習(xí)題與復(fù)習(xí)題詳解線性空間高等代數(shù)

1、習(xí)題 5. 11 判斷全體n 階實(shí)對(duì)稱矩陣按矩陣的加法與數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間答 是因?yàn)槭峭ǔＲ饬x的矩陣加法與數(shù)乘, 所以只需檢驗(yàn)集合對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算的封閉性 .由 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)知，n 階實(shí)對(duì)稱矩陣加n 階實(shí)對(duì)稱矩陣仍然是n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，數(shù)乘n 階實(shí)對(duì)稱矩陣仍然是n 階實(shí)對(duì)稱矩陣, 所以集合對(duì)矩陣加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉, 構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.2全體正實(shí)數(shù)R+, 其加法與數(shù)乘定義為a b abkoa ak其中 a, b R ,k R判斷R+按上面定義的加法與數(shù)乘是否成實(shí)數(shù)域上的線性空間答 是 . 設(shè) , R.因?yàn)?a, b R a b ab R ,R,a R oa a R ,

2、所以 R 對(duì)定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉.下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律(1) a b ab ba b a ;(2) (a b) c (ab) c (ab)c abc a(bc) a (b c) ;(3) R 中存在零元素1, a R , 有 a 1 a 1 a ;(4) 對(duì) R 中任一元素a ，存在負(fù)元素a 1 Rn , 使 a a 1 aa 1 1 ;1(5) 1oa a a ;(6)o oa oa a aoa ;oa a a a a a oa oa；所以R+對(duì)定義的加法與數(shù)乘構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.3 .全體實(shí)n階矩陣，其加法定義為按上述加法與通常矩陣的數(shù)乘是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間 答否.A

3、 B與B A一定相等.全體實(shí)n階矩陣按定也就是說集合對(duì)加法不故定義的加法不滿足加法的交換律即運(yùn)算規(guī)則（1 ）義的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間4 .在P22中，W A/ A 0,A P2 2 ,判斷W是否是P2 2的子空間.答否.1211 23例如 和的行列式都為零，但的行列式不為零，1 23 34 5封閉.習(xí)題1 .討論P(yáng)2 2中的線性相關(guān)性.ax1 x2 x3 x4 0a 1 1 1即x1ax2 x3 x4 0 .由系數(shù)行列式1 a 1 1(ax1 x2 ax3 " 01 1 a 1x1 x2 x3 ax4 0111a解 設(shè) x1A x2A2 X3A3 x4A4 O ,33)

4、(a 1)知，a 3且a 1時(shí)，方程組只有零解，這組向量線性無關(guān);2 .在R4中，求向量在基1, 2, 3, 4下的坐標(biāo).其中X4 41 000M11234M1210M01111M00301M01101M1初等行變換0100010M00M10001M0故向量在基 12, 3, 4下的坐標(biāo)為 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).解設(shè)x1 1x2 2x3 3x4 4x1 0x2 x3 x42則有x1x2 x3 0x4x1 x2 0x3 0x4 4x1 0x2 0x3 0x471011M2110M310 0M4初等行變換1000M71000M70100M110010M210001M307 1 11

5、 2 21 3 30 4 . 故向量在基 1, 2 , 3, 4下的坐標(biāo)為 （ -711， -21 ， 30)4已知R3 的兩組基1111= 1 ，2= 0 ，3= 01-111231= 2 ，2= 3 ，3= 4143（1）求由基（I）到基（n）的過渡矩陣;12） 已知向量在基 1, 2 , 3下的坐標(biāo)為0 ,求 在基 1, 2, 3下的坐標(biāo)；-113） 已知向量在基 1, 2, 3下的坐標(biāo)為-1 ,求 在基 1, 2, 3下的坐標(biāo);24） 求在兩組基下坐標(biāo)互為相反數(shù)的向量解（1）設(shè)C是由基（I）到基（n）的過渡矩陣 ,由1, 2, 31, 2, 31即2123434311110110 C,

6、1知基到基（n）的過渡矩陣為（2）首先計(jì)算得C1201232132于是在基1, 2,下的坐標(biāo)為C32012（3）在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為C設(shè)在基3下的坐標(biāo)為y1y2y3,據(jù)題意有y1y2y3y1y2y3V10解此方程組可得y2 =k 4 , k為任意常數(shù).生 34k123k 3 k 07,k為任意常數(shù).5.已知P X 4的兩組基f1（x）231 X X X , f2（X）2X , f3（X） 1 X,f4（x）（n）：g1（x）23X X X , g2（X） 1X3, g3（X）1 XX3, g4（X）1(1)求由基(i)到基(n)的過渡矩陣;(2)求在兩組基下有相同坐標(biāo)的多項(xiàng)式 f (x

