第四章 光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性

1、第四章 光學(xué)成像系統(tǒng)的空間變換特性與頻率特性透鏡作為光學(xué)系統(tǒng)的基本光學(xué)元件之一，在光學(xué)成像系統(tǒng)起著成像補(bǔ)償像差及調(diào)整倍率等作用，在光學(xué)信息處理中具有位相變換和傅里葉變換作用。光學(xué)成像系統(tǒng)是一種最基本的光學(xué)信息處理系統(tǒng)，它將輸入圖像信息從物面?zhèn)鞑サ捷敵雒妫敵鰣D像信息由光學(xué)系統(tǒng)的傳遞特性決定。光學(xué)系統(tǒng)是線(xiàn)性系統(tǒng)，一定條件下為空間不變線(xiàn)性系統(tǒng)，既可在空域中，也可在頻域中分析它的成橡規(guī)律和特性。這兩種描述是完全等價(jià)的。對(duì)于相干和非相干系統(tǒng)，可分別給出本征函數(shù)，把輸入信息分解為本征函數(shù)的頻率分量，考察這些分量在系統(tǒng)傳遞過(guò)程中衰減、相移等變化，研究系統(tǒng)空間頻率特性即傳遞函數(shù)。這是一種全面評(píng)價(jià)光學(xué)系統(tǒng)傳遞

2、信息能力的方法，也是評(píng)價(jià)其成像質(zhì)量的方法。與傳統(tǒng)方法如星點(diǎn)法、分辨法相比，OTF法能全面反映光學(xué)系統(tǒng)成像能力，有明顯的優(yōu)越性?，F(xiàn)有計(jì)算機(jī)及高性能光電測(cè)試技術(shù)，使得OTF的計(jì)算和測(cè)量日趨完善。同時(shí)OIS的頻譜分析作為光學(xué)信息處理技術(shù)的理論基礎(chǔ)，對(duì)光學(xué)信息處理技術(shù)的應(yīng)用起著極其重要的作用。 本章首先首先研究透鏡的位相變換性質(zhì)，然后討論透鏡的傅里葉變換性質(zhì)，分分析透鏡孔徑對(duì)傅里葉變換的影響，然后討論光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性。4.1 透鏡的相位變換性質(zhì)通常在衍射屏后面的自由空間觀(guān)察夫瑯禾費(fèi)衍射時(shí)，要借助于透鏡實(shí)現(xiàn)近距離的觀(guān)察夫瑯禾費(fèi)衍射圖。單色平面波垂直照射衍射屏，在夫瑯禾費(fèi)近似下，觀(guān)察平面上的場(chǎng)分布等

3、于衍射孔徑上場(chǎng)分布（屏函數(shù)）的傅立葉變換，透鏡之所以可實(shí)現(xiàn)傅立葉變換，這是因?yàn)橥哥R具有相位變換作用?，F(xiàn)研究一個(gè)無(wú)像差的薄透鏡的成像，如圖4.1.1所示，軸上點(diǎn)源S和透鏡的距離為p，不考慮透鏡的孔徑造成的衍射影響，由于是薄透鏡，這里認(rèn)為入射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)透鏡，出射光線(xiàn)在P2面上的高度同在P1上高度相等。從幾何光學(xué)觀(guān)點(diǎn)看，成像過(guò)程是點(diǎn)物S成點(diǎn)像S；從波面變換的觀(guān)點(diǎn)看，透鏡將發(fā)散球面波變換成會(huì)聚球面波。為了研究透鏡的變換作用，引入透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率t(x,y)，定義為，其中分別是P1 和P2面上的復(fù)振幅分布，傍軸條件下，顯然，S單色點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在P1上的光場(chǎng)U1(x,y)為圖4.1.1 透鏡的位相變

4、換作用zx-yS （A為常數(shù)） (4.1.1)上式表明：P1上的振幅分布是均勻的，只有位相的變化。透過(guò)透鏡后，成為會(huì)聚于S的球面波。P2上的復(fù)振幅分布為 (4.1.2)、并不影響P1和P2平面上相位的相對(duì)分布，分析時(shí)可忽略，則 (4.1.3)在式中令 (4.1.4)透鏡的位相變換因子 (4.1.5)其中(4.1.4)式正式高斯公式。以上結(jié)果表明，由于透鏡的位相變換作用，發(fā)散的球面波變?yōu)闀?huì)聚的球面波。 當(dāng)單位振幅平面波垂直于P1入射時(shí)，P2上的復(fù)振幅分布是： (4.1.8)傍軸條件下這是一個(gè)球面波的表達(dá)式。對(duì)于正透鏡，f > 0，上式所表示的是一個(gè)向透鏡后方f處的焦點(diǎn)F會(huì)聚的球面波；對(duì)于負(fù)

