4復(fù)數(shù) 中等難度 講義 2

1、復(fù)數(shù) 引入 復(fù)數(shù)的引入 （一）復(fù)數(shù)的誕生 1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹（或“卡丹諾”1501-1576）發(fā)表重要數(shù)學(xué)著作偉大的藝術(shù)，在書中提出了三次方根的求根公式同時(shí)，提出了另一個(gè)問題，有沒有兩個(gè)數(shù)的和是10，乘積是40？ 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，我們可以這么思考：這兩個(gè)數(shù)必須都是正數(shù)，但兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，積有最大值，和為時(shí)，積的最大值為，故這樣兩個(gè)數(shù)一定不存在 10252的兩個(gè)根，這從另一個(gè)角度，由韋達(dá)定理知這樣的兩個(gè)數(shù)是一元二次方程0?x?40x?10個(gè)方程的判別式小于零，故沒有實(shí)數(shù)解 155?155?，但并不清楚這有什么意義 與卡丹給出答案： ?1是什么？于是引發(fā)了一個(gè)重要問題， （二）復(fù)數(shù)與虛

2、數(shù) ?1為“虛數(shù)，于是大家稱i” 笛卡爾并不承認(rèn)，并起名為“imaginary number”萊布尼茲說：“上帝在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的端兆，介于存在與不存在之間” 歐拉說：“它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們是純屬虛幻” （三）復(fù)數(shù)的意義 ?1后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的次方程都有根，且必有個(gè)引入nn根（重根重復(fù)計(jì)算） 解讀 一、復(fù)數(shù)的概念 2?1i，1i?：1虛數(shù)單位； i2復(fù)數(shù)：所有形如，復(fù)數(shù)通常用小寫字的數(shù)就稱為復(fù)數(shù)（plex number）)i(a，Rb?a?b zzzb的，其中表示，即叫做復(fù)數(shù)叫

3、做復(fù)數(shù)的實(shí)部，母a)a?Rb?bi(a，z? 虛部 教師內(nèi)容: 3?4i33?4i的虛部為的實(shí)部為，虛部為；注意虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)如 44?z?a?bi（3復(fù)數(shù)的分類：） Rb?a，z0?b ；若）real number為實(shí)數(shù)（，則 zz稱為純虛數(shù) ，時(shí)，為虛數(shù)（imaginary number）；若，則0b0?0?a?b 教師內(nèi)容: 如是一個(gè)虛數(shù)，但不是一個(gè)純虛數(shù)；是一個(gè)純虛數(shù) 4i?3i?z是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時(shí)，若問分別為多少？ 可以舉例：m1)im(?m?1)?z?(zzz是純虛數(shù)； 是虛數(shù)；是實(shí)數(shù)1?m?1?m1m?4復(fù)數(shù)集：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，也稱復(fù)數(shù)系，常用表示，即C? Rb?i，

4、a?RC?，z|z?a?b 教師內(nèi)容: *數(shù)系都用黑粗體的字母表示，區(qū)別常見數(shù)集的關(guān)系為：C?QRN苘苘NZ于普通的集合等手寫時(shí)有時(shí)習(xí)慣多加一道豎線加上區(qū)別 RC，5復(fù)數(shù)相等與比較大?。??且；相等的復(fù)數(shù)： ddib?a?bi?c?ca?比較大?。禾摂?shù)不能比較大小，只有實(shí)數(shù)可以比較大小 教師內(nèi)容: z?zz，z?R；如果出現(xiàn)，則一定有注意：如果題目中出現(xiàn)，則一定有0z?2112復(fù)數(shù)能比較大小的說法是錯(cuò)誤的，復(fù)數(shù)不能比較大小的說法也是錯(cuò)誤的 Rz?兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小當(dāng)且僅當(dāng)它們都是實(shí)數(shù) 2， 6對(duì)所有的實(shí)系數(shù)一元二次方程0?cax?bx0)(a? 2bac?b42且兩根但有兩個(gè)虛根，若則此方程沒

5、有實(shí)根，0?4?b?aci?x? aa22 ）（講完這個(gè)知識(shí)點(diǎn)再講例2互為共軛復(fù)數(shù)，故實(shí)系數(shù)方程的虛根成對(duì)出現(xiàn) 二、復(fù)數(shù)的幾何意義 教師內(nèi)容: 如何引出復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義，下面提供一個(gè)參考： 實(shí)數(shù)的幾何意義：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 0對(duì)稱， 表示數(shù)軸上另一個(gè)點(diǎn)，它們關(guān)于如表示數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，11? ，如圖，得到O也可以理解成繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180?11? ?90 ：這相當(dāng)于兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 在如圖所求的位置，就是繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故，故虛數(shù)?90ii11i?1?i? 它不在數(shù)軸上，在與數(shù)軸垂直的直線上 由此得到啟發(fā)，可以建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)，這就是復(fù)平面年提出的，這對(duì)復(fù)數(shù)被承認(rèn)

