高考數(shù)學(xué)壓軸題秒殺

1、第五章 壓軸題 秒殺   很多朋友留言說(shuō)想掌握秒殺的最后一層。 關(guān)于秒殺法的最難掌握的一層，便是對(duì)于高考數(shù)學(xué)壓軸題的把握。 壓軸題，各省的難度不一致，但毫無(wú)疑問，尤其是理科的，會(huì)難倒很多很多很多人。  不過(guò)，壓軸題并不是那般神秘難解，相反，出題人很怕很怕全省沒多少做出來(lái)的，明白么？他很怕。那種思想，在群里面我也說(shuō)過(guò)，在這里就不多啰嗦了。 想領(lǐng)悟、把握壓軸題的思路，給大家推薦幾道題目。 全是數(shù)學(xué)壓軸題，且是理科（09的除山東的外我都沒做過(guò)，所以不在推薦范圍內(nèi)）。  0

2、8全國(guó)一，08全國(guó)二，07江西，08山東，07全國(guó)一 一年過(guò)去了，很多題目都忘了，但這幾道題，做過(guò)之后，雖然一年過(guò)去了，可脈絡(luò)依然清晰。都是一些可以秒殺的典型壓軸題，望沖擊清華北大的同學(xué)細(xì)細(xì)研究。記住，壓軸題是出題人在微笑著和你對(duì)話。具體的題目的“精”，以及怎么發(fā)揮和壓榨一道經(jīng)典題目的最大價(jià)值，會(huì)在以后的視頻里面講解的很清楚。不過(guò)，我還是要說(shuō)一下數(shù)列壓軸題這塊大家應(yīng)該會(huì)什么（難度以及要求依次增高）1： 通項(xiàng)公式的求法（不甚解的去看一下以前的教案，或者問老師，這里必考。 尤其推薦我押題的第一道數(shù)列解答題。 ）2.： 裂項(xiàng)相消（各種形式的都要會(huì)）、迭加、迭乘、錯(cuò)位相減求和（這幾個(gè)是最基本

3、和簡(jiǎn)單的數(shù)列考察方式，一般會(huì)在第二問考）3： 數(shù)學(xué)歸納法、不等式縮放基本所有題目都是這幾個(gè)的組合了，要做到每一類在腦中都至少有一道經(jīng)典題想對(duì)應(yīng)才行哦。開始解答題了哦，先來(lái)一道最簡(jiǎn)單的。貌似北京的大多挺簡(jiǎn)單的。這道題意義在什么呢？對(duì)于這道題在高考中出現(xiàn)的可能性我不做解釋，只能說(shuō)不大。意義在于，提醒大家四個(gè)字，必須必須必須謹(jǐn)記的四個(gè)字：分類討論！ 下面07年山東高考的這道導(dǎo)數(shù)題，對(duì)分類討論的考察尤為經(jīng)典，很具參考性，類似的題目在08、09、10年高考題中見了很多。(22)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()當(dāng)b> 時(shí)，判斷函數(shù)f(x

4、)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（）證明對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式ln( )都成立. 這道題我覺得重點(diǎn)在于前兩問，最后一問.有點(diǎn)雞肋了這道題，太明顯了對(duì)吧？  看壓軸問的形式 ， 想想我之前關(guān)于壓軸題思路的講解， 看出來(lái)么？  第三問其實(shí)就是直接利用第一問和第二問的結(jié)論，   很明顯的令 1/n 為 x    這道題就出來(lái)了。這也證明了我之前對(duì)壓軸題的評(píng)述吧。當(dāng)然這只是例子之一了，絕大多數(shù)壓軸題都是這樣的。下面，下面，下面， 重點(diǎn)來(lái)了。大家是否眼熟這個(gè)不等式呢

5、？   ln X<= X-1     你可以利用導(dǎo)數(shù)去證明這個(gè)不等式的正確性，但我想說(shuō)的是，這個(gè)小小的不等式，太有用了。什么用？   將一個(gè)對(duì)數(shù)形式的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè) X-1   這樣簡(jiǎn)單的線性函數(shù)， 多么漂亮的一個(gè)式子！可以說(shuō)，導(dǎo)數(shù)不等式證明中，見到自然對(duì)數(shù)，我第一個(gè)想的就會(huì)是這個(gè)不等式，看能否利用這個(gè)不等式將題目轉(zhuǎn)化為特別容易做的一道題。這也是一種很重要而且經(jīng)典的縮放！ 不信的話大家去看07-10年的全國(guó)各地高考題，看看有多少省用到了這個(gè)不等式的！

