同濟第三版-高數(shù)-(1.4) 第四節(jié) 無窮小與無窮大同濟第三版-高數(shù)-

1、 無窮小對應于函數(shù)極限為零的情形，但這一特無窮小對應于函數(shù)極限為零的情形，但這一特殊極殊極限卻可用來表達一般的極限過程，且極限的概念、運算限卻可用來表達一般的極限過程，且極限的概念、運算規(guī)則及分析證明常常都可歸結(jié)為無窮小的討論。它在微規(guī)則及分析證明常常都可歸結(jié)為無窮小的討論。它在微積的討論中有著特殊重要作用。積的討論中有著特殊重要作用。 無窮小概念與自變量的一定無窮小概念與自變量的一定變化趨勢相對應，以下就兩種主變化趨勢相對應，以下就兩種主要的情形給出無窮小的定義。要的情形給出無窮小的定義。 如果如果 x x 0 時，時，函數(shù)函數(shù) ( x )的極限為的極限為 0 ，那么，那么 ( x )叫做

2、x x 0 時的無窮小。時的無窮小。 如果如果 x 時，時，函數(shù)函數(shù) ( x )的極限為的極限為 0 ，那么，那么 ( x )叫做 x 時的無窮小。時的無窮小。 如果如果 n 時，時，數(shù)列數(shù)列 x n 的極限為的極限為0，那么，那么 x n 叫做叫做 n 時的無窮小。時的無窮小。 因為因為 ，故函數(shù)故函數(shù) f( x )= sin x 是是 x 0 時時的無窮小。的無窮小。 因為因為 ，故函數(shù)故函數(shù) f( x )= a - - x 是是 x + 時時的無窮小。的無窮小。 因為當因為當| q | 1 時時， 故數(shù)列故數(shù)列 q n (| q | 1 )是是 n 時的無窮小。時的無窮小。 因為因為 l

3、 i m 0 = 0，故常數(shù)故常數(shù) 0 是無窮小。是無窮小。xx 0limsin0 lim0 xxa lim0nnq ,例：例：根據(jù)定義證明：當根據(jù)定義證明：當 x 3 時，時， 是是無窮小。無窮小。 按定義證明當按定義證明當 x 3 時，給定函時，給定函數(shù)是無窮小，就是對任意給定的正數(shù)數(shù)是無窮小，就是對任意給定的正數(shù) ，要設(shè)法說明存在正數(shù)要設(shè)法說明存在正數(shù) ，使得，使得當當 0 | x - - 3| 時時有有 要說明要說明這樣的這樣的 存在，最直接的辦存在，最直接的辦法就是將法就是將 找出來。找出來。為確定為確定 的值，關(guān)的值，關(guān)鍵是導出關(guān)系式鍵是導出關(guān)系式 293xyx2 9.3xx 2

4、933xk xx. . 因為因為故故對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ，要使要使 取取 = ，則，則當當 0 | x - - 3| 時時有有由無窮小的定義：當由無窮小的定義：當 x 3 時，時， 是無窮小。是無窮小。 2 933333xxxxxx, 2933xxx , , . .只只需需293xyx 2 93 0，存在，存在 0，使得使得 當當 0 | | x - - x 0| | 時，時，| | f( x )- - A | | 0，存在，存在 0，使得使得當當 0 | | x - - x 0| | 時有時有 | | f( x )- - A| |= | | ( x )| | 0，存在，存在 1

5、 , , 2 , , 3 0，使得，使得 當當 0 | x - - x 0 | 1 時，時，| | ( x )| | / /3； 當當 0 | x - - x 0 | 2 時，時，| | ( x )| | / /3； 當當 0 | x - - x 0 | 3 時，時，| | ( x )| | / /3 . 取取 = Min 1 , , 2 , , 3 ，則當則當 0 | x - - x 0 | 時有時有 | ( x ) ( x ) ( x )| | | ( x )|+|+| ( x )| |+| | ( x )| | 0，使得當，使得當 0 | x - - x 0 | 1 時有時有 | u(

6、x )| 0，存在，存在 2 0，使，使得當?shù)卯?0 | x - - x 0 | 2 時時， 取取 = Min 1, , 2 ，則當則當 0 | x - - x 0 | 時有時有即有即有 0lim0 xxx , 0lim0 xxuxx . . .uuMxxxxM 0 lim0 xxuxx . . xM . . 0lim0 xxx ,xyO 若若 ( x )當當 x 時為時為無窮小，無窮小，u( x )當當| x |大于某正數(shù)大于某正數(shù)X 時時有界，則有界，則 u( x ) ( x )當當 x 時為時為無窮小。無窮小。MM 0 xx uMxXx, 0 xuxx X例：例：證明函數(shù)證明函數(shù) 是是

