)關(guān)系反比例函數(shù)關(guān)系y=y=4.4.二次函數(shù)關(guān)系二次函數(shù)關(guān)系y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c解題步驟方法：解題步驟方法：1.1.根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)題意設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。2.2.根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求出函數(shù)表達式根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求出函數(shù)表達式， 如果遇到圖像題如果遇到圖像題， 那么要找那么要找到相應(yīng)的函數(shù)圖像上的點坐標去代入從而求出函數(shù)的解析式。到相應(yīng)的函數(shù)圖像上的點

3、坐標去代入從而求出函數(shù)的解析式。3.3. 如果要研究面積那就根據(jù)求解面積來列式，如果要求利潤那如果要研究面積那就根據(jù)求解面積來列式，如果要求利潤那就列關(guān)于利潤的表達式，充分利用前面小問中求出來的解析式就列關(guān)于利潤的表達式，充分利用前面小問中求出來的解析式。4.4.自變量的取值一定要看清楚，不同的取值對應(yīng)了不同的函數(shù)自變量的取值一定要看清楚，不同的取值對應(yīng)了不同的函數(shù)，所以對應(yīng)的函數(shù)值也不同，需要格外注意。所以對應(yīng)的函數(shù)值也不同，需要格外注意。2【例【例 1】某超市銷售一種商品某超市銷售一種商品，成本每千克成本每千克 40 元元，規(guī)定每千克售價不低于成本規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于且不高于

4、 80 元元經(jīng)市場調(diào)查經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量每天的銷售量 y(kg)與每千克售價與每千克售價 x(元元)滿足一滿足一次函數(shù)關(guān)系次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：部分數(shù)據(jù)如下表：售價售價 x(元元/kg)506070銷售量銷售量 y(kg)1008060(1)求求 y 與與 x 之間的函數(shù)表達式；之間的函數(shù)表達式；(2)設(shè)商品每天的總利潤為設(shè)商品每天的總利潤為 W(元元)， 求求 W 與與 x 之間的函數(shù)表達式之間的函數(shù)表達式(利潤收入利潤收入成本成本)；(3)試說明試說明(2)中總利潤中總利潤 W 隨售價隨售價 x 的變化而變化的情況的變化而變化的情況，并指出售價為多少并指出售價為多少元時獲得最大

5、利潤元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？最大利潤是多少？【例【例 2】某企業(yè)積極響應(yīng)政府某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展創(chuàng)新發(fā)展”的號召的號召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為 30 元元/件件，且年銷售量且年銷售量 y(萬件萬件)關(guān)于售價關(guān)于售價 x(元元/件件)的函數(shù)表達式為：的函數(shù)表達式為：3y2x140（40 x60） ，x80（60 x70）.(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為 W(萬元萬元)，請直接寫出年利潤關(guān)于售請直接寫出年利潤關(guān)于售價價x(元元/件件)的函數(shù)表達式；的函數(shù)表達式；(2)當該產(chǎn)品

6、的售價當該產(chǎn)品的售價 x(元元/件件)為多少時為多少時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？最大年利潤是多少？(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于 750 萬元萬元，試確定該產(chǎn)品的售價試確定該產(chǎn)品的售價 x(元元/件件)的取值范圍的取值范圍(3)當當 40 x60 時時，令令 W750，得得2(x50)2800750，解得解得 x145，x255.由函數(shù)由函數(shù) W2(x50)2800 的性質(zhì)可知的性質(zhì)可知，當當 45x55 時時，W750，當當 60 x70 時時，W 最大值為最大值為 600750.答：要使企業(yè)銷售該

7、產(chǎn)品的年利潤不少于答：要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于 750 萬元萬元，該產(chǎn)品的銷售價該產(chǎn)品的銷售價 x(元元/件件)的取值范的取值范圍為圍為 45x55.4【例【例 3】某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖已知每千某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為克小龍蝦養(yǎng)殖成本為 6 元元，在在整個銷售旺季的整個銷售旺季的 80 天里天里，銷售單價銷售單價 p(元元/kg)與時間第與時間第 t 天之間的函數(shù)關(guān)系天之間的函數(shù)關(guān)系為為p14t16（1t40，t 為整數(shù)為整數(shù)） ，12t46（41t80，t 為整數(shù)為整數(shù)） ，日銷售量日銷售量 y(kg)與時間第與時間第 t 天之間的函天之間的函數(shù)關(guān)系

8、如圖數(shù)關(guān)系如圖 331 所示所示(1)求日銷售量求日銷售量 y 與時間與時間 t 的函數(shù)關(guān)系式？的函數(shù)關(guān)系式？(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于 2 400 元？元？(4)在實際在實際銷售的前銷售的前 40 天中天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售該養(yǎng)殖戶決定每銷售 1 kg 小龍蝦小龍蝦，就捐贈就捐贈 m(m7)元給村里的特困戶元給村里的特困戶在這前在這前 40 天中天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間間 t 的增大而增大的增大而增大，求求 m 的取值

