對“幾何直觀”概念的幾點辨析

1、對“幾何直觀”概念的幾點辨析浙江省海鹽縣實驗小學(xué)教育集團 顧志能在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（ 2011 年版）（以下簡稱標(biāo)準）中，“幾何直觀”是課程目標(biāo)的核心概念。 標(biāo)準提出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。 ”而在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（實驗稿）中，“幾何直觀”卻并不是課程目標(biāo)的核心概念，這預(yù)示著，幾何直觀將成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的一個新的關(guān)注點。 在這個時候， 理解幾何直觀的含義， 了解與相關(guān)概念的區(qū)別， 對小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言， 就顯得非常必要和迫切。 為此，筆者從自己的困惑出發(fā)，結(jié)

2、合所看到的相關(guān)資料，談一些粗淺的認識，供老師們討論。、幾何直觀的含義標(biāo)準：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、 形象， 有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。著名數(shù)學(xué)家徐利治先生也有過對幾何直觀的描述：幾何直觀是借助于見到的或31想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。也有學(xué)者這么描述： “幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜想的心理狀態(tài)。” 2從這些描述中，我們可有以下的認識：幾何直觀是一種運用圖形認識事物的能力 3，或者說一種

3、解決數(shù)學(xué)問題的思維方式。這種能力可外化成為一種在解決某些數(shù)學(xué)問題時的方法， 這種方法區(qū)別于其它 方法的典型特征在于它是以幾何圖形為工具的即“幾何”兩字的意義。用這種方法解決問題，不是運用幾何中常用的論證方法，而是通過經(jīng)驗、觀察、想象等途徑，直觀地感知問題的結(jié)果或方向即“直觀”兩字的意義。如三年級學(xué)生要學(xué)習(xí)同分子分數(shù)大小比較， 這個知識相對比較抽象， 學(xué)生較難理解。此時，學(xué)生如果能主動地采取畫出（或想到）以下幾何圖形（圖1）的方式，然后通過觀察（或想象）圖形的特點及聯(lián)系，直觀地解決問題，并理解了“分子相同的掌握這樣分數(shù)，分母小的反而大”的原理。學(xué)生如果具備這種解決問題的思維方式, 的方法，我們就

4、可說學(xué)生有幾何直觀的能力。二、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合在理解幾何直觀意義的過程中，老師們最大的困惑就是難以將幾何直觀與數(shù)形結(jié) 合清晰地區(qū)別開來。比如說，上文所舉的分數(shù)大小比較時用幾何圖形來思考的例子,在以前，我們一直是視為這是用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的典型。而如今，這樣的觀 念要調(diào)整，數(shù)形結(jié)合變成了幾何直觀，這就難免讓人疑惑：數(shù)形結(jié)合與幾何直觀，區(qū) 別到底在哪里?近期，在筆者參與的或了解到的一些以幾何直觀為話題的教研活動，都呈現(xiàn)出了 一個共同之處：教師呈現(xiàn)的所謂幾何直觀的例子，都是以前所講的數(shù)形結(jié)合的例子。教師們更有這樣的認識：幾何直觀，無非是數(shù)形結(jié)合的“同名詞”，或者可能只是數(shù) 形結(jié)合的“升級版”

5、而已。教師們對此的不解，甚至于表現(xiàn)為“用到了幾何圖形，就 是體現(xiàn)了幾何直觀”這樣的想法。當(dāng)然，筆者所言的這些教研活動，大多是很基層的, 或許只是代表了部分一線普通教師的認識。 但是，這足以說明對數(shù)形結(jié)合與幾何直觀 作出區(qū)分是非常必要的。什么是數(shù)形結(jié)合？數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是解決數(shù)學(xué)問題的 有效策略。它是指解決數(shù)學(xué)問題時，可借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，或反過來運用“數(shù)”與“式”的描述來刻畫“形”的特征。數(shù)形結(jié)合最基本的形式為“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的分數(shù)應(yīng)用題，我們運用畫線段圖來分 析其中的數(shù)量關(guān)系，這樣的情況就可叫做“以形助數(shù)”。而我們在直角坐標(biāo)系中