7、x 0 時的無窮小。時的無窮小。 因為因為 函數(shù)函數(shù) 在點在點 x 0 = 0 的鄰域內(nèi)有界。的鄰域內(nèi)有界。 由由為無窮小性質(zhì)知為無窮小性質(zhì)知，函數(shù)函數(shù) 當當 x 0 時為時為無窮小。無窮小。 1sinfxxx 00limlim0 xxxx , , 1sinuxx 1sinfxxx 0lim0 xuxx . . 0lim0 xx , , uMx. .xyO 00limlim0 xxxx 11sin uxx01limsin0 xxx11例：例：證明函數(shù)證明函數(shù) 是是 x 時的無窮小。時的無窮小。 因為因為 u( x )=arctan x 2即即 u( x )= arctan x 有界。有界。 由

8、由為無窮小性質(zhì)知為無窮小性質(zhì)知，函數(shù)函數(shù) 當當 x 時為時為無窮小。無窮小。 arctanxfxx 1limlim0 xxxx , , arctan xfxx lim0 xuxx . . lim0 xx , , uMx. .xyO 1limlim0 xxxx 1arctan 2uxx arctanlim0 xxx2 2 由于常數(shù)是自變量任意趨向下的由于常數(shù)是自變量任意趨向下的有界函數(shù)，因此有界函數(shù)，因此常常數(shù)與無窮小的乘積是對應于該無窮小的自變量趨向下的數(shù)與無窮小的乘積是對應于該無窮小的自變量趨向下的無窮小無窮小。 由于無窮小總是自變量一定趨向下的有界函數(shù)，因由于無窮小總是自變量一定趨向下的有

9、界函數(shù)，因此兩個無窮小的乘積是無窮小。由歸納法原理，有限個此兩個無窮小的乘積是無窮小。由歸納法原理，有限個無窮小的乘積也是無窮小。無窮小的乘積也是無窮小。 需注意的是，推論需注意的是，推論 2 2 只能推廣到有限個無窮小的情只能推廣到有限個無窮小的情形，即無窮多個無窮小的乘積未必是無窮小。形，即無窮多個無窮小的乘積未必是無窮小。例：例：兩個無窮小的商是否一定是無窮小兩個無窮小的商是否一定是無窮??？試舉例說明。試舉例說明。 兩個無窮小的商就是在自變兩個無窮小的商就是在自變量的同一趨向下的兩個無窮小之比。量的同一趨向下的兩個無窮小之比。由無窮小的性質(zhì)知，常數(shù)與無窮小的由無窮小的性質(zhì)知，常數(shù)與無窮小

10、的乘積是無窮小。乘積是無窮小。因此，只要因此，只要兩個無窮兩個無窮小成比例，且比值不為零，即小成比例，且比值不為零，即 lim ( x )= 0， lim ( x )= 0， ( x )/ / ( x )= k，則兩個無窮小的商就不會是無窮小。則兩個無窮小的商就不會是無窮小。 由此可推斷，兩個無窮小的商不一定是無窮小。由此可推斷，兩個無窮小的商不一定是無窮小。例：例：考慮極限考慮極限 因為因為由此可以推斷應有由此可以推斷應有 并考慮用定義證之。并考慮用定義證之。 對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ，要使要使只需取只需取 = ，則，則當當 0 | x - - 3| 時時有有由極限的定義知由極限的

11、定義知 2 39lim3xxx. . 2 933333xxxxxx, 2 39lim63xxx, , 2 933636333xxxxxxx , , 2 963 3xxx, , 2 39lim63xxx. . 函數(shù)只有當極限存在時討論其極限才有意義，函數(shù)只有當極限存在時討論其極限才有意義，因此因此人們通常關(guān)注的是函數(shù)極限存在的情形。然而，有一類人們通常關(guān)注的是函數(shù)極限存在的情形。然而，有一類極限不存在的情形也受到人們的特別關(guān)注，這就是函數(shù)極限不存在的情形也受到人們的特別關(guān)注，這就是函數(shù)趨于無窮的情形。在此情形下，趨于無窮的情形。在此情形下，函數(shù)極限雖不存在，但卻具有和函數(shù)極限雖不存在，但卻具有和

12、存在極限時類似的性質(zhì)。此外，存在極限時類似的性質(zhì)。此外，這種函數(shù)值趨于無窮的變化趨勢這種函數(shù)值趨于無窮的變化趨勢還和無窮小有著密切的聯(lián)系。還和無窮小有著密切的聯(lián)系。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在點在點 x 0 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) M ( (無論它多么大無論它多么大) )，總存，總存在正數(shù)在正數(shù) ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 0 | x - - x 0| M ，那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù) f( x )當當 x x 0 時為無時為無窮大，記作：窮大，記作： 0lim.xxfx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在在 | x

