數(shù)學(xué)分析10-6

1、定積分的應(yīng)用習(xí)題課定積分的應(yīng)用習(xí)題課微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點的特點解解 題題 步步 驟驟定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、理論依據(jù)、理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是于是即即的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法

2、計算積分或原函數(shù)的計算積分或原函數(shù)的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba （1）U是是與與一一個個變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對對于于區(qū)區(qū)間間 ba,具具有有可可加加性性，就就是是說說，如如果果把把區(qū)區(qū)間間 ba,分分成成許許多多部部分分區(qū)區(qū)間間，則則U相相應(yīng)應(yīng)地地分分成成許許多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；就就可可以以考考慮慮用用定定積

3、積分分來來表表達(dá)達(dá)這這個個量量U.3 3、所求量的特點、所求量的特點1)根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個個變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxf

4、dU)( ；3）以所求量）以所求量U的元素的元素dxxf)(為被積表達(dá)式，在為被積表達(dá)式，在區(qū)間區(qū)間,ba上作定積分，得上作定積分，得 badxxfU)(，即為所求量即為所求量U4 4、解題步驟、解題步驟5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起

5、起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù) dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )

6、( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)(5) 細(xì)棒的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為線密度為線密度x (7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8)

7、水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為引力系數(shù)為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體積及表面積體積及表面積體體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長它的弧長它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線星形線已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對稱性由

8、對稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)設(shè)弧弧長長為為由對稱性由對稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 體積為體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為由對稱性由對稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多

9、多少少若若再再將將滿滿池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度時時水水求求在在池池中中水水深深內(nèi)內(nèi)注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半徑徑為為以以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系.).0()(222RyRRyx 半半圓圓的的方方程程為為于是對半圓上任一點于是對半圓上任一點,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 時水池內(nèi)水的體積為時水池內(nèi)水的體積為為為的球缺的體積即水深的球缺的體積即水深故半球內(nèi)高為故半球內(nèi)高為的立體的立體軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成圓繞圓繞因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh

10、 0202)2()(,th時時已已注注水水的的時時間間為為又又設(shè)設(shè)水水深深,)(athV 則則有有atdyyRyh 02)2(即即得得求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對對,t,)2(2adtdhhRh 故所求速度為故所求速度為.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即將將池池內(nèi)內(nèi)將將滿滿池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功約約為為所所需需降降到到抽抽水水時時使使水水位位從從dyyRyy )0()1(),(2水水的的比比重重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素故將滿池水全部提升到池沿高度所

11、需功為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例3: 如圖, 平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心, 并與底面交成角 , 計算這平面截圓柱體所得立體的體積. 解: 取x為積分變量, 變化區(qū)間為R, R, 在R, R 上任取一點x, 過x作垂直于x軸的平面截立體, 截面的面積 RRoxyyx222Ryxtan)(21tan21)(22xRyyxARRdxxAV)(RRdxxRtan)(2122RRxxR3tan2132tan323R.32:423的長度的一段弧到從上相應(yīng)于計算曲線例baxxy 解:21xy dxxdxyds11

12、2弧長元素232323)1 ()1 (32)1 (321 abxdxxsbaba弧長oyxba2332xy ,)(kxxf 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例5 5 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)挠描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第阻力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？次錘擊時又將鐵釘擊入多少？n設(shè)設(shè) 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n設(shè)木

13、板對鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功為解解 hhkxdxw0,22kh 1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等例例 6 6 有一長度為有一長度為 l 、線密度為、線密度為 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒， 在其中垂線上距棒在其中垂線上距棒 a 單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的質(zhì)點 M ，計算該棒對質(zhì)點，計算該棒對質(zhì)點 M 的引力的引力 2l2l xyoMa取取y為為積積分分變變量量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,

14、dyyy ,2,2 lly,dy rydyy 小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為將典型小段近似看成質(zhì)點將典型小段近似看成質(zhì)點建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖解解小段與質(zhì)點的距離為小段與質(zhì)點的距離為,22yar ,22yadymkF ,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm . 0 yF由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為水平方向的分力元素水平方向的分力元素引力引力例例7 7.,4,20,3050,的的靜靜壓壓力力求求閘閘門門一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水米米頂頂部部高高出出水水面面如如果果閘閘門門米米高高為為米米米米和和分分別別為為梯梯形形的的上上下下底底如如圖圖所所示示一一等等腰腰梯梯形形閘閘門門解解xyo164 xdxx AB如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系,的的方方程程為為則則