7、).解(1 ) 設(shè)C是由基(I)到基(n)的過渡矩陣，由 g1,g2,g3,g4f1,f2,f3,f4 c有(1,x,x2,x3)01111011110111101231(1,x, x , x )110110110010 C .0010 c01101111110123(2)設(shè)多項(xiàng)式f (x)在基下的坐標(biāo)為T (x1,x2,x3,x4).x1據(jù)題意有C x2x3xx1x2x3x4(CE)xx2x3x*)0001111111010122所以方程組(*)只有零解，則f(x)在基(下的坐標(biāo)為(0,0,0,0) T，所以f(x)習(xí)題證明線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rx3同構(gòu).證明 設(shè)線性方程組為

8、 AX= 0,對(duì)系數(shù)矩陣施以初等行變換.Q R(A) 2線性方程組的解空間的維數(shù)是 5- R(A) 3 .實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式空間Rx3的維數(shù)也是3,所以此線性方程組的解空間與實(shí)系數(shù) 多項(xiàng)式空間Rx3同構(gòu).習(xí)題1 .求向量 1, 1,2,3的長度.解. 12 ( 1)2 22 32,15 .2 .求向量 1, 1,0,1與向量 2,0,1,3之間的距離.解 d( , ) |(1 2)2 ( 1 0)2 (0 1)2 (1 3)27.3 .求下列向量之間的夾角(1) 1,043,1,21 1(2) 1,2,2,3 ,3,151解(1) Q(3) 1,1,1,2 ,3,1, 1,01 ( 1) 0 2 4

9、 1 3 ( 1) 0, a,1 3 2 1 2 5 3 1 18,18arccos6 18(3) Q1 3 1 1 1 ( 1) 2 0 3,| |1-1_1_47 ,| |四一11一0 .11 ,arccos77.3.設(shè)，為n維歐氏空間中的向量，證明：d( , ) d( , ) d(,).證明 因?yàn)镮 I|2 (,)所以 I (| I|)2,從而 d( , ) d( , ) d(,).習(xí)題1.在R4中，求一個(gè)單位向量使它與向量組11,1, 1, 1 ,21, 1, 1,1 ,31, 1,1, 1 正交.解設(shè)向量(Xi ,X2, X3,X4)與向量 1, 2,3正交，則有即X1X1X2X2X

10、2X3X3X3X4X4X*)齊次線性方程組(*)的一個(gè)解為X2x4 1.(1,1,1,1),將向量單位化所得向量=(-，-2 21 1 一,)即為所求.2 22.將R3的一組基化為標(biāo)準(zhǔn)正交基.(1 )正交化，取(2 )將1 , 2,3單位化(1,( 1,2)1)1112 111111111323131*, 2, 3為R的一組基標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.求齊次線性方程組的解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.所以只需求出一分析 因齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基,個(gè)基礎(chǔ)解系再將其標(biāo)準(zhǔn)正交化即可解對(duì)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行最簡階梯形矩陣可得齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系1110 ,001

11、01 ,0010041由施密特正交化方法，取1/21/31/21/3111/3n1110,221200將1, 2, 3單位化得單位正交向量組因?yàn)辇R次線性方程組的解向量的線性組合仍然是齊次線性方程組的解，所以1*, ；, ；是解空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.設(shè)1, 2, n是n維實(shí)列向量空間Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基, A是n階正交矩陣,證明：A 1, A 2，, A n也是Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證明 因?yàn)?, 2, , 0是門維實(shí)列向量空間Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,所以T 0 i j(i, j) i j d . (i,j 1,2,L ,n).1 i j又因?yàn)锳是n階正交矩陣,所以ATA E .則故A

12、1,A 2, ,A n也是Rn中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.5.設(shè)1, 2, 3是3維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明也是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.證明由題知所以1 , 2, 3是單位正交向量組,構(gòu)成V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.習(xí)題五(A)一、填空題1 .當(dāng) k 滿足 時(shí)，11,2,1 , 22,3,k , 13,k,3 為R3的一組基.解三個(gè)三維向量為R3的一組基的充要條件是| 1, 2, 3 0,即k 2M k 6.2 .由向量 1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為.解 向量 1,2,3所生成的子空間的維數(shù)為向量組 的秩，故答案為1.3 .R3中的向量3,7,1在基11,3,5, 26,3,2 , 33,1,0下的坐