6、起到了很大的推用平面來理解復(fù)數(shù)是高斯在1831動(dòng)作用，建立復(fù)平面后，復(fù)數(shù)從一個(gè)抽象的概念變得具體，并與平面向量建立 起了聯(lián)系這里的引入我們會(huì)在復(fù)數(shù)乘法的幾何意義中進(jìn)一步闡述，這個(gè)內(nèi)容我們會(huì)放在 同步講解復(fù)數(shù)時(shí)，那時(shí)我們會(huì)進(jìn)一步介紹復(fù)數(shù)的三角形式及乘除法的幾何意義 復(fù)平面：建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面1實(shí)軸與，軸的單位是在復(fù)平面內(nèi)，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸軸的單位是xxi1yy 對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，原點(diǎn)00)(0, OZ 向量復(fù)數(shù)有序?qū)崝?shù)對(duì)點(diǎn)iz?a?b?)，ab(a，b)Z( ：2復(fù)數(shù)的模OZiba?，記作，則向量設(shè)的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模（或絕對(duì)值），bi(b?R)aOZ?a?

7、 22ba?a?bi|?| ，|?|aib 三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算: 教師內(nèi)容要求是與實(shí)數(shù)運(yùn)算一定是相融復(fù)數(shù)的運(yùn)算是很自然的，但它是人為定義出來的，的，不必深究這里的運(yùn)算規(guī)律，直接按照常理運(yùn)算即可講完運(yùn)算可以接著做 后面的練習(xí) 1復(fù)數(shù)的加法)id()?b?zdi?z?(a?ccz?za?bi? ，定義定義：設(shè))R?b(a，?R)(c，d2112 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律 幾何意義：復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則 ：2復(fù)數(shù)的減法)ib?da?c)?(c?z(a?bi)?(?di)?(?z 定義：21 幾何意義：復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則 復(fù)數(shù)的乘法3)i?adbc

8、ac?bd)?(?z?z(abi)(cdi)? 定義：21 復(fù)數(shù)的乘法符合多項(xiàng)式的運(yùn)算，且滿足交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律 ：4共軛復(fù)數(shù)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù) zz?a?biibaz? 表示，即當(dāng)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用時(shí)，z?zz共軛的幾何意義：在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，并且共軛復(fù)數(shù)的模相等 2z?zz 一個(gè)復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的乘積等于這個(gè)復(fù)數(shù)模的平方即 : 教師內(nèi)容 字本意：拉犁的兩頭牛牛背上的架子稱為軛，軛使兩頭牛同步行走軛”“ 共軛即為按一定的規(guī)律相配的一對(duì)通俗點(diǎn)說就是孿生2222xyxy 它們共漸近線與稱為共軛雙曲線，有

9、共軛雙曲線的概念，1?1? 2222abab2 z?zz復(fù)數(shù)的除法就是引出共軛復(fù)數(shù)后，就可以對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行實(shí)數(shù)化，即利用 上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù) : 教師內(nèi)容 講完共軛復(fù)數(shù)，可以先講下面的例子加深對(duì)共軛復(fù)數(shù)的理解 _例：在下列命題中，正確命題的有 zzzz? 對(duì)任意復(fù)數(shù)，有對(duì)任意復(fù)數(shù)，有為純虛數(shù)Rz?z? z 的一個(gè)充要條件是；是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是zz?z?RzR?zzz?z 錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，為實(shí)數(shù)時(shí)，也有；可以為答案：；0Rz?z? 復(fù)數(shù)的除法5i)di)(c?i(a?ba?b ，?di)i)?(c?(a?b 22d?dicc 1ziia?b11a?bz （，稱為復(fù)數(shù)）的倒數(shù)0z? 222|bi)

10、a?zb?za?bi(abi)(a?z: 教師內(nèi)容復(fù)數(shù)的乘法與除法也有幾何意義，我們會(huì)在春季同步時(shí)進(jìn)行介紹，春季還會(huì)介 kn?的性質(zhì)及與此相關(guān)的較復(fù)雜的復(fù)數(shù)的紹復(fù)數(shù)的三角形式與棣莫佛定理，與i 計(jì)算 這時(shí)復(fù)數(shù)首先要用模長(zhǎng)與角度表示出來，復(fù)數(shù)乘法可以看成旋轉(zhuǎn)加上模長(zhǎng)的伸縮， 2?45 ，角度為表示模長(zhǎng)為如（稱為幅角）的向量，i1? 2?45倍，即表示這個(gè)復(fù)數(shù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)復(fù)數(shù)乘以，模長(zhǎng)再伸長(zhǎng)到原來的i?1 如 ，如下圖7i?i)?1?4i)(1(3? 這樣就非常好理解了2ii)?(1i)(1?但這些內(nèi)容我們會(huì)在春季同步時(shí)稍微展開，可以在假期有同學(xué)發(fā)問時(shí)適當(dāng)引導(dǎo)， 不建議假期時(shí)展開 典例精講 一選