5、透鏡，f < 0，這是一個(gè)由透鏡前方-f處的虛焦點(diǎn)F發(fā)出的發(fā)散球面波。透鏡內(nèi)其他再考慮透鏡孔徑的有限大小，用P(x,y)表示孔徑函數(shù)(光瞳函數(shù))，其定義為 (4.1.7)于是透鏡的位相因子可表示為 (4.1.8)透鏡對(duì)光波的位相變換作用是由透鏡本身的性質(zhì)決定的，與入射光波復(fù)振幅的具體形式無(wú)關(guān)。可以是平面波、球面波、或者是特定分布的復(fù)振幅，但是必須滿(mǎn)足傍軸條件。4.2 透鏡的傅立葉變換性質(zhì)透鏡除成像外，還能實(shí)現(xiàn)傅立葉變換。第三章已經(jīng)討論過(guò)平面波垂直照射衍射屏的夫瑯禾費(fèi)衍射是衍射屏的傅里葉變換（除一因子），此外，在會(huì)聚光照明下的菲涅耳衍射，在會(huì)聚中心上場(chǎng)分布也是衍射屏函數(shù)的的傅里葉變換（除一

6、因子） ，兩種途徑的傅里葉變換都能通過(guò)透鏡比較方便的實(shí)現(xiàn)。第一種情況可在透鏡的后焦面上觀(guān)察夫瑯禾費(fèi)衍射；第二種情況可在照明光源的共軛面上觀(guān)察屏函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，實(shí)際上第二種情況是第一種情況的特例。下面就透明片（物）放在透鏡之前和透鏡之后兩種情況討論。4.2.1 物在透鏡前的傅立葉變換設(shè)照明點(diǎn)光源S在透鏡前距離為p處，與輸出面軸上點(diǎn)S成共軛點(diǎn)，即滿(mǎn)足成像關(guān)系，如圖4.2.1。要變換的透明物體放在透鏡前方處，物的復(fù)振幅透過(guò)率為，這個(gè)位置稱(chēng)為入射面。輸出面為x-y平面。這里認(rèn)為透鏡為無(wú)窮大，即不考慮透鏡孔徑的限制。圖中的p,q和d0等均取正值。在傍軸條件下，由單色點(diǎn)光源發(fā)出的球面波在物的前表面

7、上造成的成分布為：1) 照明光束在物平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為： 2)從輸入面上出射的光場(chǎng)： 3) 從輸入面出射到達(dá)透鏡平面，按照菲涅耳衍射公式，其復(fù)振幅分布： 4) 通過(guò)透鏡后的場(chǎng)分布：式中是(4.1.7)定義的光瞳函數(shù)。5) 輸出面即光源S的共軛面x-y 平面上的光場(chǎng)是：圖4.2.1 物在透鏡前方的傅立葉變換S是光瞳函數(shù)所確定的區(qū)域，將上式逐個(gè)代入并整理得：進(jìn)一步整理得： (4.2.1)在上面的化簡(jiǎn)中，應(yīng)用了物象共軛關(guān)系的高斯公式。(4.2.1)式是輸入面位于透鏡前，計(jì)算光源共軛面上場(chǎng)分布的一般公式。注意到照明光源同觀(guān)察面始終保持共軛關(guān)系，因此(4.2.1)中q 由照明光源的位置決定。下面討

8、論幾個(gè)特殊位置： (1) 輸入面位于透鏡前焦面，即，由(4.2.1)式得 (4.2.2)在這種情況下,衍射物體的復(fù)振幅透過(guò)率與衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布存在準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系。并且只要照明光源和觀(guān)察平面滿(mǎn)足共軛關(guān)系，與照明光源的具體位置無(wú)關(guān)?？臻g頻率與位置坐標(biāo)的關(guān)系始終為： (2) 輸入面緊貼透鏡，即d0 = 0，由(4.2.1)式得 (4.2.3)在此情況下，衍射物體的傅振幅透過(guò)率與觀(guān)察平面上的場(chǎng)分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個(gè)二次相位因子。觀(guān)察平面上的空間坐標(biāo)與空間頻率的關(guān)系為隨 q 的值而不同。也就是說(shuō)，頻率的空間尺度上能按一定的比例縮放，這對(duì)光學(xué)信息處理的應(yīng)用將帶來(lái)一定的靈活性。也能充

9、分利用透鏡孔徑。（3）當(dāng)光源位于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，也就是軸上平行光照明的情況，這時(shí)q = f , 對(duì)應(yīng)的觀(guān)察平面位于透鏡后焦面上，由(4.2.1)得 這種情況下, 物在任一位置，衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布與物體的復(fù)振幅透過(guò)率存在準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系。 4.2.2 物在透鏡后方的傅立葉變換物在透鏡后方的情況如圖4.2.2所示，類(lèi)似上述逐步計(jì)算的方法，容易得到入射到透鏡前表面P1上的場(chǎng)為：，從透鏡后表面P2出射的場(chǎng)為： S圖4.2.2物在透鏡后方的傅立葉變換從透鏡后出射到達(dá)物的前表面的光場(chǎng)為 (4.2.4)通過(guò)物體后出射光場(chǎng)為：在 x-y 平面上： (4.2.5)將(4.2.4) 代入(4.2.5) ，得 (4.