6、而下面這道我認(rèn)為導(dǎo)數(shù)解答題中特經(jīng)典的一道的簡(jiǎn)單解法，就是用了這個(gè)不等式！  再次強(qiáng)調(diào)：壓軸題中，見到對(duì)數(shù)函數(shù)式的不等式證明，第一個(gè)要想的是這個(gè)不等式！ 再舉幾個(gè)例子：1.一個(gè)三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則三內(nèi)角所成等差數(shù)列的公差等于_解：這個(gè)題真算的話 有點(diǎn)難度 也挺麻煩但考試的時(shí)候 完全可以秒殺直接特殊化為等邊三角形 答案就出來(lái)了 等邊三角形滿足題意么？ 滿足， 只要不違背題意 條件隨你加， 隨你加強(qiáng)所以公差為0幾秒鐘一道很難的題 這就是秒殺的目的所在這個(gè)題條件很強(qiáng)，既有角的限制又有邊的限制，就說(shuō)明答案唯一可是，那是考試現(xiàn)場(chǎng)時(shí)的秒殺

7、。對(duì)一道能秒殺的題，不僅要秒殺，還要真正做出來(lái)才算詳解： 假設(shè)A<=B<=CA+C=2B  b平方=ac用正弦定理得出COS(A-C)=1也可用余弦定理求出ABC。  第六章  再說(shuō)秒殺和壓軸題以下為視頻講解內(nèi)容：秒殺也分幾類：最常用的一般是特殊性（有些人理解的特殊值，其實(shí)特殊值也是特殊化的一種罷了，還有其實(shí)技巧不在這里，而在于這個(gè)特殊值你如何取，取得好，那叫藝術(shù)，取得不好.嗯?。┑谝活}：AN是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和，前3n項(xiàng)和分別是x,y,z,則下列等式恒成立的是1.X+Y=2Y &#

8、160;         2.Y(Y-X)=Z(Z-X)3.Y平方=XZ         4.Y(Y-X)=X(Z-X)如何秒殺呢，很明顯，取特殊值，如何取呢？以前說(shuō)過(guò)，見到AN是任意等比數(shù)列的等等或者說(shuō)見到任意兩字的，往往就是我們發(fā)揮的地方。我們令A(yù)N=1，呵呵，很特殊了吧，還不止，我們這里再令N=1，這樣題目變成什么了呢？我翻譯一下：已知AN是任意等比數(shù)列，它的前1項(xiàng)和x，前2項(xiàng)和Y，前3項(xiàng)和是z,則下列等式恒成

9、立的是?你猜，呵呵，這樣直接可以排除2,3了，那么1，4呢？我們假設(shè)A1=1，A2=2，A3=4，這樣符合題意吧？很明顯1不正確，4任然正確，答案是4 第二題：如圖，在 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線分別交直線 ， 于不同的兩點(diǎn) ，若 ， ，則 的值為                            

10、    向量如何秒殺呢，其實(shí)就只說(shuō)向量，也有兩三鐘秒殺的方法，我覺得好用的就是特殊化+坐標(biāo)化！呵呵，就是把三角形特殊化為等腰直角三角形，這意思也是任意三角形吧，按照題意，我們畫出MN的直線，若 ， ，根據(jù)上面的兩個(gè)公式，可以求出，大家記得嗎-是直線的截距式（不記得的都面壁去吧，這可是基礎(chǔ)）根據(jù)截距式我們得出MN的直線方程為MX+NY=1，我們還有個(gè)條件沒有用，直線MN過(guò)中點(diǎn)，明顯BC中點(diǎn)為（1/2,1/2）,對(duì)吧，帶入得M+N=2這個(gè)是07年江西的一道高考題，常規(guī)方法要比這個(gè)麻煩的多，而且可能大部分同學(xué)還不會(huì)做，而換成秒殺的就是最基本的加減運(yùn)算啦！其實(shí)秒

11、殺呢，每張卷子都能用到的是那種集合，求范圍等等的題目，就不舉例子了！還有就是三角函數(shù)，解析幾何（這個(gè)主要是取特殊位置的直線），至于三角函數(shù)，也分好多種吧，比如，題目讓你求一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)式的值，而且是道選擇題。 比如哦：tanA*tanB+conA*sinB等等的算式吧，然后選擇項(xiàng)里面都是常數(shù)，也就是和AB無(wú)關(guān)，那么很明顯，不管AB取什么，結(jié)果都一樣，這時(shí)候，我們就可以隨便給AB值，就可以得出最后結(jié)果，這樣的題我見過(guò)不少！上面說(shuō)的都是一些簡(jiǎn)單但很常用的，難一點(diǎn)的應(yīng)該算是變換，或者用到復(fù)指數(shù)等，比如函數(shù)旋轉(zhuǎn)等等，就可以利用復(fù)向量的旋轉(zhuǎn)特性去解決，哦，對(duì)了，還有一種很常用的，我隨便出題：

