概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4-3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

1、一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的 概念及性質(zhì)概念及性質(zhì)二二、相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義三、協(xié)方差矩陣三、協(xié)方差矩陣第第4.34.3節(jié)節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)四、小結(jié)四、小結(jié)1. 問題的提出問題的提出 那那么么相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì) 協(xié)方差協(xié)方差).()(),ov(),Cov(.)()(,),(YEYXEXEYXC

2、YXYXYEYXEXEYX 即即記為記為的協(xié)方差的協(xié)方差與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量量量是二維隨機(jī)變量是二維隨機(jī)變量2. 定義定義.)()(),Cov(的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 說明說明 .,)1(個(gè)個(gè)無無量量綱綱的的量量它它是是一一協(xié)協(xié)方方差差的的相相關(guān)關(guān)系系

3、數(shù)數(shù)又又稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)和和YX4. 協(xié)方差的計(jì)算公式協(xié)方差的計(jì)算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov

4、(),Cov()2(為為常常數(shù)數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 6. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì). 1)1( XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存存在在常常數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件是是.),(),(222121相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的與與試試求求設(shè)設(shè)YXNYX解解 22222121212122212121121yyxxyxp)()()()(exp),(由由,)()( xexpxX21212121.,)()( yeypyY22222221例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxpyxYXdd),()()

5、,Cov( 21而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于于是是結(jié)論結(jié)論;,)1(的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與代代表表了了參參數(shù)數(shù)中中二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布密密度度函函數(shù)數(shù)YX. )2(相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與等等價(jià)價(jià)于于相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)為為零零與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXYX.2

6、3,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設(shè)設(shè)分分別別服服從從已已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量.)2(.)1(的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與求求的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差求求ZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故

7、)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 二、相關(guān)系數(shù)的意義二、相關(guān)系數(shù)的意義1. 相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義.Y,X,XY較較密密切切的的線線性性關(guān)關(guān)系系表表明明較較大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).,線性相關(guān)的程度較差線性相關(guān)的程度較差較小時(shí)較小時(shí)當(dāng)當(dāng)YXXY.YX,0XY不不相相關(guān)關(guān)和和稱稱時(shí)時(shí)定定義義：當(dāng)當(dāng) (1) 不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系不相關(guān)與相互獨(dú)立的關(guān)系2. 注意注意相互獨(dú)立相互獨(dú)立不相關(guān)不相關(guān)(2) 不相關(guān)的充要條件不相關(guān)的充要條件; 0,1o XYYX不不相相關(guān)關(guān); 0),Cov(,2o YXYX不不相相關(guān)關(guān)DYDXYXDYXYEXEXYEYX )

8、(,4).()()(,30o不不相相關(guān)關(guān)不不相相關(guān)關(guān).),(的的關(guān)關(guān)系系相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的概概率率密密度度曲曲面面與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 XYYX單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出中心矩中心矩的二階混合的二階混合維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量設(shè)設(shè)),(21nXXXn, 2 , 1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 則稱矩陣則稱矩陣 nnnnnncccccccccC212222111211.協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的為為n三、協(xié)方差矩陣三、協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變

9、量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其其中中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc .,), 2 , 1,(陣陣為為對對稱稱的的非非負(fù)負(fù)定定矩矩陣陣所所以以協(xié)協(xié)方方差差矩矩由由于于njiccjiij 協(xié)方差矩陣的應(yīng)用協(xié)方差矩陣的應(yīng)用.,的的研研究究差差矩矩陣陣達(dá)達(dá)到到對對隨隨機(jī)機(jī)變變量量從從而而可可通通過過協(xié)協(xié)方方變變量量的的概概率率密密度度隨隨機(jī)機(jī)協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣可可用用來來表表示示推廣推廣,)()()(2121 nnXEXEXE,),(21TnxxxX 其中其中),(21nx

10、xxp.212222111211 nnnnnncccccccccC示示為為的的概概率率密密度度可可表表維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(21nXXXn.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn四、小結(jié)四、小結(jié)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義, )()( 的協(xié)方差的協(xié)方差與與稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量量量YXYEYXEXE ),(Cov YX記為記為)()(),(CovYEYXEXEYX . )()(),(Cov 關(guān)系數(shù)關(guān)系數(shù)的相的相與與為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量稱稱YXYDXDYXXY ).,(Cov),(Cov. 1XYYX ).,(Cov),(Cov. 2YXabbYaX )