13、標(biāo)為 .解根據(jù)定義，求解方程組就可得答案.設(shè)所求坐標(biāo)為（X1,X2,X3）,據(jù)題意有X 1X22X33 .為了便于計(jì)算，取下列增廣矩陣進(jìn)行運(yùn)算M 154M 82 ,M 33361M3100133M7初等行變換010025M1001所以(X1,X2,X3)= (33,-82,154).1,0,1 , 32, 5, 1的過渡矩陣為4 .R3中的基 1, 2, 3到基 12,1,3 , 221解因?yàn)?1, 2, 3)( 1, 2, 3)103122125 ,所以過渡矩陣為10513115 .正交矩陣A的行列式為 解AT A |E|A2 1 A 1 .6 .已知5元線性方程組 AX= 0的系數(shù)矩陣的秩

14、為3,則該方程組的解空間的維數(shù)為 .解 5元線性方程組AX = 0的解集合的極大無關(guān)組（基礎(chǔ)解系）含 5-3 =2個(gè)向量，故解空間的維數(shù)為2.7 .已知 12,1,1,1, 22,1,a,a , 33,2,1,a, 44,3,2,1 不是 R4 的基且 a 1,則a 滿 足 解 四個(gè)四維向量不是R4的一組基的充要條件是| 1, 2, 3, 4 0,則a 3或1.故答案為a 2二、單項(xiàng)選擇題1.下列向量集合按向量的加法與數(shù)乘不構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間的是().(A)Vi，,0,0,xn x1,x,(B)X1 x2xn 0,為(0V3x1,x2,xnx1 x2xn 1, xi(D)V4X1,0,L

15、,0,0 X1R解（C ）選項(xiàng)的集合對(duì)向量的加法不封閉故選（C）.2.在P33中，由A生成的子空間的維數(shù)為（3(A)(B)(C)(D) 41向量組A生成的子空間的維數(shù)是向量組A的秩，故選（A）.選項(xiàng)中（,23 3,3 31)=( 1, 2,又因,3線性無關(guān)且可逆，所以12 2,23 3,3 31線性無關(guān).故選（B）.2)(23)0,所以（C）選項(xiàng)中向量組線性相關(guān)，故選（C）.5. n元齊次線性方程組AX= 0的系數(shù)矩陣的秩為r,該方程組的解空間的維數(shù)為s,貝M ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r選 ( B)6. 已知 A, B 為同階正交矩陣,

16、則下列 () 是正交矩陣.(A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA ( k 為數(shù))解 A, B 為同階正交矩陣AB(AB)T ABBT AT AAT E 故選(C) .7. 線性空間中，兩組基之間的過渡矩陣() .是正交矩(A) 一定不可逆(B) 一定可逆(C) 不一定可逆(D)陣選 ( B)(B)1已知R4 的兩組基(I ) 1， 2，3，4(U) 1 12 34， 2 23 4， 334， 44(1 )求由基(n)到(i)的過渡矩陣；( 2 ) 求在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量.解(i)設(shè)C是由基(I)到基(n)的過渡矩陣，已知1000()()1100( 1 , 2, 3,

17、4) ( 1 , 2, 3, 4),1234123411101111所以由基(n)到基(I)的過渡矩陣為100011100C.01100011（2）設(shè)在兩組基下有相同坐標(biāo)的向量為，又設(shè) 在基（I）和基（n）下的坐標(biāo)均為（Xi,X2,X3,X4）,由坐標(biāo)變換公式可得XiXiX2X2CX3X3X4X4Xi即(E C) X20X3X4(*)齊次線性方程（*）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(0,0,0,1),通解為 X (0,0,0, k) (k R).故在基（i）和基（n）下有相同坐標(biāo)的全體向量為010 2 0 3 k 4 k 4 (k R).解(1 ) 由題有0,所以1，2，3線性無關(guān)001100111222故

18、1，2，3是3個(gè)線性無關(guān)向量，構(gòu)成 R3的基.(2 ) 因?yàn)? 10所以從基1, 2, 3到基1, 2, 3的過渡矩陣為-1 -1 20 1011， 2， 3.1, 2, 3)-1 -1 22-52所以向量在基1, 2, 3下的坐標(biāo)為5 .1解（1）因?yàn)橛苫?, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的過渡矢I陣為C =2 10 0110 00 0 3 50 0 12所以(1,2， 3,1， 2， 3， 4)C12 0 02 10 00 0 120 0 2 11-100-12000 02-50 00010 0 37所以13000037(2 ) Q111232 4( 1, 2 , 3, 4)/12111( 1, 2 , 3, 4)C1201(1, 2 , 3,