自動(dòng)控制基礎(chǔ)_第三章

1、第三章第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法（一）一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能（一）一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能 （二）二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能（二）二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能 （三）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)）（三）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)）（四）線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析（四）線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 主要問題：主要問題：一、時(shí)域分析法概述一、時(shí)域分析法概述 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，便可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。分析和設(shè)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，便可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。分析和設(shè)計(jì)是自動(dòng)控制原理課程的兩大任務(wù)。計(jì)是自動(dòng)控制原理課程的兩大任務(wù)。 （a a）系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型

2、確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)。）系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)。 （b b）設(shè)計(jì)是根據(jù)需要在系統(tǒng)中加入一些機(jī)構(gòu)和裝置并確定相應(yīng)的）設(shè)計(jì)是根據(jù)需要在系統(tǒng)中加入一些機(jī)構(gòu)和裝置并確定相應(yīng)的參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其滿足所要求的性能指標(biāo)。參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其滿足所要求的性能指標(biāo)。 系統(tǒng)分析的目的在于系統(tǒng)分析的目的在于“認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)”系統(tǒng)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的在于系統(tǒng)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目的在于“改造改造”系統(tǒng)。系統(tǒng)。 系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)方法一般有時(shí)域法、根軌跡法和頻域法。系統(tǒng)的分析設(shè)計(jì)方法一般有時(shí)域法、根軌跡法和頻域法。 （1 1）時(shí)域法常用的典型輸入信號(hào)）時(shí)域法常用的典型輸入信號(hào) 主要包括單位脈沖函數(shù)，單位

3、階躍函數(shù)，單位速度（斜坡）函數(shù)，主要包括單位脈沖函數(shù)，單位階躍函數(shù)，單位速度（斜坡）函數(shù)，單位加速度函數(shù)。單位加速度函數(shù)。（2 2）時(shí)域性能指標(biāo)：）時(shí)域性能指標(biāo)：穩(wěn)、準(zhǔn)、快穩(wěn)、準(zhǔn)、快延遲時(shí)間延遲時(shí)間 ：階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值階躍響應(yīng)第一次達(dá)到終值 的的5050所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。上升時(shí)間上升時(shí)間 ：階躍響應(yīng)從終值的階躍響應(yīng)從終值的1010上升到終值的上升到終值的9090所需的時(shí)間；所需的時(shí)間；對(duì)有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從對(duì)有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從0 0到第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間。到第一次達(dá)到終值所需的時(shí)間。峰值時(shí)間峰值時(shí)間 ：階躍響應(yīng)越過終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。階躍響應(yīng)越過終值達(dá)到

4、第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間 ：階躍響應(yīng)到達(dá)并保持在終值階躍響應(yīng)到達(dá)并保持在終值 誤差帶內(nèi)所需誤差帶內(nèi)所需的最短時(shí)間。有時(shí)也用終值的的最短時(shí)間。有時(shí)也用終值的2 2誤差帶來定義調(diào)節(jié)時(shí)間。誤差帶來定義調(diào)節(jié)時(shí)間。超調(diào)量超調(diào)量: : 峰值超出終值的百分比，即峰值超出終值的百分比，即 在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間（描述在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，工程上最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間（描述快快”），超調(diào)量（描述），超調(diào)量（描述“勻勻”）以及峰值時(shí)間）以及峰值時(shí)間 )(h%5)(hptrt%100)()()(%hhthpstdt二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能 （

5、1 1）一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及單位階躍響應(yīng) 11)(TsKsKs其中其中 T=1/K T=1/K 稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為: :TsssTssRssC111111)()()(TtesCLtc1)()(1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如右圖所示，響應(yīng)是單調(diào)的指數(shù)上升曲線。依調(diào)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如右圖所示，響應(yīng)是單調(diào)的指數(shù)上升曲線。依調(diào)節(jié)時(shí)間的定義有：節(jié)時(shí)間的定義有：95. 01)(TtssethTts3 時(shí)間常數(shù)是一階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)。時(shí)間常數(shù)越小，系統(tǒng)極點(diǎn)越時(shí)間常數(shù)是一階系