11、擇題（共13小題） 的實(shí)部為 春?岑溪市期末）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)1（2018 2，則|z|=（ ） D13 CA5B 【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，由已知求得a，得到z，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解 的實(shí)部為2，=解：z=【解答】 ，得a=5， z=23i， 則|z|= 故選：C 2（2018春?拉薩期末）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=|32z|，且z的實(shí)部為2，則|z1|=（ ） D C BA3 【分析】設(shè)z=2+yi，32z=12yi根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足：|z|=|32z|，可得 ，解出y=進(jìn)而得出 【解答】解：設(shè)z=2+yi，32z=32（2+yi）=12yi 復(fù)數(shù)z滿足：|z|=|32z|

12、， ，= 2±y1=1，解得y=化為： ii1=1±z1=2± =1則|z|= B故選： 201832）2018i2iii?20183（春石家莊期末）為虛數(shù)單位，則+3i+=（ A2018+2017iB10081008i D10101009iC1010+1009i 【分析】利用錯(cuò)位相減法及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求和 232018，2018i+2i+3i+【解答】解：令S=i+ 2320182019，2018i+2i2017i+則iS=i+ 23201820192018iii+（1i）S=i+i+兩式作差可得： =1+2019i = = =1010S=+1009

13、i 故選：C 2=iz，則下列四個(gè)判斷中，正確的個(gè)?皇姑區(qū)校級(jí)期中）復(fù)數(shù)z滿足4（2018春數(shù)是（ ） z有且只有兩個(gè)解； z只有虛數(shù)解；z的所有解的和等于0； z的解的模都等于1； A1B2C3D4 2=i求解a，b，由z的值，則z可求，然后逐一分設(shè)z=a+bi（a，bR）【分析】析四個(gè)選項(xiàng)得答案 【解答】解：設(shè)z=a+bi（a，bR）， 2222+2abi=i=a，+由zb=i，得（a+bi） ， 解得：或 或z= ，z= 則z有且只有兩個(gè)解；z只有虛數(shù)解；z的所有解的和等于0；z的解的模都等于1 都正確 故選：D 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在射線z z?20185（秋永定區(qū)校級(jí)月考）復(fù)數(shù)滿足 且該復(fù)數(shù) y

14、=x（x0）上，則復(fù)數(shù)z=（ ） A22iB2+2iC2+2iD22i 列式求得m值，則答案可），結(jié)合 【分析】由已知可設(shè)z=m+mi（m0 求 【解答】解：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在射線y=x（x0）上， 可設(shè)z=m+mi（m0）， ，m=2 ，得 由 z=2+2i 故選：B 6（2018春?武清區(qū)期中）在復(fù)平面上，所有滿足|z+1|+|z1|=4的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在某一（ ） A圓上B拋物線上C橢圓上D雙曲線上 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在某一橢圓上 【解答】解：復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z滿足|z+1|+|z1|=4， 則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0），點(diǎn)F（1，0）的距離

15、和為4， 21即|MF|+|MF|=4，|FF|=24， 2112復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M在以F、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上 21故選：C 7（2018春?臨沂期中）若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是 ，且2i =4i， 則復(fù)數(shù)z的模等于（ ） 25CD5AB 【分析】先求出 =4+3i，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出z，則復(fù)數(shù)z的?？汕?【解答】解：2i =4i， =4+3i， z=43i， ，z|=5 故選：A 2+z+m=0有兩虛數(shù)根，且|8（2018?靜安區(qū)二模）若實(shí)系數(shù)一元二次方程z|=3，那么實(shí)數(shù)m的值是（ ） D1 B1CA 2+z+m=0有兩虛數(shù)根，解得：【分析】實(shí)系數(shù)一元二次方程zz=，

16、利 用|=3，即可得出 2+z+m=0有兩虛數(shù)根，【解答】解：實(shí)系數(shù)一元二次方程z 解得：z=， =3，解得m= 則| 故選：A 2+px+q=0的一個(gè)根（其中i為松江區(qū)一模）若2i是關(guān)于x的方程x2018?9（虛數(shù)單位，p，qR），則q的值為（ ） A5B5C3D3 【分析】直接利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理及根與系數(shù)的關(guān)系求解 2+px+xq=0的一個(gè)根，2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程【解答】解： 2+px+q=0的另一個(gè)根，+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2 2=5i|i）=|2則q=（2i）（2+ 故選：B 10（2018春?福州期中）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z滿足|z+1|=|1+iz|，則z在