10、2.6)其中利用與前面推到相同的方法，可得： (4.2.7)由(4.2.3)和(4.2.7) 可以看出，不管衍射物體位于何種位置，只要觀(guān)察面是照明光源的共軛面（光源位于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，共軛面是透鏡的焦平面），則物面(輸入面)和觀(guān)察面(輸出面)之間的關(guān)系都是傅里葉變換關(guān)系，即觀(guān)察面上的衍射場(chǎng)都是Frauhofer衍射。顯然，當(dāng)d0=0，由（4.2.7）也可以得到（4.2.3）式。這就是說(shuō)物前后緊貼透鏡放置，在輸出面上的到的衍射場(chǎng)是等價(jià)的。對(duì)于物在透鏡前，光波從物到透鏡之間的傳播可以看成直線(xiàn)傳播，對(duì)于物在透鏡之后，投影的衍射物面上孔徑做等效代替，也就是說(shuō)，透鏡的孔徑效應(yīng)表現(xiàn)為(4.2.7)的被積函數(shù)附加

11、一個(gè)因子，于是有(4.2.8)4.3 透鏡的一般變換特性如前所述，照明光源和觀(guān)察面是一對(duì)成像關(guān)系的共軛面。所以，物透明片無(wú)論是放在透鏡前或透鏡后，除一常數(shù)相位因子外，觀(guān)察面總是物的頻譜面。下面討論物面和觀(guān)察面位置任意的情況。如圖4.3.1所示，正透鏡焦距為f，物位于透鏡之前d1處，像在透鏡后d2處，物像距透鏡的距離是任意的。單色平面波照射，物到透鏡前表面，滿(mǎn)足菲涅耳 衍射，面前的場(chǎng)分布 (4.3.1)考慮到透鏡的位相變換作用，透鏡面后的場(chǎng)分布 (4.3.2)0x0-y0x-yx-y1d1d2圖4.3.1 透鏡變換的一般性質(zhì)觀(guān)察面x-y上的場(chǎng)分布 上式中 (4.3.3) (4.3.4)其中 (4

12、.3.5)利用積分式 (4.3.6)對(duì)于的情況，可得 (4.3.7) (4.3.8)將(4.3.7)和(4.3.8)代入(4.3.4)，再將(4.3.4)代入(4.3.3)，得 (4.3.9)當(dāng)時(shí),后焦面作為觀(guān)察面時(shí)上式化為 (4.3.10)顯然，除一物透明片相位因子外，是的傅立葉變換。當(dāng)、與f不等時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)所謂分?jǐn)?shù)傅立葉變換。見(jiàn)第八章節(jié)。當(dāng)時(shí)，(4.3.10)中的二次相位因子被消除。 (4.3.11)是的準(zhǔn)確傅立葉變換。當(dāng)，即輸入和輸出滿(mǎn)足物象共軛關(guān)系時(shí)， (4.3.12) (4.3.13)上式應(yīng)用了函數(shù)的積分形式，將上兩式代入(4.3.3)，得 (4.3.14)在輸出面上得到放大倍的像，

13、同幾何光學(xué)結(jié)果相同。4.4 光學(xué)成像系統(tǒng)的空間變換特性物面可以看作無(wú)數(shù)小面元組成，每一小面元都可以看作加權(quán)函數(shù)，系統(tǒng)對(duì)函數(shù)響應(yīng)的像場(chǎng)分布稱(chēng)為點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(或脈沖函數(shù))，用表示 。對(duì)于成像系統(tǒng)，知道了，通過(guò)線(xiàn)性疊加，可求得像面場(chǎng)的分布。4.4.1 透鏡的線(xiàn)性特性現(xiàn)在研究在相干照明下，一個(gè)消像差的正薄透鏡對(duì)透明物成實(shí)像的情況。如圖4.4.1所示，物放置在距透鏡d0假定緊靠物后的復(fù)振幅分布為，點(diǎn)發(fā)出的單位脈沖為 ，沿光的傳播方向，逐面計(jì)算三個(gè)特定平面上的場(chǎng)份布，可以得到一個(gè)點(diǎn)源的輸入輸出關(guān)系。由（4.3.9）式可以得到，面前方 (4.4.1)圖4.4.1透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為任意一點(diǎn)，可省去撇號(hào)，略去常數(shù)

14、相位因子 (4.4.2)經(jīng)過(guò)焦距為f，孔徑函數(shù)為P(x,y)的透鏡后，即面后方 (4.4.3)面上的光場(chǎng)是輸入光脈沖從透鏡后表面、經(jīng)過(guò)菲涅耳衍射到達(dá)觀(guān)察面引起的復(fù)振幅分布或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，寫(xiě)為 (4.4.4)利用物像關(guān)系得 (4.4.5)上式比較復(fù)雜，現(xiàn)在來(lái)研究如何簡(jiǎn)化上式：由于不影響光強(qiáng)分布，可略去。但不能略去，因?yàn)樗鼌⑴c積分，對(duì)像面光場(chǎng)有貢獻(xiàn)。當(dāng)透鏡孔徑比較大時(shí)，衍射不顯著，像斑很小，物象點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)系 （透鏡的橫向放大率）可作如下近似：近似后的位相因子不會(huì)影響不再依賴(lài)，因此也不影響面上的強(qiáng)度分布，可略去。這樣，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)變?yōu)?(4.4.6)將代入上式，有 (4.4.7)式中，于是上式寫(xiě)成 (4