6、統(tǒng)的重要特征參數(shù)。時(shí)間常數(shù)越小，系統(tǒng)極點(diǎn)越遠(yuǎn)離虛軸，過渡過程越快。遠(yuǎn)離虛軸，過渡過程越快。 （2 2）一階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算）一階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算 r(t) R(s) C(s)= (s) R(s) c(t) 一階系統(tǒng)典型響應(yīng)一階系統(tǒng)典型響應(yīng)d(t) 11(t) t（3 3）一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)）一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)例：例：原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為原系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 現(xiàn)采用如圖現(xiàn)采用如圖3-5所示的負(fù)反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來所示的負(fù)反饋方式，欲將反饋系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來的的0.1倍倍,并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù)并且保證原放大倍數(shù)不變，試確定參數(shù) 和和 的取值。的取值。 12

7、 . 010)(ssG0KHK 其中，其中， ， 和和 分別稱為系統(tǒng)的阻分別稱為系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率，是二階系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。尼比和無阻尼自然頻率，是二階系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。 三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能 （1 1）二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類）二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類 KssTKs21)(標(biāo)準(zhǔn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式： 型）（首12)(222nnnsss型）（尾1121)(22sTsTsKTT111TKTn1121KTn、二階系統(tǒng)的分類：二階系統(tǒng)的分類： 注意：注意： 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)與閉環(huán)極點(diǎn)分布關(guān)系二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)、單

8、位階躍響應(yīng)與閉環(huán)極點(diǎn)分布關(guān)系 數(shù)學(xué)上，線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成。通解數(shù)學(xué)上，線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成。通解由微分方程的特征根決定，代表自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。如果微分方程的特征根是由微分方程的特征根決定，代表自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。如果微分方程的特征根是 , ,且無重根，則把函數(shù)且無重根，則把函數(shù) ，稱為該微分方程所描，稱為該微分方程所描述運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，也叫振型。述運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，也叫振型。 如果特征根中有多重根，則模態(tài)是具有如果特征根中有多重根，則模態(tài)是具有 ，形式，形式的函數(shù)。的函數(shù)。 如果特征根中有共軛復(fù)根如果特征根中有共軛復(fù)根 ，則其共軛復(fù)模態(tài)，則其共軛復(fù)模態(tài) 與與

9、可寫成實(shí)函數(shù)模態(tài)可寫成實(shí)函數(shù)模態(tài) 與與 。 每一種模態(tài)可以看成是線性系統(tǒng)自由響應(yīng)最基本的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，線性系統(tǒng)每一種模態(tài)可以看成是線性系統(tǒng)自由響應(yīng)最基本的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，線性系統(tǒng)自由響應(yīng)則是其相應(yīng)模態(tài)的線性組合。自由響應(yīng)則是其相應(yīng)模態(tài)的線性組合。n, 21,， tttneee,21tnttetette,2jte)j(te)j(tetsintetcos2 - 1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2 = jn01101j0j0j0j0-j1-2 nS1,2=nh(t)= 1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 1-cosntj0j0j0j0T11

10、T2111010sin(dt+)e- t h(t)=1-211n過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(2)(2)二階過阻尼系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能二階過阻尼系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能 （臨界阻尼，過阻尼）時(shí)（臨界阻尼，過阻尼）時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算1(3)(3)二階欠阻尼系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能二階欠阻尼系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能二階欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示方法二階欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示方法 ：(a) (a) 直角坐標(biāo)表示：直角坐標(biāo)表示： nndjj22, 11(b) (b) 極坐標(biāo)表示：極坐標(biāo)表示： n21sinc