6、，用 數(shù)對來描述圖形的變化（如平移、旋轉(zhuǎn)），或計算兩點之間的距離等，這樣的情況則 可叫做“以數(shù)解形”?！耙孕沃鷶?shù)”，是在發(fā)揮“形”所具有的直觀特點，來降低“數(shù)” 的抽象度；而“以數(shù)解形”，則是在利用“數(shù)”的精確性，來準確刻畫“形”，讓“形” 得以量化。如此，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題。5如果用一個不太恰當(dāng)?shù)谋扔鱽硇稳輸?shù)形結(jié)合的特點，它就好比是架設(shè)在“數(shù)”與“形” 之間的一條雙向通道，起著由此及彼、相互促進的作用。我們再來看幾何直觀。從幾何直觀的概念可知，它是指“利用圖形描述和分析數(shù) 學(xué)問題”。那么，我們不得不產(chǎn)生這樣的理解：幾何直觀就是用“形”來解決數(shù)學(xué)問 題。盡管

7、這個“數(shù)學(xué)問題”可能并不僅僅是“數(shù)”，可以是“形”或者其它數(shù)學(xué)問題。但不管怎樣，如果與數(shù)形結(jié)合做個對比，那么它就只能算是一條由“形”出發(fā)的單向 通道而已。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，因為“以數(shù)解形”的例子極少，所以就造成了老師們談及數(shù)形結(jié) 合時，都是舉了單向的由“形”出發(fā)解決“數(shù)”的例子。如此一來，我們自然就會遇 到這樣的情況：數(shù)形結(jié)合的例子是“以形助數(shù)”，幾何直觀的例子也是“以形助數(shù)”， 在小學(xué)中，兩者所舉的例子似乎是一樣的?；蛟S就是因為這樣的原因，曾有專家提出: 在小學(xué)數(shù)學(xué)中，不必區(qū)分數(shù)形結(jié)合和幾何直觀。這樣的觀點，筆者覺得也不無道理。當(dāng)然，盡管有這樣的觀點，但并不是說幾何直觀就是數(shù)形結(jié)合的下位概念。筆

8、者覺得，如果我們要將幾何直觀與“以形助數(shù)”作區(qū)別的話，那就必須要拋開表面的相 似，而去找到兩者關(guān)鍵的區(qū)別。在筆者看來，幾何直觀的內(nèi)涵最重要之處是“直接感知”（即徐利治先生所下定 義中的用詞）。具體地說，數(shù)形結(jié)合的“以形助數(shù)”，的確是借助于“形”來分析“數(shù)”， 但是，這個“形”需要我們相對規(guī)范地得出，解釋的過程更是要借助于“形”的細節(jié) 嚴謹?shù)亻_展，是帶有初步的演繹推理的成分（已類似于證明）。而幾何直觀，也是在 用“形”，但這個“形”，可以是眼睛見到的，可以是畫出的，也可以是大腦想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系及事物其它本質(zhì)屬性的感知, 即“未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一

9、種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)6 ”的認識。冋”直白地講，幾何直觀是一種立足于“形”卻帶有思維跳躍性的解決數(shù)學(xué)問題的方式，它是基于表象的、在人頭腦中進行的“快捷推理”。如前文所舉的分數(shù) 大小比較的例子，當(dāng)學(xué)生頭腦中想到“一個圓平均分成四份，其中的一份與平均分成五份中的一份相比”，這時，生活經(jīng)驗首先介入，然后支撐表象馬上建立，于是“ -大于1”的結(jié)果直接就在學(xué)生頭腦中形成了。5是不一樣的。這明顯與用圖形來規(guī)范嚴謹?shù)剡M行說理因此，幾何直觀與數(shù)形結(jié)合雖有一定聯(lián)系,卻并非同一意義，這往往為很多人所混淆。也正因為站在這樣的角度，筆者覺得,標(biāo)準對幾何直觀的文字描述還不是最理想，至少是很難讓人將幾何

10、直觀與數(shù)形結(jié)合中的“以形助數(shù)”區(qū)別開來。當(dāng)然, 這也許是筆者理解不夠造成的。三、幾何直觀與直觀幾何談起幾何直觀，我們又不得不提及大家經(jīng)常聽到的另一個名詞一一直觀幾何。那 么，幾何直觀和直觀幾何，這兩者又是怎么回事呢?我們在初中階段都經(jīng)歷過這樣的幾何學(xué)習(xí)一一從定義、公設(shè)、公理或已證的命題 出發(fā)，通過一系列嚴謹?shù)牟襟E、嚴密的推理，完成對某個命題的證明。這樣的幾何就 是論證幾何，或稱之為證明幾何。論證幾何有利于培養(yǎng)人的邏輯思維能力， 提高人的 理性思維水平，歐幾里得的幾何原本就是一個典范，它為數(shù)學(xué)的發(fā)展和人類的進 步做出了卓越的貢獻。但是，人除了邏輯思維能力之外，還需要形象思維能力。而在 幾何的學(xué)習(xí)