15、.4.8)上式表明，傍軸條件下，透鏡成像系統(tǒng)是空間不變的。而且，透鏡的脈沖響應(yīng)就等于透鏡孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其中心位于理想像點(diǎn)處。透鏡衍射作用的大小取決于波長(zhǎng)和像距的比例。令 則(4.4.8)變?yōu)?(4.4.9)這就是透鏡的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的表達(dá)式。當(dāng)孔徑比大得多時(shí)，在無(wú)限大的區(qū)域內(nèi)的值均為一，則 (4.4.10)這時(shí)物點(diǎn)成像點(diǎn)，即幾何光學(xué)理想像。4.4.2 一般光學(xué)成像系統(tǒng)的線(xiàn)性特性1）一般光學(xué)系統(tǒng)的黑箱模型前面我們討論光學(xué)系統(tǒng)時(shí)，忽略了系統(tǒng)的衍射，點(diǎn)物通過(guò)系統(tǒng)成一個(gè)理想象點(diǎn)?，F(xiàn)在考慮光學(xué)系統(tǒng)的衍射限制。所謂衍射受限，是指不考慮系統(tǒng)的幾何像差，僅僅考慮系統(tǒng)的衍射限制。在考察衍射受限系統(tǒng)時(shí)，實(shí)際

16、上主要是考察孔徑光闌的衍射作用?？讖焦怅@在物空間所成的像稱(chēng)為入射光瞳，簡(jiǎn)稱(chēng)入瞳；孔徑光闌在像空間所成的像稱(chēng)為出射光瞳，簡(jiǎn)稱(chēng)出瞳。由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通過(guò)系統(tǒng)，成為被出射光瞳所限制的像方光束。如圖（4.4.2）所示，任一成像系統(tǒng)都可分為三部分：（1）從物面到入瞳面；（2）從入瞳面到出瞳面；（3）從出瞳面到像面。 圖4.4.2 成像系統(tǒng)的黑箱模型黑箱（光組）在(1)、(3)部分傳播過(guò)程中，可用菲涅耳衍射處理。對(duì)于(2)部分的光學(xué)系統(tǒng)，在等暈條件下，可把它當(dāng)作一個(gè)“黑箱”來(lái)處理， “黑箱”的兩個(gè)邊端為入瞳和出瞳，只要能確定黑箱兩個(gè)邊端的性質(zhì)，整個(gè)光學(xué)組的性質(zhì)便可確定，無(wú)需深究?jī)?nèi)部結(jié)構(gòu)。

17、所謂邊端性質(zhì)是指成像光波在入瞳和出瞳平面上的性質(zhì)。實(shí)際光組的邊端性質(zhì)千差萬(wàn)別，但總體分兩類(lèi)：衍射受限系統(tǒng)和有像差的系統(tǒng)。當(dāng)像差很小，系統(tǒng)的孔徑和視場(chǎng)都不大時(shí)，實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)就可近似看作衍射受限系統(tǒng)。系統(tǒng)的邊端性質(zhì)是，物面上任一點(diǎn)源發(fā)出的發(fā)散球面波投射到入瞳上，被光組變換為出瞳上會(huì)聚球面波。對(duì)于有像差系統(tǒng)，輸入為球面波時(shí)，輸出偏離理想球面波。偏離程度由波像差決定。阿貝認(rèn)為衍射效應(yīng)是由于有限的入瞳大小引起的，而瑞利則認(rèn)為衍射來(lái)自出瞳。兩者看法等價(jià)，現(xiàn)采用瑞利的觀(guān)點(diǎn)。由物點(diǎn)發(fā)出的球面波，在像方得到的將是一個(gè)被出瞳所限制的球面波，這個(gè)球面波是一理想像點(diǎn)為中心的。由于出射光瞳的限制作用，在像面上將產(chǎn)生以理

18、想像點(diǎn)為中心的出瞳孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射。因此，物平面上物點(diǎn)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)在共軛像面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為： (4.4.11)式中K為常數(shù)，P(x,y)出瞳函數(shù)，出瞳之內(nèi)其值為1，之外為零。為出瞳面到像面的距離。在推導(dǎo)（4.4.11）時(shí)忽略了關(guān)于和的二次項(xiàng)因子。(4.4.11)式表明，脈沖響應(yīng)為光瞳函數(shù)的傅里葉變換，即衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是光學(xué)系統(tǒng)出瞳的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。其中心在幾何光學(xué)的理想像點(diǎn) 處。 對(duì)物面和光瞳平面上的坐標(biāo)進(jìn)行變換，令 則 (4.4.12)這就是衍射受限系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的普遍表達(dá)式。當(dāng)光瞳相對(duì)于足夠大時(shí)，在無(wú)限大區(qū)域內(nèi)都為1 ，上式可寫(xiě)為： (4.4.13)上式表明，當(dāng)

