傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯(lián)系.

1、傅立葉變換、拉普拉斯變換、 Z 變換的聯(lián)系首先,為什么要進(jìn)行變換 ?因?yàn)楹芏鄷r(shí)候 ,頻率域比時(shí)域直觀得多。傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換 ,表明時(shí)域的信號(hào)可以分解為不同頻率的正弦波的疊加（ Figure 1。而如果我們把兩個(gè)沒有公共頻率成分的信號(hào)相加 , 一同發(fā)送。在接收 端接收到之后 , 用濾波器把兩個(gè)信號(hào)分開,就可以還原出發(fā)送的兩個(gè)信號(hào)。這就是通 信過程的實(shí)質(zhì)。Figure 1時(shí)域的信號(hào)可以分解為不同頻率的正弦波的疊加而在這個(gè)過程中 , 發(fā)送端發(fā)送出去的信號(hào)的最大頻率和最小頻率是否在接收端 的帶通濾波器的上下邊 界頻率之內(nèi) ?如果超出了濾波器的頻率范圍 , 接收端接收到 的信號(hào)就會(huì)丟失一部分信息

2、, 接收端接收到的消息就會(huì)有錯(cuò)誤。但這個(gè)問題從時(shí)域是很難看出來的 ,不過,從頻率域就一目了然。因此傅里葉變換得到了廣泛應(yīng)用 ,它的地位也非常重要。然而, 可以進(jìn)行傅里葉變換的信號(hào)似乎不那么夠用 , 傅里葉變換的收斂有一個(gè)狄 利克雷條件, 要求信號(hào)絕對(duì)可積 /絕對(duì)可和。為了使不滿足這一條件的信號(hào) , 也能讀出它的“頻率” 拉, 普拉斯變換和 Z 變換, 對(duì)“頻率”的含義做出了擴(kuò)充 ,使得大多數(shù)有用信號(hào)都具有了對(duì)應(yīng)的 “頻率”域表 達(dá)式,方便了對(duì)各個(gè)器件的設(shè)計(jì)。接下來一個(gè)問題 ,傅氏變換、拉氏變換、 Z 變換之間到底有什么關(guān)系 ?首先,傅里葉變換粗略分來包括連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 （CTFT 、離散時(shí)

3、間傅里葉變換（DTFT。CTFT是將連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換到頻域,將頻率的含義擴(kuò)充之后，就得到 拉普拉斯變換。 DTFT 是將離散時(shí)間信號(hào)變換到頻域 ,將頻率的含義擴(kuò)充之后 ,就得到Z變換。1、連續(xù)時(shí)間傅里葉變換與拉普拉斯變換的關(guān)系 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 的公式是:，這里的是實(shí)數(shù)。版權(quán)所有嚴(yán):禁用于任何商業(yè)用途傅里葉變換要求時(shí)域信號(hào)絕對(duì)可積，即。為了讓不符合這個(gè)條件的信號(hào)，也能變換到頻率域，我們給x(t乘上一個(gè)指數(shù)函 數(shù)，為任意實(shí)數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn),這個(gè)函數(shù)，就滿足了絕對(duì)可積的條件，即于是這個(gè)新函數(shù)的傅立葉變換就是：,化簡(jiǎn)得。顯然是一個(gè)復(fù)數(shù)，我們把這個(gè)復(fù)數(shù)定義為一個(gè)新的變量復(fù)頻率，記為s。于是便得到了拉普拉

4、斯變換的公式：拉普拉斯變換解決了不滿足絕對(duì)可積條件的連續(xù)信號(hào) ，變換到頻率域的問題，同時(shí)也對(duì)頻率”的定義進(jìn)行了擴(kuò)充。所以拉普拉斯變換與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的關(guān)系是拉普拉斯變換將頻率從實(shí)數(shù)推廣為復(fù)數(shù)，因而傅里葉變換變成了拉普拉斯變換 的一個(gè)特例。當(dāng)s為純虛數(shù)時(shí),x(t的拉普拉斯變換，即為x(t的傅里葉變換。從圖像的角度來說，拉普拉斯變換得到的頻譜是一個(gè)復(fù)平面上的函數(shù)(Figure 2,而傅里葉變換得到 的頻譜，則是從虛軸上切一刀，得到的函數(shù)的剖面(Figure 3、Figure 4。10.5 節(jié)Figure 2拉普拉斯變換得到的頻譜Figure 3 傅里葉變換得到的頻譜 （紅線版權(quán)所有嚴(yán)禁用于任何

5、商業(yè)用途Figure 4 傅里葉變換得到的頻譜 （紅線2、離散時(shí)間傅里葉變換 （DTFT 與 Z 變換的關(guān)系 DTFT 的公式是,這里的 是連續(xù)變化的實(shí)數(shù)。同樣的, DTFT 需要滿足絕對(duì)可和的條件 ,即為了讓不滿足絕對(duì)可和條件的函數(shù) xn, 也能變換到頻率域 ,我們乘一個(gè)指數(shù)函 數(shù) , 為任意實(shí)數(shù)。 則函數(shù)的 DTFT 為 :化簡(jiǎn)得:顯然,是一個(gè)極坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù) ,我們把這個(gè)復(fù)數(shù)定義為離散信號(hào)的復(fù)頻率 ,記為 z 。則得到Z變換的公式：Z變換解決了不滿足絕對(duì)可和條件的離散信號(hào)，變換到頻率域的問題，同時(shí)也同 樣對(duì)頻率”的定義進(jìn)行了擴(kuò)充。所以Z變換與離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT的關(guān)系是:Z變換將頻率從實(shí)數(shù)推廣為復(fù)數(shù)，因而DTFT變成了 Z變換的一個(gè)特例。當(dāng)z的模為1時(shí),xn的Z變換即為xn的DTFT 。版權(quán)所有嚴(yán):禁用于任何商業(yè)用途從圖像的角度來說,Z變換得到的頻譜,是一個(gè)復(fù)平面上的函數(shù)，而DTFT得到的 頻譜，則是沿著單位圓切一刀，得到的函數(shù)的剖面