12、X平方+Y平方=1，求X+Y的取值范圍常規(guī)的方法肯定是畫圖等等，或者消元了唄，但我們可以用三角函數(shù)去做，X平方+Y平方=1，令X=COSA,Y=SINA,也就是求conA+sinA的范圍，明顯是正負(fù)根2，是吧？一眼就看出來(lái)了，當(dāng)然，一般題目不會(huì)這么簡(jiǎn)單，比如：3X平方+4Y平方=1，求X,Y取值范圍，這時(shí)候畫圖就不好使了哦，因?yàn)椴皇菆@，但三角函數(shù)依然可以，我們令3X平方=conA平方，4Y平方=sinA平方，然后是不是和上面一樣了呢！好了秒殺就這樣吧！ 壓軸題下面這道是我高考的壓軸題，是道橢圓的題，不算難。大家應(yīng)該知道，壓軸題一般會(huì)在數(shù)列不等式，解析幾何兩者之間選一道，數(shù)列的也想整一

13、道例題，可時(shí)間有限，就算了。下面是09年的山東理科數(shù)學(xué)壓軸題： 第一問：送分第二問： ，呵呵，我還記得在考場(chǎng)上，我看到 時(shí)就笑了，高考題考來(lái)考去也就是這些基本的不變的東西。這個(gè)代表什么呢？這個(gè)是題眼，其實(shí)我們都很清楚。OA*OB=0（向量點(diǎn)乘），其實(shí)看到這里，后面的不用想也能再腦中出來(lái)一推東西，我大概說(shuō)下： 首先OA*OB=0，所以X1X2+Y1Y2=0明顯韋達(dá)定理要用了，然后要連立直線了，比如設(shè)直線AB為：Y=KX+M  （設(shè)出來(lái)這個(gè)直線的時(shí)候，腦子里面應(yīng)該本能的想到一個(gè)詞“分類”，就是K不存在的情況，一定要分類，給大家說(shuō)，只要能分類的，一定要分類，因

14、為每一個(gè)分類就有一定的分，我們的目的就是拿分！）然后可以得出K和M的一個(gè)等式，（有一個(gè)式子，那肯定能根據(jù)題目其它的一個(gè)條件得出另外一個(gè)式子，這兩個(gè)式子聯(lián)立，一般就可以做出來(lái)了）哦，這個(gè)說(shuō)明下，這是看到OA*OB=0后出來(lái)的一推東西，后面的還沒看呢，繼續(xù)看，呵呵出來(lái)了，切線，我們都知道，根據(jù)切線，肯定能得出一個(gè)等式，這樣題目思路就清晰了！上面這些，大家是不是都能熟練的背下來(lái)呢，其實(shí)這道題難得不是這些，難在你是不是明白題意。還有對(duì)圓錐曲線問題，大家心里一定一定要堅(jiān)定一個(gè)信念-那就是直線和曲線聯(lián)立！這句話很重要，只有你能找到直線和曲線聯(lián)立（一定要找對(duì)哦，比如說(shuō)這道題，你總不能OA和橢圓聯(lián)立吧？！只有

15、你能想到用AB去聯(lián)立，那么后面的一直到韋達(dá)定理，一般就可以得8分了。大家可能會(huì)想，誰(shuí)都知道用AB聯(lián)立，可是到了高考那樣的氛圍，你還能像平時(shí)一樣大腦清醒嗎？而且萬(wàn)一不是一條直線呢等等的情況，你真不一定找到） 題目還要：并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由玄長(zhǎng)公式，對(duì)吧，因?yàn)橹懒薑和M 的關(guān)系，所以玄長(zhǎng)公式里面只有一個(gè)K ，而K又有一定的范圍，所以再結(jié)合不等式的知識(shí)，可以求出范圍，當(dāng)然還要考慮K不存在的情況，不然又要扣分！ 啰嗦了這么多，想告訴大家的：其實(shí)就是一定要有思路。思路哪里來(lái)的？是不是從OA*OB=0這里展開一系列的想法呢？可以說(shuō)，