19、可以忽略光瞳的衍射時(shí)，點(diǎn)的脈沖通過(guò)通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后在像面上得到的仍然是點(diǎn)脈沖，這便是幾何光學(xué)理想成像的情況。2）相干光照明下一般成像系統(tǒng)的線(xiàn)性特性現(xiàn)在討論如何確定某一給定的物復(fù)振幅分布通過(guò)受限系統(tǒng)后，在像面上形成的像復(fù)振幅分布和光強(qiáng)分布。一個(gè)確定的物分布總可以很方便的分解成無(wú)數(shù)函數(shù)的線(xiàn)性組合，而每一個(gè) 函數(shù)可按(4.4.13)求其響應(yīng)，但響應(yīng)結(jié)果和物面的照明有關(guān)。如果物面上某兩個(gè)脈沖是相干的則這兩個(gè)脈沖在像面上的響應(yīng)便是相干疊加；若這兩個(gè)脈沖是非相干的，則相應(yīng)是強(qiáng)度疊加。所以對(duì)于不同的照明光源，衍射受限系統(tǒng)的成像特性是不同的。對(duì)于相干照明系統(tǒng)，物面上是完全相干的，輸入光場(chǎng)可看作無(wú)窮電源的疊加

20、，表示為 (4.4.14)由于光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)，像面上的復(fù)振幅分布可按(4.1.6)，由物的復(fù)振幅分布和（4.4.11）或（4.4.12）表示的脈沖響應(yīng)函數(shù)的疊加積分得到，在這個(gè)積分中出現(xiàn)了三組坐標(biāo)，不是嚴(yán)格意義上的卷積，為了說(shuō)明系統(tǒng)的空間不變性，進(jìn)一步做變量代換，減去一組坐標(biāo)。 物面上每個(gè)點(diǎn)通過(guò)系統(tǒng)后在像面上形成脈沖響應(yīng)，這些相應(yīng)相干疊加，得到像的復(fù)振幅分布為： (4.4.15)下面討論(4.4.15)式的物理意義，(4.4.13)式代表的是理想成像的脈沖響，將它代入到(4.4.15）得到的像應(yīng)該是理想像的振幅分布，用表示 (4.4.16)可見(jiàn)理想像與物的分布是一樣的，只是在方向放大了M倍

21、。由于，因此與的圖形是相同的，把稱(chēng)為的像。令 (4.4.17)將(4.4.16)、 (4.4.17)代入 (4.4.15) 得 (4.4.18)上式的物理意義是，物分布通過(guò)衍射受限系統(tǒng)后的像分布 是的理想像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。這說(shuō)明，不僅對(duì)于薄透鏡系統(tǒng)，而且對(duì)于更普遍的衍射受限系統(tǒng)由此的光強(qiáng)為：仍然可以看作線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，由可得到像的強(qiáng)度 (4.4.19)將(4.4.12)代入(4.4.17)可得到 (4.4.20)此式為衍射受限成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與光瞳函數(shù)的關(guān)系式。由于系統(tǒng)為空間不變系統(tǒng)，可用的脈沖相應(yīng)表示成像系統(tǒng)的特性，即 (4.4.21)可見(jiàn)，在相干照明條件下，對(duì)于衍射受限成像系統(tǒng)，

22、表征的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，僅決定于系統(tǒng)的光瞳函數(shù)。因此對(duì)于衍射受限成像系統(tǒng)非常重要。4.5 光學(xué)成像系統(tǒng)的的頻率特性及其傳遞函數(shù)4.5.1相干成像系統(tǒng)的的頻率特性和相干傳遞函數(shù)由（4.4.18）式可知，相干照明下的衍射受限系統(tǒng)滿(mǎn)足。由表征的響應(yīng)系統(tǒng)為空間不變系統(tǒng)，此系統(tǒng)在頻率描述更為方便。頻率中描述系統(tǒng)的成像特性的頻譜函數(shù)成為衍射受限系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)，記作 CTF 。 相干成像系統(tǒng)的物像關(guān)系由式(4.4.18) 中的卷積積分描述。該卷積積分把物點(diǎn)看作基元，而像點(diǎn)是物點(diǎn)產(chǎn)生的衍射圖樣在該點(diǎn)處的相干疊加。從頻域來(lái)分析成像過(guò)程，把復(fù)指數(shù)函數(shù)作為系統(tǒng)的本征函數(shù)，考察系統(tǒng)對(duì)各種頻率成分的傳遞特性。定義輸入頻譜

