概率論與數(shù)理統(tǒng)計4-3協(xié)方差及相關系數(shù)

1、一、協(xié)方差與相關系數(shù)的一、協(xié)方差與相關系數(shù)的 概念及性質(zhì)概念及性質(zhì)二二、相關系數(shù)的意義相關系數(shù)的意義三、協(xié)方差矩陣三、協(xié)方差矩陣第第4.34.3節(jié)節(jié) 協(xié)方差及相關系數(shù)協(xié)方差及相關系數(shù)四、小結四、小結1. 問題的提出問題的提出 那那么么相相互互獨獨立立和和若若隨隨機機變變量量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨立不相互獨立和和若隨機變量若隨機變量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協(xié)方差與相關系數(shù)的概念及性質(zhì)一、協(xié)方差與相關系數(shù)的概念及性質(zhì) 協(xié)方差協(xié)方差).()(),ov(),Cov(.)()(,),(YEYXEXEYXC

2、YXYXYEYXEXEYX 即即記為記為的協(xié)方差的協(xié)方差與與稱為隨機變量稱為隨機變量量量是二維隨機變量是二維隨機變量2. 定義定義.)()(),Cov(的相關系數(shù)的相關系數(shù)與與稱為隨機變量稱為隨機變量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相相互互獨獨立立和和若若隨隨機機變變量量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相相互互獨獨立立和和若若隨隨機機變變量量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 說明說明 .,)1(個個無無量量綱綱的的量量它它是是一一協(xié)協(xié)方方差差的的相相關關系系

3、數(shù)數(shù)又又稱稱為為標標準準和和YX4. 協(xié)方差的計算公式協(xié)方差的計算公式);()()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, ),Cov

4、(),Cov()2(為為常常數(shù)數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 6. 相關系數(shù)的性質(zhì)相關系數(shù)的性質(zhì). 1)1( XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存存在在常常數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件是是.),(),(222121相相關關系系數(shù)數(shù)的的與與試試求求設設YXNYX解解 22222121212122212121121yyxxyxp)()()()(exp),(由由,)()( xexpxX21212121.,)()( yeypyY22222221例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxpyxYXdd),()()

5、,Cov( 21而而xyeeyxxyxdd)(1212112222121)1(212)(21221 ,1111222 xyt令令,11xu uteutuYXtudd)1(21),Cov(2222122122 teueutudd22222122 tteueutudd212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于于是是結論結論;,)1(的的相相關關系系數(shù)數(shù)與與代代表表了了參參數(shù)數(shù)中中二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布密密度度函函數(shù)數(shù)YX. )2(相相互互獨獨立立與與等等價價于于相相關關系系數(shù)數(shù)為為零零與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量YXYX.2

6、3,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設設分分別別服服從從已已知知隨隨機機變變量量.)2(.)1(的的相相關關系系數(shù)數(shù)與與求求的的數(shù)數(shù)學學期期望望和和方方差差求求ZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故

7、)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 二、相關系數(shù)的意義二、相關系數(shù)的意義1. 相關系數(shù)的意義相關系數(shù)的意義.Y,X,XY較較密密切切的的線線性性關關系系表表明明較較大大時時當當.,線性相關的程度較差線性相關的程度較差較小時較小時當當YXXY.YX,0XY不不相相關關和和稱稱時時定定義義：當當 (1) 不相關與相互獨立的關系不相關與相互獨立的關系2. 注意注意相互獨立相互獨立不相關不相關(2) 不相關的充要條件不相關的充要條件; 0,1o XYYX不不相相關關; 0),Cov(,2o YXYX不不相相關關DYDXYXDYXYEXEXYEYX )

8、(,4).()()(,30o不不相相關關不不相相關關.),(的的關關系系相相關關系系數(shù)數(shù)的的概概率率密密度度曲曲面面與與二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量 XYYX單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出中心矩中心矩的二階混合的二階混合維隨機變量維隨機變量設設),(21nXXXn, 2 , 1, )()(),Cov( 都存在都存在njiXEXXEXEXXcjjiijiij 則稱矩陣則稱矩陣 nnnnnncccccccccC212222111211.協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣維維隨隨機機變變量量的的為為n三、協(xié)方差矩陣三、協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為二維隨機變量二維隨機變

9、量例如例如),(21XX 22211211ccccC,)(21111XEXEc 其其中中),()(221112XEXXEXEc ),()(112221XEXXEXEc .)(22222XEXEc .,), 2 , 1,(陣陣為為對對稱稱的的非非負負定定矩矩陣陣所所以以協(xié)協(xié)方方差差矩矩由由于于njiccjiij 協(xié)方差矩陣的應用協(xié)方差矩陣的應用.,的的研研究究差差矩矩陣陣達達到到對對隨隨機機變變量量從從而而可可通通過過協(xié)協(xié)方方變變量量的的概概率率密密度度隨隨機機協(xié)協(xié)方方差差矩矩陣陣可可用用來來表表示示推廣推廣,)()()(2121 nnXEXEXE,),(21TnxxxX 其中其中),(21nx

10、xxp.212222111211 nnnnnncccccccccC示示為為的的概概率率密密度度可可表表維維正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量),(21nXXXn.)()(21exp)(det)2(11212 XCXCTn四、小結四、小結協(xié)方差與相關系數(shù)的定義協(xié)方差與相關系數(shù)的定義, )()( 的協(xié)方差的協(xié)方差與與稱為隨機變量稱為隨機變量量量YXYEYXEXE ),(Cov YX記為記為)()(),(CovYEYXEXEYX . )()(),(Cov 關系數(shù)關系數(shù)的相的相與與為隨機變量為隨機變量稱稱YXYDXDYXXY ).,(Cov),(Cov. 1XYYX ).,(Cov),(Cov. 2YXabbYaX )