9、范圍的取值范圍【解析】【解析】 (1)根據(jù)函數(shù)圖象根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；利用待定系數(shù)法求解可得；(2)設(shè)日銷售利潤為設(shè)日銷售利潤為 W， 分分 1t40 和和 41t80 兩種情況兩種情況，根據(jù)根據(jù)“總利潤每千克利潤總利潤每千克利潤銷售銷售”列出函數(shù)表達式列出函數(shù)表達式，由，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；( (3)求出求出 W2 400 時時 x 的值的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；(4)依據(jù)依據(jù)(2)中相等關(guān)系列出函數(shù)表達式中相等關(guān)系列出函數(shù)表達式，確定其對稱軸確定其對稱軸，由由 1t40 且銷售利潤隨時間

10、且銷售利潤隨時間 t的增大而增大的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案圖 3315當當 41t80 時時，w12t466(2t200)(t90)2100，當當 t41 時時，W最大最大2 301，2 4502 301，第第 30 天的日銷售利潤最大天的日銷售利潤最大，最大利潤為最大利潤為 2 450 元；元；(3)由由(2)得當?shù)卯?1t40 時時，W12(t30)22 450，令令 W2 400，即即12(t30)22 4502 400，解得解得 t120，t240，由函數(shù)由函數(shù) W12(t30)22 450 的圖象的圖象(如答如答圖圖)可知可知，當，當 20t4

11、0 時時，日銷售利潤不低日銷售利潤不低于于 2 400 元元，第第 3 題答圖題答圖而當而當 41t80 時，時，W最大最大2 3012 400，t 的取值范圍是的取值范圍是 20t40，共有共有 21 天符合條件；天符合條件；6【例【例 4】小慧和小聰沿圖小慧和小聰沿圖 332中景區(qū)公路游覽小慧乘坐車速為中景區(qū)公路游覽小慧乘坐車速為 30 km/h的電動汽車的電動汽車，早上早上 7：00 從賓館出發(fā)從賓館出發(fā)，游玩后中午游玩后中午 12：00 回到賓館回到賓館小聰騎小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為速度為 20 km/h，途中遇見小慧時途中遇見小慧時，小慧恰好游完小慧恰好

12、游完一景點后一景點后乘車前往下一景點乘車前往下一景點，上午上午 10：00 小聰?shù)竭_賓館小聰?shù)竭_賓館圖圖中的圖象分別中的圖象分別表示兩人離賓館的路程表示兩人離賓館的路程 s(km)與時間與時間 t(h)的函數(shù)關(guān)系試結(jié)合圖中信息回答的函數(shù)關(guān)系試結(jié)合圖中信息回答：圖圖 332(1)小聰上午幾點鐘從飛瀑出發(fā)？小聰上午幾點鐘從飛瀑出發(fā)？(2)試求線段試求線段 AB，GH 的交點的交點 B 的坐標的坐標，并說明它的實際意義；并說明它的實際意義；(3)如果小聰?shù)竭_賓館后如果小聰?shù)竭_賓館后，立即以立即以 30 km/h 的速度按原路返回的速度按原路返回，那么返回途中那么返回途中他幾點鐘遇見小慧？他幾點鐘遇見

13、小慧？7(2)設(shè)直線設(shè)直線 GH 的函數(shù)表達式為的函數(shù)表達式為 sktb，由于點由于點 G 的坐標為的坐標為12，50，點點 H 的坐標為的坐標為(3，0)，則有則有5012kb，03kb，解得解得k20，b60，直線直線 GH 的函數(shù)表達式為的函數(shù)表達式為 s20t60，又又點點 B 的縱坐標為的縱坐標為 30，當當 s30 時時，得得20t6030，解得解得 t32，點點 B 的坐標為的坐標為32，30.答：點答：點 B 的實際意義是上午的實際意義是上午 8：30 小慧與小聰在離賓館小慧與小聰在離賓館 30km(即景點草甸即景點草甸)處第一次處第一次相遇；相遇；(3)方法方法一：設(shè)直線一：

14、設(shè)直線 DF 的函數(shù)表達式為的函數(shù)表達式為 sk1tb1，該直線過點該直線過點 D 和和 F(5，0)，由于小慧從飛瀑回到賓館所用時間為由于小慧從飛瀑回到賓館所用時間為 503053(h)，小慧從飛瀑準備返回時小慧從飛瀑準備返回時 t553103(h)，即點即點 D 的坐標為的坐標為103，50.則有則有103k1b150，5k1b10，解得解得k130，b1150.直線直線 DF 的函數(shù)表達式為的函數(shù)表達式為 s30t150，小聰上小聰上午午10： 00到達賓館后立即到達賓館后立即以以30 km/h的速度返回飛瀑的速度返回飛瀑， 所需時間所需時間為為503053(h)如答圖，如答圖，HM 為