11、os二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： ssssRssCnnn12)()()(22222222222)1 ()(11)1 ()(1nnnnnnssss對(duì)上式做拉氏反變換：對(duì)上式做拉氏反變換： tetetcntntnn2221sin11cos1)(22211sin11arctgtentn二階欠阻尼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算二階欠阻尼系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算: : （a a）峰值時(shí)間）峰值時(shí)間 pt01sin0)(2ttcn令即有即有 ,3,2, 012tn根據(jù)峰值時(shí)間定義可得根據(jù)峰值時(shí)間定義可得 npt21（b b）超調(diào)量）超調(diào)量 00211)(ethp%100%100)()()

12、(%21ehhthp將峰值時(shí)間代入將峰值時(shí)間代入c(tc(t) )，整理后可得，整理后可得（c c）調(diào)節(jié)時(shí)間）調(diào)節(jié)時(shí)間 st按階躍響應(yīng)的包絡(luò)線進(jìn)入按階躍響應(yīng)的包絡(luò)線進(jìn)入5 5誤差帶的時(shí)間計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。令誤差帶的時(shí)間計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。令 05. 0111122ttnnee可得：可得： )8 . 03 . 0(5 . 3)1ln(2105. 0ln2nnst 可見，典型欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)量只取決于阻尼比，而調(diào)節(jié)時(shí)間則與可見，典型欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)量只取決于阻尼比，而調(diào)節(jié)時(shí)間則與阻尼比和自然頻率均有關(guān)。阻尼比和自然頻率均有關(guān)。 典型欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及極點(diǎn)分布之間的關(guān)系典型欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)

13、態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及極點(diǎn)分布之間的關(guān)系 當(dāng)當(dāng) 固定，固定， 增加（增加（ 減?。r(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按下圖中圓減?。r(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按下圖中圓弧軌跡（弧軌跡（I I）移動(dòng)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量）移動(dòng)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量 減?。煌瑫r(shí)由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，減??；同時(shí)由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸， 增加，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。增加，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。 當(dāng)當(dāng) 固定，固定， 增加時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按下圖中的射線軌跡（增加時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按下圖中的射線軌跡（IIII）移動(dòng)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量移動(dòng)，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量 不變；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，不變；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸， 增加，調(diào)節(jié)時(shí)增加，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。間減小。 一般實(shí)際系統(tǒng)中，時(shí)間常數(shù)一般實(shí)際系統(tǒng)中，時(shí)間

14、常數(shù)T T是系統(tǒng)的固定參數(shù)，不能隨意改變，而開環(huán)是系統(tǒng)的固定參數(shù)，不能隨意改變，而開環(huán)增益增益K K是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)，可以調(diào)節(jié)。是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)，可以調(diào)節(jié)。K K增大時(shí)，增大時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面下圖中的垂直線（系統(tǒng)極點(diǎn)在平面下圖中的垂直線（IIIIII）移動(dòng)，）移動(dòng)，阻尼變小，超調(diào)量會(huì)增加。阻尼變小，超調(diào)量會(huì)增加。 n%nn%n例：二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)分別如下圖例：二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)分別如下圖(a), (b)(a), (b)所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)所示。試確定系統(tǒng)參數(shù) 的值。的值。 aKK,21例：控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求解：（例：控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，求解：（

15、1 1）開環(huán)增益）開環(huán)增益K=10K=10時(shí)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性時(shí)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)；（能指標(biāo)；（2 2）確定使系統(tǒng)阻尼比為）確定使系統(tǒng)阻尼比為0.7070.707的的K K值。值。改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的措施改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的措施 : : 實(shí)際應(yīng)用中常采用測(cè)速反饋和比例微分控制方式改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。實(shí)際應(yīng)用中常采用測(cè)速反饋和比例微分控制方式改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 例：例： 在如下圖所示系統(tǒng)中分別采用測(cè)速反饋和比例在如下圖所示系統(tǒng)中分別采用測(cè)速反饋和比例+ +微分控制，其中微分控制，其中 。分別寫出它們各自的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算出動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，并進(jìn)分別寫出它們各自的開環(huán)傳