13、 |大于某正數(shù)時有定義，如果對大于某正數(shù)時有定義，如果對任意給定的正數(shù)任意給定的正數(shù) M (無論它多么大無論它多么大)，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) X ，使得對于適合不等式使得對于適合不等式 | x | X 的一切的一切 x ，對應的函數(shù)值，對應的函數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式 | f( x )| M ，那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù) f( x )當當 x 時時為無窮大，記作：為無窮大，記作： lim.xfx 例：例：根據(jù)定義證明：當根據(jù)定義證明：當 x 0 時，時， 是是無窮大。無窮大。又問，又問， x 只要滿足什么條件，就能使只要滿足什么條件，就能使 y 10 4 ？ 按定義證明當按定

14、義證明當 x 0 時，給定函時，給定函數(shù)是無窮大，就是對任意給定的正數(shù)數(shù)是無窮大，就是對任意給定的正數(shù) M ，要設(shè)法說明存在正數(shù)要設(shè)法說明存在正數(shù) ，使得，使得當當 0 | x - - 0 |= | x | 時時有有 要說明要說明這樣的這樣的 存在，最直接的辦法就是將存在，最直接的辦法就是將 找出找出來。由于式子來。由于式子 是隨是隨 x 的變化而的變化而變化變化的，故的，故可考慮從所證式子可考慮從所證式子 出發(fā)確定出發(fā)確定 .12xyx12.xyMx12xyx12xyMx 因為因為故故對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) M，要使要使 ，則，則當當 0 | x - - 0 | 0，存在存在 0，

15、使得對滿足使得對滿足 x U( x 0, , )的的一切一切 x 有有| f( x )| M . . 對對 M 0 及及 0，總存在一個總存在一個 x * U( x 0 , , )使得使得 | f( x * )| M . . xyO 01fxxx 0limxxfx x x 0 時時 f( x )為無窮大為無窮大 0011singxxxxxMM fx*gx U( x 0, , )內(nèi)內(nèi)g( x )為無窮大為無窮大 0 x例例：證明數(shù)列：證明數(shù)列 x n = n(-1)n 無界，但不是無窮大量。無界，但不是無窮大量。為論證本例的兩個命題首先應理解數(shù)列無界與為論證本例的兩個命題首先應理解數(shù)列無界與數(shù)列

16、趨于無窮的區(qū)別。數(shù)列趨于無窮的區(qū)別。 所謂數(shù)列所謂數(shù)列 x n 無界就是對任意的無界就是對任意的 Mi 0，一定存在，一定存在該數(shù)列中的某一項該數(shù)列中的某一項 x i ，使得，使得 x i Mi . 顯然，這一點是顯然，這一點是不難說明的。因此，關(guān)鍵的問題是說明不難說明的。因此，關(guān)鍵的問題是說明該數(shù)列不是無窮該數(shù)列不是無窮大，即大，即當當n 時時，不會有不會有 x n . 要要說明說明不會有不會有 x n ，就是要說明隨著，就是要說明隨著n 的不斷增的不斷增大，該大，該數(shù)列的某些項數(shù)列的某些項 x j 始終不會變得始終不會變得“ “很大很大” ”。 由上分析，要證明本例的兩個命題，只需設(shè)法找出

17、由上分析，要證明本例的兩個命題，只需設(shè)法找出其一個趨于無窮的子數(shù)列和一個趨于有限值的子數(shù)列。其一個趨于無窮的子數(shù)列和一個趨于有限值的子數(shù)列。 取給定數(shù)列取給定數(shù)列 x n = n(-1)n 的偶數(shù)項構(gòu)成子數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成子數(shù)列 x 2k =( 2k )(-1)2k = 2k . . 易看出，當易看出，當 k 時，時，x 2k = 2k ，故原數(shù)列，故原數(shù)列 x n = n(-1)n 無界。無界。 再取給定數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成子數(shù)列再取給定數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成子數(shù)列 x 2k- - 1 =( 2k- - 1 )(-1)2k- - 1 = 1/ /( 2k- - 1 ). . 易看出，當易看出，當 k 時

18、，時，x 2k - - 1 = 1/ /( 2k- - 1 ) 0 ，故原數(shù)列故原數(shù)列 x n = n(-1)n 不可能是無窮大。不可能是無窮大。 記號記號 并不表示當并不表示當 x 時，時，f ( x )的的極極限存在，而是極限不存在的一種特殊形式。之所以采用限存在，而是極限不存在的一種特殊形式。之所以采用這種記法，其原因是無窮大量這種記法，其原因是無窮大量雖不能趨于一個確定的數(shù)雖不能趨于一個確定的數(shù), ,但卻有確定的變化趨勢，但卻有確定的變化趨勢，此時此時它它具有和函數(shù)極限存在的具有和函數(shù)極限存在的情形相類似的性質(zhì)。情形相類似的性質(zhì)。 從幾何上看，若從幾何上看，若 ，則當則當 x x 0 時，時，函函數(shù)數(shù) y = = f( x )圖形向直線圖形向直線 x = = x 0 不斷靠近，故此時稱直線不斷靠近，故此時稱直線x = = x 0 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = = f ( x )的圖形的一條鉛直漸近線。