16、思路就是一個(gè)題眼，得出一個(gè)總體框架，然后在實(shí)際做題中把各個(gè)細(xì)節(jié)填滿，問題在于，你如何知道哪里是題眼？就是知道，你如何正確處理？ 嗯，問到點(diǎn)子上了，我記得我高二高三的時(shí)候，每做一道很典型的題，我都會(huì)把這道題想的很透很透，然后，閑暇時(shí)，腦子里想的就是最近做過(guò)的和新學(xué)得知識(shí)，時(shí)間上了，基本上見些東西，就能本能的搜索到相應(yīng)的應(yīng)對(duì)方法。 大家可能會(huì)問，高考題是會(huì)變的，而且數(shù)學(xué)又是一門很靈活的東西，隨便一點(diǎn)變化，都可以出來(lái)很多很多的題目。其實(shí)高考是在變，而且變的很靈活。但是高考中更多的是不變，所謂不變就是知識(shí)點(diǎn)不變，考點(diǎn)不變（相對(duì)來(lái)說(shuō)吧），以及更重要的是難題的入手點(diǎn)不變！或者就是說(shuō)題眼

17、不變，最多就是變個(gè)說(shuō)法！就拿OA*OB=0來(lái)說(shuō)，可以衍生出很多不同的說(shuō)法，比如中點(diǎn)，角分線等等，還有比如向量AF=3FB向量，這個(gè)也是大題中常見的。這樣的如何出處理？，帶入坐標(biāo)，會(huì)得到兩個(gè)式子，這兩個(gè)式子中的一個(gè)比較簡(jiǎn)單比如：X2=3X1，還有一個(gè)關(guān)于Y 的，如何用，任何時(shí)候，都只用其中一個(gè)，你如果兩個(gè)都用，那你就.用哪個(gè)呢？很顯然啊，用X2=3X1，這個(gè)對(duì)吧，因?yàn)檫@個(gè)簡(jiǎn)單。然后再如何做呢？這個(gè)可以用韋達(dá)定理了嗎？其實(shí)可以，只要對(duì)這個(gè)式子做幾次變化，就可以用韋達(dá)定理了，從而又要聯(lián)立直線?；蛘吣憧梢月?lián)立后，解除X1，X2，然后帶入X2=3X1，一樣可以得到一個(gè)等式。我上面說(shuō)的這些，都是需要你平時(shí)

18、不斷的積累！我之前說(shuō)過(guò)，重復(fù)的做試卷-，要做的是什么？是像圓錐曲線，數(shù)列不等式，立體幾何等等的很復(fù)雜的解答題。 我高三的時(shí)候，一張卷子看過(guò)去，基本上所有題的思路都立馬出來(lái)了，那時(shí)候我在干嘛？我就做圓錐計(jì)算.就是為了訓(xùn)練自己的卷面，速度和正確率。不知道大家有什么收獲，其實(shí)每一個(gè)題目（就算是最難的數(shù)列，圓錐曲線等），都是有著明顯的切入點(diǎn)的，所謂切入點(diǎn)，我覺得就是命題人和考生之間的一種約定。一定要把這個(gè)切入點(diǎn)（暗示）抓出來(lái)！如何一眼就看出來(lái)呢？這要靠平時(shí)積累，很累，但收獲很大.比如B+C=6，或者B+C=BC 等等，一看就是余弦定理 還有很多很多.做題積累吧！ “秒殺”

19、高考綜合題系列之(一)點(diǎn)差法在解析幾何綜合題中的應(yīng)用優(yōu)能中學(xué) 從強(qiáng)到高三的同學(xué)都知道，浙江省高考在解析幾何章節(jié)的考查內(nèi)容肯定包含一道綜合題，一般多是橢圓和拋物線，按照命題的規(guī)律和趨勢(shì)，我們發(fā)現(xiàn)以下兩點(diǎn)：（1）理科數(shù)學(xué)在此章節(jié)一般考察橢圓，文科數(shù)學(xué)一般考察拋物線；（2）考察的題型一般是直線與解析幾何的位置關(guān)系。諸位可以翻看一下浙江過(guò)往幾年的考試試卷看看。上過(guò)從老師高考班的同學(xué)應(yīng)該記得，在解決解析幾何圖形與直線相切這個(gè)位置關(guān)系的題型的時(shí)候，“抄一個(gè)，代一個(gè)”這六個(gè)字可以幫助大家快速提升做題速度。如果大家要用判別式、位置關(guān)系等通法解決此類問題時(shí)，耗費(fèi)510分鐘不說(shuō)，510分鐘的計(jì)算量還不一定能保證結(jié)