23、和輸出頻譜分別為 (4.5.1) (4.5.2)相干傳遞函數(shù)CTF 為 (4.5.3)將(4.4.21)代入(4.5.3)，得 (4.5.4)上式表明，CTF等于光瞳函數(shù)，僅在空域坐標(biāo)和頻域坐標(biāo)之間存在著一定的坐標(biāo)縮放關(guān)系，即將光瞳函數(shù)中的坐標(biāo)變量x,y換成頻率變量就可以。 一般光瞳函數(shù)總是取 1和0兩個(gè)值，所以CTF也是取 1和0兩個(gè)值。若由決定的的值在光瞳內(nèi) ，則這種頻率的指數(shù)基元按原樣在像分布中出現(xiàn)，既沒(méi)有振幅的衰減也沒(méi)有位相的變化，即CTF對(duì)此頻率的值為 1 。若由決定的的值在光瞳外 ，則系統(tǒng)將完全不能讓此種頻率的指數(shù)基元通過(guò)，即CTF對(duì)此頻率的值為 0 。這就是說(shuō)衍射系統(tǒng)是一個(gè)低通濾

24、波器 ，只允許最高空間頻率為的光波通過(guò)，為系統(tǒng)截至頻率。不考慮孔徑大小時(shí),P恒為 1 ，整個(gè)面上,沒(méi)有任何信息丟失，像是理想成像。如果在一個(gè)反演坐標(biāo)中定義 P ，則可以去掉(4.5.4)中的負(fù)號(hào)，寫(xiě)為 (4.5.5)對(duì)于直徑為D的圓形光瞳，其孔徑函數(shù)取 由(4.5.5)得到其相干傳遞函數(shù) (4.5.6)由圓柱函數(shù)的定義可知，在之內(nèi)，在之外，故截止頻率為例如，出瞳直徑D=60mm，出瞳與像面距離di=200mm，照明光波長(zhǎng)=600nm，則系統(tǒng)截至頻率為 由于是圓形光瞳，任何方向的截止頻率均相等。這里是像面上的截止頻率，而物面上的截止頻率。如果光瞳是邊長(zhǎng)為a的正方形，光瞳函數(shù)是 則相干傳遞函數(shù)為

25、（4.5.7）顯然，不同方位截至頻率不同，在軸方向上，系統(tǒng)的截至頻率。系統(tǒng)的最大截至頻率在與x軸成角方向上，此時(shí)截至頻率。 例題4.1 用一直徑為D、焦距為f的理想單透鏡對(duì)相干照明物體成像。若物方空間截止頻率為，試問(wèn)當(dāng)系統(tǒng)的放大率M為何值時(shí)，有最大值？解：設(shè)物距為，像距為，為使系統(tǒng)成實(shí)像時(shí)M為正，將像面坐標(biāo)相對(duì)于物面坐標(biāo)反演，于是M可表示成 或 此系統(tǒng)的光瞳函數(shù)是直徑為D的圓形孔徑，其截止頻率，考慮物、象空間截止頻率的關(guān)系，則有 或者 為求得當(dāng)取最大值時(shí)的放大倍數(shù)M，將對(duì)M求導(dǎo)并令其為零，得到 因此，只有當(dāng)放大倍數(shù)為無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)才有最大的空間截止頻率，此截止頻率為 此時(shí)，物置于透鏡前焦面，像

26、在像方無(wú)窮遠(yuǎn)，在物空間的通頻帶為 例題4.2 如圖4.5.1所示，兩個(gè)相干成像系統(tǒng)，所用透鏡的焦距都相同。單透鏡系統(tǒng)中光瞳直徑為D，雙透鏡系統(tǒng)為了獲得相同的截止頻率，光闌直徑a應(yīng)等于多大（相對(duì)于D寫(xiě)出關(guān)系式）。解：這兩個(gè)系統(tǒng)都是橫向放大率為1的系統(tǒng)，故不必區(qū)分物方截止頻率和像方截止頻率。對(duì)于單透鏡系統(tǒng)的截止頻率為 圖4.5.1兩個(gè)相干成像系統(tǒng)D2f2faffff根據(jù)相干傳遞函數(shù)的意義，凡是物面上各面元發(fā)出的低于空間頻率的平面波均能無(wú)阻擋地通過(guò)此成像系統(tǒng)。對(duì)于雙透鏡成像系統(tǒng)，其孔徑光闌置于頻譜面上，故入射光瞳和出射光瞳分別在物方和像方無(wú)窮遠(yuǎn)處，入瞳與孔徑光闌保持物象共軛關(guān)系，孔徑光闌與出瞳也保持

27、物象共軛關(guān)系。對(duì)于這種放大率為1的系統(tǒng)，能通過(guò)光闌的最高空間頻率也必定能通過(guò)入瞳和出瞳，即系統(tǒng)的截止頻率可通過(guò)光闌的尺寸來(lái)計(jì)算。為保證4f系統(tǒng)物面上每一面元發(fā)出的低于某一空間頻率的平面波均能無(wú)阻擋地通過(guò)此成像系統(tǒng)，則要求光闌直徑a應(yīng)不小于透鏡直徑與物面直徑之差。于是相應(yīng)的截止頻率為 按照題意要求兩者相等，即，于是得到 4.5.2非相干成像系統(tǒng)的特性和光學(xué)傳遞函數(shù)非相干照明下，物面上各點(diǎn)的振幅和位相隨時(shí)間變化是彼此獨(dú)立的，因此，像面上的場(chǎng)分布是各點(diǎn)的強(qiáng)度分布的疊加（非相干疊加），光傳播時(shí)，光的非相干疊加對(duì)于強(qiáng)度是線(xiàn)性的，非相干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線(xiàn)性函數(shù)。在等暈區(qū)光學(xué)成像系統(tǒng)是空間不變的，因而，非相