15、小聰返回時為小聰返回時 s 關(guān)于關(guān)于 t 的函數(shù)圖象，的函數(shù)圖象，第 4 題答圖8點點 M 的橫坐標為的橫坐標為 353143，M143，50，【例【例 5】科技有限公司用科技有限公司用 160 萬元萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用，成功研制出了一種成功研制出了一種市場急需的電子產(chǎn)品市場急需的電子產(chǎn)品，已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為品的成本為 4 元元/件件， 在銷售過程中發(fā)現(xiàn)在銷售過程中發(fā)現(xiàn)： 每年的年銷售量每年的年銷售量 y(萬件萬件)與銷售價與銷售價格格x(元元/件件)的關(guān)系如圖的關(guān)系如圖 333 所示所示

16、， 其中其中 AB 為反比例函數(shù)圖象的一部分為反比例函數(shù)圖象的一部分， BC為一次函數(shù)圖象的一部分設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為為一次函數(shù)圖象的一部分設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為 W(萬萬元元)(注注：若上一年盈利若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利則盈利不計入下一年的年利潤潤；若上一年虧損若上一年虧損，則則虧損記做下一年的成本虧損記做下一年的成本)圖圖 3339(1)請求出請求出 y(萬件萬件)與與 x(元元/件件)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式(2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤 W(萬元萬元)與與 x(元元/件件)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式，

17、并求出第一年年利潤的最大值并求出第一年年利潤的最大值(3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤 W(萬元萬元)取得最大值時進行取得最大值時進行銷售銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價格格 x(元元)定在定在 8 元以上元以上(x8)，當當?shù)诙甑哪昀麧櫜坏陀诘诙甑哪昀麧櫜坏陀?103 萬元時萬元時，請結(jié)合請結(jié)合年利潤年利潤 W(萬元萬元)與銷售價格與銷售價格 x(元元/件件)的函數(shù)示意圖的函數(shù)示意圖，求銷售價格求銷售價格 x(元元/件件)的取的取值范圍值范圍(

18、(3)根據(jù)條件根據(jù)條件“第二年的年利潤不低于第二年的年利潤不低于 103 萬元萬元”，可得可得 W103，這是一個一元二次不這是一個一元二次不等式等式，觀察年利潤觀察年利潤 W(萬元萬元)與銷售價格與銷售價格 x(元元/件件)的函數(shù)示意圖的函數(shù)示意圖，從而得出結(jié)果從而得出結(jié)果解：解：(1)當當 4x8 時時，設(shè)設(shè) ykx，將將 A(4，40)代入代入，得得k440160.y 與與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為之間的函數(shù)關(guān)系式為 y160 x.當當8x28時時， 設(shè)設(shè)ykxb， 將將B(8， 20)， C(28， 0)代入代入， 得得8kb20，28kb0.解得解得k1，b28.y 與與 x 之間的函

19、數(shù)關(guān)系式為之間的函數(shù)關(guān)系式為 yx28.綜上所述綜上所述，得得 y160 x（4x8） ，x28（8x28） ；(2)當當 4x8 時時，W(x4)y160(x4)160 x160640 x.10(3)第一年的年利潤為第一年的年利潤為16 萬元萬元16 萬元應(yīng)作為第二年的成本萬元應(yīng)作為第二年的成本又又x8，第二年的年利潤第二年的年利潤 W(x4)(x28)16x232x128，令令 W103，則則x232x128103，解得解得 x111，x221.在平面直角坐標系中，畫出在平面直角坐標系中，畫出 W 與與 x 的函數(shù)示意圖如答圖，觀察示意圖可知：當?shù)暮瘮?shù)示意圖如答圖，觀察示意圖可知：當 W1

20、03時，時，11x21.當當 11x21 時，第二年的年利潤時，第二年的年利潤 W 不低于不低于 103 萬元萬元【例【例 6】水果店在兩周內(nèi)水果店在兩周內(nèi)，將標價為將標價為 10 元元/斤的某種水果斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價后的價經(jīng)過兩次降價后的價格為格為 8.1 元元/斤斤，并且兩次降價的百分率相同并且兩次降價的百分率相同(1)求該種水果每次降價的百分率；求該種水果每次降價的百分率；(2)從第一次降價的第從第一次降價的第 1 天算起天算起，第第 x 天天(x 為正數(shù)為正數(shù))的售價的售價、銷量及儲存和損耗銷量及儲存和損耗費用的相關(guān)信息如表所示已知該種水果的進價為費用的相關(guān)信息如表所示已知該種水果的進價為 4.1 元元/斤斤，設(shè)銷售該水果設(shè)銷售該水果第第 x(天天)的利潤為的利潤為 y(元元)，求求 y 與與 x(1x15)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾并求出第幾天時銷售利潤最大？天時銷售利潤最大？第 5 題答圖11時間時間 x(天天)1x99x15x15售價售價(元元/斤斤)第第 1 次降價后的價格次降價后的價格第第 2 次降價后的價格次降價后的價格銷量銷量(斤斤)803x120 x儲存和損耗費儲存和損耗費用用(元元)403x3x264x400(3)在在(2)的條件下的條件下，若要使第若要使第 15 天的利潤比天的利