16、遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算出動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，并進(jìn)行對(duì)比分析。行對(duì)比分析。216. 0tK) 1(10)(sssGa) 1() 1(10)(sssKsGtb) 1() 1(10)(sssKsGtc1010)(2sssa10)101 (10)(2sKsstb10)101 () 1(10)(2sKssKsttcnpt00st系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖圖(a)(a)圖圖(b)(b)圖圖(c)(c)開環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)閉環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)系系統(tǒng)統(tǒng)參參數(shù)數(shù)0.1580.1580.50.50.50.53.163.163.163.163.163.16開開環(huán)環(huán)零點(diǎn)零點(diǎn)-4.63-4.63-4.63-4.63極

17、點(diǎn)極點(diǎn)0 0，1 10 0，1 10 0，1 1閉閉環(huán)環(huán)零點(diǎn)零點(diǎn)-4.63-4.63極點(diǎn)極點(diǎn)-0.5-0.5j3.12j3.12-1.58-1.58j2.74j2.74-1.58-1.58j2.74j2.74動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)性性能能1.011.011.151.151.051.05606016.316.323237 72.22.22.12.1 圖圖(b)(b)系統(tǒng)引入速度反饋，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的振蕩性得到系統(tǒng)引入速度反饋，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的振蕩性得到抑制，超調(diào)量減??；圖抑制，超調(diào)量減小；圖(c)(c)系統(tǒng)采用了比例加微分控制，微分信號(hào)有超前性，相當(dāng)系統(tǒng)采用了比例加微分控制，微

18、分信號(hào)有超前性，相當(dāng)于系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調(diào)。相對(duì)于原系統(tǒng)而言，兩種方法均可以于系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調(diào)。相對(duì)于原系統(tǒng)而言，兩種方法均可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 比較圖比較圖(a)(a)和和(b)(b)兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，后者比前者多一個(gè)開環(huán)兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，后者比前者多一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，因而影響了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，改變了閉環(huán)極點(diǎn)的位置（改變模態(tài)）。零點(diǎn)，因而影響了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，改變了閉環(huán)極點(diǎn)的位置（改變模態(tài)）。 比較圖比較圖(b)(b)，(c)(c)兩系統(tǒng)有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，只是閉環(huán)傳遞函數(shù)中后者兩系統(tǒng)有相同的開環(huán)傳

19、遞函數(shù)，只是閉環(huán)傳遞函數(shù)中后者較前者多一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)。附加閉環(huán)零點(diǎn)不會(huì)影響閉環(huán)極點(diǎn)，因而不會(huì)影響單位階躍較前者多一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)。附加閉環(huán)零點(diǎn)不會(huì)影響閉環(huán)極點(diǎn)，因而不會(huì)影響單位階躍響應(yīng)中的各模態(tài)。但它會(huì)改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)，由此影響系統(tǒng)的響應(yīng)中的各模態(tài)。但它會(huì)改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)，由此影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。動(dòng)態(tài)性能。 四、高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及性能估算四、高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)及性能估算 （1 1）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)）高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般可以表示為高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)一般可以表示為 ：mnszsKasasasabsbsbsbsDsMsnjjmiinnnnmmm

20、m1101110111)()()()()(nmabK 其中：其中： 。 由于由于 均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故閉環(huán)均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)只能是實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)，系統(tǒng)單位階零點(diǎn)、極點(diǎn)只能是實(shí)根或共軛復(fù)數(shù)。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)均為單極點(diǎn)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換可表示為：躍響應(yīng)的拉氏變換可表示為：)(),(sDsMnjjsnjjmiissDssMsDMsszsKsssCj1111)()(1)0()0()()(1)()(對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得 njtskjesDssMDMtc1)()()0()0()(idiiiiiiisijidititsssDsMA

