北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑二

1、學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與微分經(jīng)點(diǎn)答疑（二）2函數(shù)f（x）的不可導(dǎo)點(diǎn)有哪些類型？（1）函數(shù)f（x）在不連續(xù)點(diǎn)不可導(dǎo)如，符號(hào)函數(shù)sgnx，在x0點(diǎn)不連續(xù)，在x0點(diǎn)不可導(dǎo)（2）函數(shù)f（x）在連續(xù)點(diǎn)不可導(dǎo)有以下幾種類型：左、右可導(dǎo)，但左、右導(dǎo)數(shù)不相等；例如，函數(shù)f（x）|x|，在點(diǎn)x0左、右可導(dǎo)，但左、右導(dǎo)數(shù)不相等左、右兩側(cè)至少有一側(cè)不可導(dǎo)；左、右導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)是無(wú)限大3函數(shù)f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，是否函數(shù)f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)？在點(diǎn)0可導(dǎo)，（當(dāng)然在點(diǎn)0連續(xù)），事實(shí)上顯然，函數(shù)f（x）在任意點(diǎn)x0都不連續(xù)，即除點(diǎn)0外，函數(shù)f（x）在任意點(diǎn)都不可導(dǎo)由此可見(jiàn)，一個(gè)函數(shù)可能僅僅在一點(diǎn)可導(dǎo)4什么是導(dǎo)函

2、數(shù)？導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有什么區(qū)別與聯(lián)系？怎樣求導(dǎo)函數(shù)？如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并稱函數(shù)f（x）是（a,b）內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，且與都存在，稱函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上可導(dǎo)，此時(shí)稱f（x）為閉區(qū)間a，b上的可導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I可導(dǎo)，此時(shí)對(duì)每一個(gè)點(diǎn)xI，都有惟一一個(gè)導(dǎo)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這樣按照函數(shù)的定義，在I上定義了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)f（x）在I上的導(dǎo)函數(shù)，記注意到，前面介紹的函數(shù)f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)值，這里給出的導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，這是二者的根本區(qū)別函數(shù)f（x）在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)f（x）在I上

3、的導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即有時(shí)，在導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不至于發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)例如，求某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而沒(méi)有特別指明是某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)實(shí)際上是求導(dǎo)函數(shù)的從導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)我們可以看出，導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)從形式上就是函數(shù)f（x）在任一點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)因此要求函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)，只需要求出f（x）在I上任一點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)即可，而要求f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，只需把極限求出來(lái)即可例1 求函數(shù)yx的導(dǎo)數(shù)思路啟迪在本題中，實(shí)際上是求函數(shù)yf（x）的導(dǎo)函數(shù)的，只須把函數(shù)f（x）在任一點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)求出來(lái)即可規(guī)范解法f（x）x,f（xx）xx,x0，yf（xx）f（x）xxxx例2求

4、函數(shù)思路啟迪這里是求導(dǎo)函數(shù)的，可先求出處的導(dǎo)數(shù)，再把換成x即為所求規(guī)范解法5.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？它有哪些物理意義？由引例2，我們知道，若函數(shù)f（x）在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線yf（x）在點(diǎn)的切線存在，且切線的斜率k就是函數(shù)f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),即故函數(shù)yf（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：表示曲線yf（x）在點(diǎn)處切線的斜率，即因此，若函數(shù)f（x）在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線yf（x）在點(diǎn)處的切線方程是：法線方程是導(dǎo)數(shù)的物理意義，根據(jù)函數(shù)f（x）的物理意義不同而不同如若當(dāng)函數(shù)f（x）表示質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)（x表示時(shí)間），其導(dǎo)數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度；當(dāng)函數(shù)f（x）表示質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)表示質(zhì)點(diǎn)的

5、瞬時(shí)加速度；當(dāng)函數(shù)f（x）表示電量函數(shù)時(shí)（x表示時(shí)間），其導(dǎo)數(shù)表示時(shí)刻x的瞬時(shí)電流強(qiáng)度等等例1求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程與法線方程思路啟迪按照導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只要求出函數(shù)在點(diǎn)x1處的導(dǎo)數(shù)即為該曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求出切線與法線方程規(guī)范解法于是所求的切線方程為y13（x1）,即3xy20例2求曲線思路啟迪根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線yf（x）上切線平行于已知直線的點(diǎn)，也即是求函數(shù)yf（x）在哪些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與已知直線的斜率相等因此，只要找出函數(shù)yf（x）與已知直線的斜率相等的點(diǎn)即可規(guī)范解法故所求的點(diǎn)是（1，1）和（1，1）點(diǎn)評(píng)解決此題的關(guān)鍵是能正確理解并掌握