28、干成像系統(tǒng)是強(qiáng)度的線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)。1）光學(xué)傳遞函數(shù)非相干線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，物、像光強(qiáng)分布之間的關(guān)系是線(xiàn)性的，對(duì)復(fù)振幅分布不是線(xiàn)性的。非相干照明光下，物、象光強(qiáng)之間滿(mǎn)足下列卷積 （4.5.8）式中是幾何光學(xué)理想成像的強(qiáng)度分布，為強(qiáng)度分布，k是常數(shù)。為強(qiáng)度脈沖響應(yīng)函數(shù)，是點(diǎn)物產(chǎn)生的像斑強(qiáng)度分布，。這表明，在非相干照明下，線(xiàn)性空間不變成像系統(tǒng)的像強(qiáng)度分布是理想像的強(qiáng)度分布與強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積，系統(tǒng)的成像特性由表示，而又由 決定。對(duì)于非相干照明下的強(qiáng)度線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，在頻域中來(lái)描述物象關(guān)系更為方便，將（4.5.8）兩邊進(jìn)行傅立葉變換，略去常數(shù)后得 （4.5.9）其中 和為非負(fù)實(shí)函數(shù)，因而，其傅立

29、葉變換必定有一個(gè)常數(shù)分量即零頻分量。像的清晰與否，取決于光強(qiáng)非0分量相對(duì)于零頻的比值大小，因此討論和相對(duì)零頻的分量的比值更有意義，這樣需要用零頻對(duì)它們須歸一化 （4.5.10） （4.5.11）（4.5.12）由（4.5.9）和，得到歸一化的頻譜滿(mǎn)足 （4.5.13）非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)（OTF)，OTF描述了非相干成像系統(tǒng)在頻域的響應(yīng)能力。可以用模和輻角表示 （4.5.14）由（4.5.12）和（4.5.13）可以得到 （4.5.15） 稱(chēng)為調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF), 它描述了系統(tǒng)對(duì)頻率分量對(duì)比度的傳遞特性， 稱(chēng)為相位傳遞函數(shù)（PT F），它描述了系統(tǒng)對(duì)各頻率分量施加的相移。因?yàn)镮i、

30、Ig、hI是非負(fù)的實(shí)函數(shù)，它們的歸一化頻譜和都是厄密函數(shù)，余弦函數(shù)是這種系統(tǒng)的本證函數(shù)，即輸入是余弦強(qiáng)度分量在經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后輸出仍為同頻率的余弦變化函數(shù)，其對(duì)比度和相位的變化決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的模和輻角。也就是說(shuō)，如果把輸入物看做強(qiáng)度透過(guò)率呈余弦變化的不同頻率的光柵的線(xiàn)性組合，在成像過(guò)程中，OTF的唯一影響只是改變這些余弦函數(shù)的對(duì)比度好位相。對(duì)于強(qiáng)度為余弦變化的輸入 經(jīng)過(guò)非相干成像系統(tǒng)成像后得到的輸出為（4.5.16）顯然，余弦條紋通過(guò)線(xiàn)性空間不變成像系統(tǒng)，輸出仍然是同頻率的余弦條紋，但振幅和位相變化了。這種變化取決于系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。對(duì)于強(qiáng)度余弦變化分布，調(diào)制度是非常重要的參數(shù)，定義為 物和

31、像的調(diào)制度為 由上兩式得 （4.5.17）而的輻角顯然是余弦像和余弦物的位相差，即 （4.5.18）像的對(duì)比度等于物的對(duì)比度與相應(yīng)頻率的MTF的乘積，PTF給出了相應(yīng)的相移。當(dāng)為2時(shí)，表示錯(cuò)開(kāi)了一個(gè)條紋，當(dāng)為，錯(cuò)開(kāi)了個(gè)條紋。由此可見(jiàn)，光學(xué)傳遞函數(shù)的模表示物分布中頻率為的余弦基元通過(guò)系統(tǒng)后振幅的衰減（），因而把叫做調(diào)制傳遞函數(shù)。而的輻角表示頻率為的余弦像分布相對(duì)于物或理想像的橫向位移量，所以把稱(chēng)為位相傳遞函數(shù)。MTFfxMTFfx10ab圖 4.5.2調(diào)制傳遞函數(shù)隨空間頻率的變化0FaoFao Fbo調(diào)制傳遞函數(shù)曲線(xiàn)是一個(gè)隨空間頻率遞減的曲線(xiàn)，如圖4.5.2所示，當(dāng)增加到使MTF減小到0時(shí)，物的