21、teAesDssMDM)()(2sin)()()0()0(其中 可見，除常數(shù)項(xiàng)外，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)模態(tài)的組合，組可見，除常數(shù)項(xiàng)外，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)模態(tài)的組合，組合系數(shù)即部分分式系數(shù)。模態(tài)由閉環(huán)極點(diǎn)確定，而部分分式系數(shù)與閉環(huán)零點(diǎn)、合系數(shù)即部分分式系數(shù)。模態(tài)由閉環(huán)極點(diǎn)確定，而部分分式系數(shù)與閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布有關(guān)，所以，閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能均有影響。當(dāng)所有閉極點(diǎn)分布有關(guān)，所以，閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能均有影響。當(dāng)所有閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s s平面時(shí)，隨時(shí)間的增加平面時(shí)，隨時(shí)間的增加所有模態(tài)均

22、趨于零（對(duì)應(yīng)瞬態(tài)分量），系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)最終穩(wěn)定在。很所有模態(tài)均趨于零（對(duì)應(yīng)瞬態(tài)分量），系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)最終穩(wěn)定在。很明顯，閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)模態(tài)趨于零的速度越快。在系統(tǒng)明顯，閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，相應(yīng)模態(tài)趨于零的速度越快。在系統(tǒng)存在重根的情況下，以上結(jié)論仍然成立。存在重根的情況下，以上結(jié)論仍然成立。 （2 2）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 對(duì)穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模態(tài)只影響階躍響應(yīng)的起始段，對(duì)穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模態(tài)只影響階躍響應(yīng)的起始段，而距虛軸近的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模態(tài)衰減緩慢，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要取決于這些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的而距虛軸近的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模態(tài)衰減

23、緩慢，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要取決于這些極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量。此外，各瞬態(tài)分量的具體值還與其系數(shù)大小有關(guān)。根據(jù)部分分式理論，響應(yīng)分量。此外，各瞬態(tài)分量的具體值還與其系數(shù)大小有關(guān)。根據(jù)部分分式理論，各瞬態(tài)分量的系數(shù)與零、極點(diǎn)的分布有如下關(guān)系：各瞬態(tài)分量的系數(shù)與零、極點(diǎn)的分布有如下關(guān)系： 若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)很?。蝗裟硺O點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)很小； 若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而又遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也很若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而又遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也很小；小； 若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其他極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)就比較大。系若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其他極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)

24、就比較大。系數(shù)大而且衰減慢的分量在瞬態(tài)響應(yīng)中起主要作用。因此，距離虛軸最近而且附近又?jǐn)?shù)大而且衰減慢的分量在瞬態(tài)響應(yīng)中起主要作用。因此，距離虛軸最近而且附近又沒有零點(diǎn)的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能起主導(dǎo)作用，稱相應(yīng)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)。沒有零點(diǎn)的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能起主導(dǎo)作用，稱相應(yīng)極點(diǎn)為主導(dǎo)極點(diǎn)。 （1 1）穩(wěn)定性的概念）穩(wěn)定性的概念 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。定義：如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾

25、動(dòng)消失后，定義：如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后， 系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定 的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若 , ,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （2 2）穩(wěn)定的充要條件）穩(wěn)定的充要條件 0)(limtct)()( )()()( )()()()(2121nnmmsssazszszsbsDsMs niiinnsAsAsAsAssC12211)()( nititnttinieAe

26、AeAeAtc1212)(系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根均具有負(fù)的實(shí)部，或所有閉系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根均具有負(fù)的實(shí)部，或所有閉 環(huán)特征根均位于左半環(huán)特征根均位于左半s s平面。平面。ni, 2, 1 0lim)(lim1nitittieAtc0 i 0)(0111asasasasMnnnn閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：（1 1）必要條件：）必要條件：), 1 , 0(0niai（2 2）勞斯（）勞斯（RouthRouth）判據(jù)：）判據(jù)：勞斯表勞斯表 滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定，滿足必要條件的高階系統(tǒng)未必滿足必要條件的一、二階系統(tǒng)一定穩(wěn)定，滿足必要條件的高階