11、中，如果能“從直觀形象這一側(cè)面”（希爾伯特語），通過觀察、想象、操 作等手段去認識圖形、發(fā)現(xiàn)規(guī)律或解決問題，那么，人的形象思維能力就會得到良好7 ”發(fā)展，發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神也會得到有效培養(yǎng)。 這種“通過圖形進行觀察，根據(jù)直觀 認識來研究圖形的性質(zhì)和相關(guān)問題，以這種方法為主要手段的幾何學(xué)叫直觀幾何。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，由于學(xué)生的年齡特點和認知特點，他們學(xué)習(xí)幾何需要更多地從經(jīng)驗入手，通過觀察比較，或通過動手操作,從而獲得對圖形的認識,并發(fā)展空間觀念。9舉些例子來說明:如，在學(xué)習(xí)兩直線相交的相關(guān)知識時,我們引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較，他們就會得出對頂角（學(xué)生叫對角）相等的結(jié)論（圖2）。倘若學(xué)生有疑義,則可讓他

12、們借助工具來測量，那就一定會得出這樣的結(jié)論。再如，在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時，我們也是讓學(xué)生通過觀察，想象到沿著平行四邊形的高剪下一個三角形，拼到另一側(cè)就可轉(zhuǎn) 化為一個長方形（圖3）,然后進行對比，找到兩者之間的聯(lián)系，從而得出面積計算 公式。這種以觀察、操作等為手段得出結(jié)論的幾何學(xué)習(xí)方法， 就是直觀幾何。在小學(xué) 中，無論是幾何圖形的特征、性質(zhì)還是求積的公式，基本上都是通過這樣的直觀方法得到的。（在歐氏幾何中，這都是需要證明的）因此，“小學(xué)幾何課程內(nèi)容的性質(zhì)實8 ”因此，也產(chǎn)生了也正是因為直觀幾何具有諸多的論證幾何所不具備的教育價值, 以“直觀”為理念來設(shè)計幾何課程的嘗試，并收到顯著效果，如俄羅斯的

13、中學(xué)幾何教 材直觀幾何就是典范。從上可見，直觀幾何和幾何直觀是兩個不同的概念， 直觀幾何是一種幾何學(xué)習(xí)的 方法，而幾何直觀則是一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，是一種能力。當(dāng)然，盡管概念涵義不同，但它們之間卻并非毫無關(guān)聯(lián)。比如，經(jīng)歷直觀幾何 的學(xué)習(xí)，必定能為幾何直觀能力的形成打下基礎(chǔ)。 因為學(xué)生通過直觀方式學(xué)習(xí)幾何的 過程，就一定是一個積累幾何活動經(jīng)驗、發(fā)展幾何直覺的過程。而這種不斷增強的幾 何經(jīng)驗、直覺，就會積淀并轉(zhuǎn)化為學(xué)生將來用幾何直觀方法解決問題時可調(diào)用的豐富 資源。四、幾何直觀與空間觀念對幾何直觀的論述，標(biāo)準中還出現(xiàn)在課程總體目標(biāo)中的“數(shù)學(xué)思考”部分一 建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成

14、幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與 抽象思維。這樣的表述，在向我們傳遞著幾何直觀是一種能力的同時，更吸引著我們?nèi)リP(guān)注 句中出現(xiàn)的另一個熟悉的名詞一一空間觀念。 之所以要拿出它們兩者來進行討論， 是“臺匕因為在我們的傳統(tǒng)認識中，空間觀念也是一種能力，而且這種能力的形成過程也是與 幾何圖形緊密相關(guān)的。更重要的是，在實驗稿的課標(biāo)中，“能運用圖形形象地描述問 題，利用直觀來進行思考”，是作為空間觀念的特征來描述的。而在標(biāo)準中，這 句話略作修改竟變成了幾何直觀的定義一一幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析 問題。于是，這不禁讓我們深思：幾何直觀和空間觀念，它們到底存在怎樣的關(guān)聯(lián)呢?先得說空間觀念。所謂空間

