定積分的概念.

1、I第五章定積分第一節(jié) 第二節(jié) 第三節(jié) 第四節(jié)定積分的概念與性質(zhì)微積分基本公式定積分的換元法和分咅E積分法反常積分主講人：夕源第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)1口口一一 _I一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例1:11=1在初等函數(shù)里面，我們只會計(jì)算規(guī)則圖形的面積， 如長方形，圓形等。如何計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，是 我們需要解決的問題。曲邊梯形yx=b «設(shè)函數(shù)在區(qū)間a, h 上非負(fù)、連續(xù).由直線.u。、x=b、 y=o及曲線y=/ (.V)所圍成的圖形 稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱 為曲邊.如何計(jì)算其面積？解決步驟：1) 分割. 在區(qū)間a , h中任意插入H 1個

2、分點(diǎn) 用直線2%將曲邊梯形分成刃個小曲邊梯形；2) 近似.在第i個窄曲邊梯形上任取& e 兀I,七作以七為底，/©) 為高的小矩形，并以此小 梯形面積近似代替相應(yīng) 窄曲邊梯形面積D£,得D4 簽fg X. (D A.=兀一耳,；元素法1化整為零2以直代曲 （以常代變）AS； « Wg3積零為整分法越細(xì)，越接近精確值4取極限令分法無限燹細(xì)I1.曲邊梯形的面積/（&）1=1無素法y A1化整為零2以直代曲 （以常代變）AS 嚴(yán)/（GU3積零為整分法越細(xì)，越接近精確值4取極限令分法無限燹細(xì)5= lima /3）D.*2 變速直線運(yùn)動的路程已知物體直線運(yùn)動

3、的速度luu是時間Z的連續(xù)函數(shù), 且v(z)>0,計(jì)算物體在時間段珀，込內(nèi)所經(jīng)過的路程S1)分割：廠* V-142，廠-+1；(2) 近似：物體在時間段“1，巾內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為S嚴(yán)(3) 求和：物體在時間段八，場內(nèi)所經(jīng)過的路程近似為K取極限記啟maxN，©，3物體所經(jīng)過的路程為S = lim V y(巧)V 幾 tOf=1.曲邊梯形的面積s=鹽3 Dx./(x.)12 變速直線運(yùn)動的路程上述兩個問題的共性：-解決問題的方法步驟相同：“分割，近似，求和，取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同：特殊乘積和式的極限 許多問題的解決都可以化為上述特定和式的問題, 將其一般化，就得到定積分的概

4、念.二、定積分的定義1定積分的定義設(shè)函數(shù)心)在區(qū)間甸上有界在區(qū)間d, b內(nèi)插入nl 個分點(diǎn)：a=x(,<r,<X2< 產(chǎn)枕i己Av尸x廠r_ (i=l,，n), dmaxAX,心?，Aq；在小區(qū)間|和,旳上任取一點(diǎn)昌 (#1,2,a，作禾咗/©JX；如果當(dāng)20時，上述和式的 極限存在，且極誡i與區(qū)間%創(chuàng)的分法和手勺取法無關(guān), 則稱此極限為函數(shù)/G)在區(qū)間七，上的定積分，記為 J：/(x)dx,即此時稱/( X )在d上可積.積分下限Q /(x)dx =n/gJDyT、積分上限kJ也，6稱為積分區(qū)間定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分 變量用彳扌么字母表示無關(guān),

5、即 b6 /3dx_ h /df 二 0二、定積分的定義1 定積分的定/I根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為4=j'/（xWx. 變速直線運(yùn)動的路程為.2 函數(shù)的可積性'定理1：如果函數(shù)心）在區(qū)間a切上連續(xù)，則函數(shù)/U） 在區(qū)間0,創(chuàng)上可積.定理2:如果函數(shù)/（X）在區(qū)間a,創(chuàng)上有界，且只有有限 個間斷點(diǎn)，則函數(shù)心）在區(qū)間a切上可積.<13.定積分的幾何意義:曲邊梯形面積- A曲邊梯形面積的負(fù)值人3人5X0 /Wdx=A + 人-州 + &a各部分面積的代數(shù)和例1.利用定義計(jì)算定積分解把區(qū)間0, I分成H等份，分點(diǎn)為和小區(qū)間長度為無=(i=l, 2,，n-1),*

6、=+ (/=1, 2,.取 = (i = l,2-,n)，作積分和n"zrIf - f III若/©)=若(鏟+冷(i+萬)(2+萬).因?yàn)樾?丄，當(dāng)2->0時MT8,所以nI«IIIIlimV= lim(1 )(2 )=.J()f xTsO n n 3例2用定積分的幾何意義求；（1解 函數(shù)y=l-x在區(qū)間0,1上的定積分是以尸為 曲邊，以區(qū)間0, 1為底的曲邊梯形的面積.因?yàn)橐裕?1譏為曲邊，以區(qū)間O 1為底的曲邊梯形是 一個直角三角形，其底邊長及高均為1所以£(1-X)Ja- =yXlx| =.三、定積分的性質(zhì)悔廝|1兩點(diǎn)規(guī)定 (1)當(dāng)a=b時

7、，f/(x)tZx = O; (2)當(dāng) a>h 時，J：/(x)dx = _( fx)dx . f Lf(X)zb?(x)Uv=jy(x)dv 斗l(x)厶.性廣22hhL kfx)dx=竹 fxdx.bcbJxdx = Jx)dx+J fx)dx 注：值得注意的是不論a b工的相 對位置如何上式總成立.性質(zhì)5推論1推論2hhf ldx= f dx = ha .J"J “如果在區(qū)間G, Z?±/U)>(),則(f (x)dx>O(a<h).如果在區(qū)間a h± f(x)<g(x則bbJxdx< g(x)dx(dvb) Ilfxdx

8、<p /(X)Idx a<b.這是因?yàn)?!/(x)lxX(x)l,所以bhh-p/U)ldx<L/(X皿<p/(x)ldx, If/(x)dxj fx)dx ./M<由介值定理，至少存在一點(diǎn)歹丘匕/兒使兩端乘以bp即得積分中值公式./Oa£b X性質(zhì)6設(shè)M及加分別是函數(shù)/(X)在區(qū)間切上的最大值及 最小值，則bmhci< f f x)dx<M(ha) a<h).性質(zhì)7 (定積分中值定程丫如果酬心)在閉區(qū)間0,切上連 續(xù)，則在積分區(qū)間切上至少存在一個點(diǎn)二使下式成立： tf(x)dx = f(i)(h-a). 積分中值公式.這是因?yàn)?，a性質(zhì)

9、6變形得I 命2注：-積分中值定理對bf /(兀)心-可把疋)hf /（X）dx1n，門=宀1曲工= lim-y/G）b ah a 川t« &n刃一>s n 臺故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.、卩 1 ,估計(jì)積分O讓3厶的值 0 3+ sin Xfix = -_, V X G 0, k1,3 4-sin X.Ill0<sin x<l,-4 3 + sin X 3"Ipn 1"If 4/x< f < f 4/x, Jo 4J«3 + sii?x Jo 3啟1,必<巴4 Jo 3 + sinx 3-sin X例4估計(jì)積分6； dx 的值4 Xg “ sinx兀兀，解 /（*） =, atgE-,-X4 2<0,“ 、