6、導(dǎo)數(shù)的幾何意義6函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系是什么？由具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小量的關(guān)系我們知道，存在一個(gè)當(dāng)x0時(shí)的無(wú)窮小量，即函數(shù)yf（x）在點(diǎn)x處連續(xù)因此我們有：若函數(shù)yf（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，則函數(shù)yf（x）在點(diǎn)x必連續(xù)反之，不一定成立，即若函數(shù)yf（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，但它在點(diǎn)x不一定可導(dǎo)例函數(shù)規(guī)范解法如圖3-3，f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，事實(shí)上：f（0）0故f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)但是，f（x）在點(diǎn)x0不可導(dǎo)（見(jiàn)1中的例2）由上面的討論可知，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x連續(xù)是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)的必要條件，但非充分條件即函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定是可導(dǎo)，不連續(xù)一定不可導(dǎo)7若函數(shù)f（x）與g（x）

7、在點(diǎn)都不可導(dǎo)，它們的和H（x）f（x）+g（x）與積G（x）f（x）·g（x）在點(diǎn)是否也不可導(dǎo)？不一定例如，函數(shù)f（x）|x|與g（x）|x|在x0都不可導(dǎo)，但是，它們的和與積H（x）f（x）+g（x）0與在x0卻都可導(dǎo)8求哪些函數(shù)個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或左、右導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義？（1）函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值單獨(dú)定義的，其余點(diǎn)的函數(shù)值用統(tǒng)一解析式定義的（函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)連續(xù)）例如，函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義（2）求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)例如，函數(shù)求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的左、右導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x）在點(diǎn)x0與x1的左、右導(dǎo)數(shù)要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義9導(dǎo)數(shù)有哪些基本公式和運(yùn)算法則?在導(dǎo)數(shù)的定義中，我們不僅闡

8、明了導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，也給出了利用定義求函數(shù)的方法但是，如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)，都直接按定義去求它的導(dǎo)數(shù)，往往是極為復(fù)雜和困難的，甚至是不可能的因此，我們希望找到一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（作為我們的基本公式）與運(yùn)算法則，借助它們來(lái)簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過(guò)程證明：設(shè)yf（x）C，注：以后可以證明，當(dāng)n取任意實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)公式仍然成立例1求規(guī)范解法公式請(qǐng)讀者自己證明證明：設(shè)特別，當(dāng)ae時(shí)，有公式（6）公式（7）證明：設(shè)令，則又當(dāng)t0時(shí)，有t0，于是特別，當(dāng)ae時(shí)，有例2求規(guī)范解法法則（1）兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）即用同樣的方法可將此結(jié)果推廣到有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)情形例3求下面函數(shù)的導(dǎo)

9、數(shù)思路啟迪這兩個(gè)函數(shù)都是由幾個(gè)初等函數(shù)的代數(shù)和構(gòu)成，求它們的導(dǎo)數(shù)只要利用和與差的求導(dǎo)法則及前面的導(dǎo)數(shù)公式即可得出正確的答案規(guī)范解法法則（2）兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，再加上第一個(gè)函乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即證明：設(shè)yuv，u（x）、（x）均可導(dǎo)，當(dāng)x取增量x（x0）時(shí)，有相應(yīng)的增量u、v、y，于是在x處對(duì)于有限個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)可類推例如三個(gè)可導(dǎo)的函數(shù)u（x），和的乘積的導(dǎo)數(shù)是：例4求函數(shù)思路啟迪該函數(shù)是由兩個(gè)基本初等函數(shù)與cosx的積所構(gòu)成，而與cosx的導(dǎo)數(shù)（公式）我們知道，兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)法法則我們學(xué)過(guò)，因此只要能正確運(yùn)用兩個(gè)函數(shù)的積的求導(dǎo)法則與和cosx的求導(dǎo)公式，該題將迎刃而解規(guī)范解法由兩個(gè)函數(shù)和積的求導(dǎo)法則得例5設(shè)思路啟迪本例與上例基本相同，所不同的是本函數(shù)是由三個(gè)函數(shù)的積所構(gòu)成，因此只要正確運(yùn)用積的求導(dǎo)法則及公式即可例6當(dāng)思路啟迪要使拋物線規(guī)范解法法則（3）兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)仍是一個(gè)商，這個(gè)商的分子等于原來(lái)的商的分子的導(dǎo)數(shù)乘以分