17、復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（ ） A直線B圓C橢圓D拋物線 【分析】設(shè)z=x+yi（x，yR），代入|z+1|=|1+iz|，求模后整理得答案 【解答】解：設(shè)z=x+yi（x，yR）， 代入|z+1|=|1+iz|，得|（x+1）+yi|=|（1y）+xi|， ， y=0即x+ 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是直線z 故選：A 11（2017?天心區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試）不等式|lo x4i|3+4i|成立時(shí)x的取值范 圍是（ ） ， B（0，10A ，+） ）+）（8，（ 8，+）0，1D， C 2 或 ， ） 9【分析】利用復(fù)數(shù)的模推陳導(dǎo)出（ ，從而 由此能求出不等式|lo x4i|3+4i|成立時(shí)x的取值范

18、圍 【解答】解：|lo x4i|3+4i|= =5， 22） 25，+（ 4 2） （ 9， 或 ， 或x8解得 8，+）， 的取值范圍是4i|3+4i|成立時(shí)xx故不等式|lo 故選：C 12（2017秋?肇慶月考）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）?z=i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限 【分析】把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得答案 【解答】解：由（1+i）?z=i， ，得 ，位于復(fù)平面內(nèi)第一象限）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，則復(fù)數(shù) 故選：A 為純虛數(shù)時(shí)，則實(shí) （2017春?黃山期末）當(dāng)復(fù)數(shù) 13

19、數(shù)m的值為（ ） Am=2Bm=3Cm=2或m=3Dm=1或m=3 【分析】由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)可得實(shí)部等于0且虛部不等于0，求解即可得答案 為純虛數(shù)， 【解答】解：復(fù)數(shù) ，解得m=3 故選：B 二填空題（共4小題） 14（2018春?奉賢區(qū)期末）設(shè)復(fù)數(shù)z=3 i，z= +i，z= sin+（ cos+2） 21 +2z|的最小值為 2i，則|zz|+|z 21 【分析】設(shè)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A（3， ），z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B（ ，1），z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P 2122=3上運(yùn)動(dòng)，求得直線AB的y22），可得P在圓x）+（sin（ ， cos+ 方程，以及圓心到直線AB的距離，判斷直線和圓的位置關(guān)系，即可得到所求最小值 【解

20、答】解：復(fù)數(shù)z=3 i，z= +i，z= sin+（ cos+2）i， 21設(shè)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A（3， ），z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B（ ，1），z對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P（ sin， 21 cos+2）， 22=3上運(yùn)動(dòng)，2x）+（y可得P在圓 ），即為y=（xx而直線AB的方程為y，1= = ，）到直線AB的距離d=B且A，均在圓外，由圓心（0，2 即直線AB和圓相切，存在切點(diǎn)P，使得|PA|+|PB|=|AB|， 則|zz|+|zz|的最小值為|AB|=2+2 21故答案為：2+2 15（2018春?海淀區(qū)校級(jí)期中）設(shè)zC，|z|=1，則|z（1+i）|的最大值是 1+ 【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義，數(shù)形結(jié)合即可求得|z（

21、1+i）|的最大值 【解答】解：由題意可知，復(fù)數(shù)z的軌跡為單位圓， 如圖， 的距離，的幾何意義為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)P+i）|z（1 + AP|=11+i）|的最大值為|（由圖可知，|z + 故答案為：1 的虛部是虛數(shù)單位），則zz=2018春?涪城區(qū)校級(jí)期中）已知復(fù)數(shù)（i16（ 為 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【分析】 ，i=【解答】解：復(fù)數(shù)z=+ 的虛部為則z 故答案為： 2015= i ?17（2018春興慶區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（） 4代入計(jì)算即可得出，=i=1=i=【分析】由 4i=1=i【解答】解：=， 343503+×）=（i=i=（i）原式 故答案為：i 小題）

22、4三解答題（共 2為純虛）0，且z為虛數(shù)單位，+春2018?日照期末）已知復(fù)數(shù)z=2bi（ib（18數(shù) ；）求復(fù)數(shù)z1（ 的模=2（）若復(fù)數(shù)，求 2，再由實(shí)部為z0且虛部不【分析】（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得為0求得b，則z可求； ，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)模的=）把z代入（2 計(jì)算公式求解 222，+=4bbi，得z4bi=（2+bi）【解答】解：（1）由z=2+ 2為純虛數(shù)，z±2；，解得b= 又b0，b=2， z=2+2i； =2i=，（2）= |=2 2）i，z=（2a5）i（a?2018春閔行區(qū)期末）已知復(fù)數(shù)z=1+（10a0），19（21 +zR 2（1）求實(shí)數(shù)a的值； （2）若zC，且|zz|=2，求|z|的取值范圍 2【分析】（1）由已知求得 +z，再由虛部為0求解實(shí)數(shù)a的值； 2（2）數(shù)形結(jié)合求解|z|的取值范圍 2）i，z