15、觀念，可以看成是物體和圖形的形狀、大小、位置、 關(guān)系等在人腦中的表象（周玉仁語）。在標(biāo)準中，是從四個方面來具體描述空間 觀念特征的。發(fā)展空間觀念的有效途徑， 經(jīng)典理論認為， 那就是在幾何學(xué)習(xí)時多用經(jīng) 驗、觀察、操作、想象、交流等手段。以這樣的論述對比幾何直觀的概念， 我們可以有兩點認識： 一，空間觀念， 是幾 何教學(xué)領(lǐng)域中的一個專用名詞， 是幾何教學(xué)的一個重要目標(biāo)。 而幾何直觀， 卻并非是 限于幾何領(lǐng)域內(nèi)的一個名詞， 它盡管是借助了幾何， 但它卻跳出了幾何， 適用到了更 寬廣的領(lǐng)域。 二，相對而言， 空間觀念更多地體現(xiàn)為教學(xué)的結(jié)果， 目標(biāo)性特征比較明 顯，而幾何直觀作為一種思維的方式和能力，

16、過程性特征更加凸顯。 也許正是兩者具 有這些差異， 標(biāo)準就從實驗稿課標(biāo)對空間觀念的描述中剝離出一項， 提升成為另 一個核心的概念幾何直觀。 （當(dāng)然， 將兩者做為兩個能力目標(biāo)區(qū)別看待， 并不是 新生事物， 2003 年頒布的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（實驗稿）早已這樣提出。）同時，我們不難想到，由于共同元素“幾何”的存在，兩者之間想要毫無瓜葛那 也是不現(xiàn)實的。明顯地，要清晰表象、發(fā)展空間觀念，宜借助圖形，采用觀察、想象 等直觀手段， 但這樣的過程中就已經(jīng)隱含了運用幾何直觀方法的元素。 反之，在運用 幾何直觀方法思考問題、 解決問題的時候， 觀察、想象等手段也必定相伴而行， 空間 觀念自然也在潛移默化地

17、得到發(fā)展。 因此，如果將它們兩者做個比喻的話， 是否有“同 飲一江水，風(fēng)情兩相宜”的意境呢？五、題外話盡管筆者以較長的篇幅談了對幾何直觀的粗淺思考， 但事實上， 對于幾何直觀這 個標(biāo)準 中新提的名詞， 筆者和大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)教師一樣， 除了文中談及的幾個話 題之外，還有很多的不明之處、疑惑之處。如，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中承載幾何直觀能力培養(yǎng)的內(nèi)容具體有哪些？我們?nèi)绾谓虒W(xué)， 才可以說是正確地展現(xiàn)了幾何直觀的方法？培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力到底有哪些可 借鑒的策略？再如，對于小學(xué)中的幾何直觀，標(biāo)準只在第二學(xué)段提了一句“感 受幾何直觀的作用” （在第二學(xué)段“學(xué)段目標(biāo)”中的“數(shù)學(xué)思考”部分）。而“感受” 是一個描述

18、過程目標(biāo)的行為動詞， 這是否意味著， 小學(xué)階段的幾何直觀， 只需要感受 即可？這是否就是史寧中教授所言的 “空間觀念主要是對小學(xué)來說的， 幾何直觀是對初中來說的 9 ”含義呢？等等類似的疑問還有不少， 但在我們見到的 標(biāo)準中，對這方面的闡述卻很少，涉及到小學(xué)階段的具體論述和相應(yīng)案例更是沒有出現(xiàn)。 目前我們所看到的一些解讀材料，也更多地是在以中學(xué)的教學(xué)內(nèi)容為例說事。 這對小學(xué)教師的學(xué)習(xí)、 實踐而言， 都造成了一定的障礙。 為此，筆者和老師們一樣， 有一種強烈的愿望：當(dāng)一個新的名詞教學(xué)要求） 提出來的時候， 我們希望盡早見到權(quán)威部門對此作非常詳盡地解讀， 而不是由一線教師自己作茫然地思考或資料的找尋。參考文獻：1徐利治 . 談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗 J. 數(shù)學(xué)通報， 2000（5）2蔣文蔚. 幾何直觀思維在科學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用 J. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1997