20、果正確。但諸位如果知道“抄一個(gè)，代一個(gè)”，一旦看到直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線等相切問題時(shí)，應(yīng)做到能在10秒鐘以內(nèi)準(zhǔn)確地寫出切線的方程。當(dāng)然，直線與上面圖形的位置關(guān)系除了相切以外，另外一種更?？嫉奈恢檬窍嘟?。在相交的題型中，一旦看到“弦長(zhǎng)”或者“面積”等關(guān)鍵詞時(shí)，應(yīng)立即想到“設(shè)直線、代曲線、根與系數(shù)搞定一切”（弦長(zhǎng)公式）。相信大家對(duì)這種題型應(yīng)該有較深的體會(huì)了。今天我在這里要跟大家探討的是：題目中出現(xiàn)“直線與橢圓交于兩點(diǎn)A、B”（即AB是橢圓內(nèi)的一條弦）、“AB中點(diǎn)M”等關(guān)鍵詞時(shí)的解題方法?！包c(diǎn)差法”精髓在于“設(shè)而不求”，通過(guò)點(diǎn)差法有個(gè)重要的結(jié)論要求大家記住。設(shè)橢圓方程為，任意一條直線交橢圓于

21、，兩點(diǎn)，則兩式相減得到，移向整理后得到： 即：（M為AB中點(diǎn)）同樣的道理，對(duì)于長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓，結(jié)論為.也就是說(shuō)：橢圓內(nèi)任意弦AB所在直線的斜率與過(guò)該弦中點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率乘積為一個(gè)常數(shù)?！驹偻卣埂慨?dāng)A、B兩點(diǎn)離的非常近時(shí)，可以將這個(gè)結(jié)論看做：過(guò)橢圓上某點(diǎn)P有一條切線，則請(qǐng)看2009年浙江高考第21題已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處的切線與交于點(diǎn)當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值也許很多同學(xué)都看過(guò)所謂“標(biāo)準(zhǔn)答案”給我們的解題過(guò)程，設(shè)出直線方程后代入，經(jīng)過(guò)兩次判別式來(lái)確定h的取值范圍。這也是很多參

22、考書上給出的參考解題思路。不過(guò)按照此種通法解題思路，計(jì)算量和整理的工作至少需要710多分鐘。第一問很簡(jiǎn)單，結(jié)果為：按照我們上面講到的“點(diǎn)差法”，在第二問中一旦看到“弦”、“中點(diǎn)”等關(guān)鍵詞，就應(yīng)立即想到：（T為MN中點(diǎn)）首先想到MN的斜率即是點(diǎn)P處的切線斜率，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得：MN中點(diǎn)T的橫坐標(biāo)即PA中點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)“抄一個(gè)，代一個(gè)”的技巧，很容易直接就得到過(guò)點(diǎn)P切線直線方程，將的值代入直線方程，得： 所以于是，整理，得： ，顯然這是一個(gè)基本不等式，非常容易就得到或者很顯然，對(duì)于，此時(shí)的拋物線內(nèi)部包含了橢圓，切線與橢圓沒有交點(diǎn)，排除掉；

23、所以。的最小值為1。【總結(jié)一下】注意題目中出現(xiàn)的“弦”、“中點(diǎn)”等關(guān)鍵詞，利用點(diǎn)差法推導(dǎo)出來(lái)的這個(gè)結(jié)論，不僅可以提供解決題目的思路，很順暢地進(jìn)行“需要什么就寫什么”數(shù)學(xué)解題，而且可以大大減少運(yùn)算量，提高速度和正確率。對(duì)于拋物線，利用點(diǎn)差法也可以有類似的結(jié)論，由于篇幅關(guān)系，不再贅述。【課外練習(xí)】利用常規(guī)方法解決下面問題，再用上面的小結(jié)論分析解決一次。比較一下兩種方法所需的時(shí)間?！揪毩?xí)I】如圖，橢圓1（ab0）與過(guò)點(diǎn)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=。（I）求橢圓方程；（II）設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：ATM=AFT?！窘獯鹛崾尽咳绻贸Ｒ?guī)解法，第一問需要5-10的時(shí)間，我們可以將這個(gè)結(jié)論擴(kuò)充到直線與橢圓相切的模型，利用該結(jié)論很快得到OT直線的斜率，進(jìn)而得到點(diǎn)T的坐標(biāo)，問題得解。在