27、系統(tǒng)未必穩(wěn)定，因此高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要用勞斯判據(jù)來判斷。穩(wěn)定，因此高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性還需要用勞斯判據(jù)來判斷。0321sssssnnnnna2na4na1na3na5na13211nnnnnaaaaab15412nnnnnaaaaab3b121311bbaabcnn131512bbaabcnn3c0a判據(jù)：勞斯表第一列元素均大于零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列判據(jù)：勞斯表第一列元素均大于零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列 元素符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)元素符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)例：四階系統(tǒng)特征方程：例：四階系統(tǒng)特征方程：D(sD(s)=s)=s4 4+5

28、s+5s3 3+7s+7s2 2+2s+10=0+2s+10=0，判斷穩(wěn)定性。，判斷穩(wěn)定性。 解解: : 建立勞斯表建立勞斯表s4s3s2 s1 s0 1 7 10 5 2533101033184 1010 勞斯表第一列元素變號(hào)勞斯表第一列元素變號(hào) 2 2次，有次，有2 2個(gè)正根，個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示， (1)(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)(K,(K,) ) 的范圍的范圍; ; (2) (2)當(dāng)當(dāng)=2=2時(shí)，確定使全部極點(diǎn)均位于時(shí)，確定使全部極點(diǎn)均位于s=-1s=-1 之左的之左的K K值范圍。值范圍。解：解：)10020

29、()(2 sssKsGa 100aKK 010010020)(23 KssssD 0123ssss1001K10020 0201002000 K K1000 K0 20 K當(dāng)當(dāng) 22 時(shí)，進(jìn)行平移變換時(shí)，進(jìn)行平移變換：1 ss0100100220)(23 KssssD1 ss0)61100(233723 Ksss0100)1(100)1(40)1()(23 KssssD0123ssss2316110037 K037100912K 61100 K61. 0 K12. 9 K五、線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析五、線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)對(duì)穩(wěn)定的系

30、統(tǒng)研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；定為前提。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)；而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。而把有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為有差系統(tǒng)。 （1 1）誤差與穩(wěn)態(tài)誤差）誤差與穩(wěn)態(tài)誤差按輸入端定義的誤差，按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差。即把偏差定義為誤差。 )()()()(sCsHsRsE按輸出端定義的誤差按輸出端定義的誤差: : )()()()(sCsHsRsE計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的一般方法 （1 1）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性）判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 （2

31、2）求誤差傳遞函數(shù)）求誤差傳遞函數(shù) （3 3）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差）用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差 )()()(,)()()(sNsEssRsEsene )()()()(lim0sNssRsseenesss 例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知 r(t)=n(t)=tr(t)=n(t)=t，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。KTssTssTssKsRsEse )1()1()1(11)()()(0)(2 KsTssDKsKTssTssssRssesesssr11)1()1(lim)()(lim200 KTsssTTssKTssKsTKsNsEsnnnnen )1()1()1()1(

32、11)()()( KKsKTsssTTssKssNssennnsensssn 2001)1()1()1(lim)()(limKKeeenssnssrss 1例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求 r(t)r(t)分別為分別為A A1(t), At, At1(t), At, At2 2/2/2時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解解KTssTsssRsEse )1()1()()()()(1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAtr )(KAsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssT

33、sssesss 綜上可知，影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素主要包括：系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，綜上可知，影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素主要包括：系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)， 外作用外作用的類型（控制量，擾動(dòng)量及作用點(diǎn)），外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）的類型（控制量，擾動(dòng)量及作用點(diǎn)），外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）)1()1()1()1()(110 sTsTsssGvnm 1)(lim00 sGs)()1()1()1()1()()()(0111sGsKsTsTsssKsHsGsGvvnvm )(11)()(11)()()(01sGsKsHsGsRsEsve )(11)(lim)()(lim000sGsKsRssRssevsesssp )( 1)(tAtr )()(lim1)()(11lim)()(lim10100sHsGAsHsGsAssRssessesssp )(11)