32、調(diào)制度V無(wú)論多大，像的調(diào)制度為0，這時(shí)光能量接收器感知不到像的結(jié)構(gòu)，與此對(duì)應(yīng)的空間頻率稱(chēng)為光學(xué)系統(tǒng)的截至頻率。由MTF曲線(xiàn)還可以看出：無(wú)論用一個(gè)截至頻率還是分變率極限，一個(gè)指標(biāo)是不充分表征光學(xué)系統(tǒng)的成像性能，只能用整個(gè)曲線(xiàn)評(píng)價(jià)像質(zhì)，如圖所示，從截至頻率fa0, fb0評(píng)價(jià)就不妥，應(yīng)根據(jù)使用目的來(lái)權(quán)衡調(diào)制度和分本領(lǐng)的響度重要性。如電視攝像機(jī)鏡頭，它不需要很高的分辨本領(lǐng)，卻要求對(duì)低調(diào)制度物和景物得到盡可能的豐富和對(duì)比度明顯的像，為此以曲線(xiàn)a代表的鏡頭為好，因?yàn)樗鼘?duì)低頻的調(diào)制傳遞函數(shù)高；相反，如用于光刻鏡頭，由于它的目標(biāo)是調(diào)制度高的黑白線(xiàn)條或圖案，要求是要分辨本領(lǐng)盡可能的高，因此b曲線(xiàn)代表的鏡頭為宜

33、。2）光學(xué)傳遞函數(shù)和相干傳遞函數(shù)的關(guān)系相干傳遞函數(shù)和光學(xué)傳遞函數(shù)分別描述同一系統(tǒng)采用相干和非相干照明的傳遞函數(shù)，兩者都決定于光學(xué)系統(tǒng)的本身的物理特性，因此兩者之間一定有聯(lián)系。由（4.5.12）式和自相關(guān)定理 及Parseval 定理(見(jiàn)附錄) 得到 （4.5.19）因此，對(duì)同一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，光學(xué)傳遞函數(shù)等于想干傳遞函數(shù)Hc的自相關(guān)歸一化函數(shù)。這一結(jié)論是在的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，所以，它對(duì)有像差系統(tǒng)和沒(méi)有像差系統(tǒng)都完全成立。對(duì)于相干照明的衍射受限系統(tǒng)，由（4.5.4）可知，把它代人式(4.5.19)，得到（4.5.20）令，積分變量的替換不會(huì)影響積分結(jié)果，于是得與的關(guān)系如下: （4.5.21）對(duì)于光瞳函數(shù)只

34、有 1和0兩個(gè)值的情況，分母中的可以寫(xiě)成。公式表明衍射受限系統(tǒng)的OTF是光瞳函數(shù)的自相關(guān)歸一化函數(shù)。研究式(4.5.21)可得到OTF的重要幾何解釋。一般情況下光瞳函數(shù)只有 1和0兩個(gè)值，式中分母是光瞳的總面積 S0，如圖 4.5.3(a)所示，分子代表中心位于的經(jīng)過(guò)平移的光瞳與原光瞳的重疊面積，求衍射受限系統(tǒng)的OTF只不過(guò)是計(jì)算歸一化重疊面積，即 （4.5.22）xyS00xy0(a)光瞳總面積S0 （b）光瞳重疊面積S圖 4.5.3 衍射受限系統(tǒng)OTF的集合解釋如圖4.5.3(b)所示，重疊面積取決于兩個(gè)錯(cuò)開(kāi)的光瞳的相對(duì)位置，也就是和頻率有關(guān)。對(duì)于簡(jiǎn)單幾何形狀的光瞳不難求出歸一化重疊面積的

35、數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于復(fù)雜的光瞳，可用計(jì)算機(jī)計(jì)算在一系列分立頻率上的OTF。從上述的幾何解釋?zhuān)浑y了解衍射受限系統(tǒng)OTF的一些性質(zhì)。(1). 是實(shí)的非負(fù)函數(shù)。因此衍射受限的非相干成像系統(tǒng)只改變各頻率余弦分量的對(duì)比，而不改變它們的相位，即只需考慮 MTF，而不必考慮PTF。(2) 。當(dāng)時(shí)，兩個(gè)光瞳完全重疊，歸一化重疊面積為1，這正是OTF歸一化的結(jié)果，這并不意味著物和像的平均(背景)光強(qiáng)相同。由于吸收、反射、散射及光闌擋光等原因，像面平均(背景)光強(qiáng)總要弱于物面光強(qiáng)。但從對(duì)比度考慮，物、像方零頻分量的對(duì)比度都是單位值，無(wú)所謂衰減，所以。0xy(a)方形光瞳的重疊面積 (b)方形光瞳的 OTF圖 4.5

36、.4 方形光瞳衍射受限 OTF的計(jì)算(3) 。這一結(jié)論很容易從兩個(gè)光瞳錯(cuò)開(kāi)后重疊的面積小于完全重疊面積得出。(4) 有一截止頻率。當(dāng)足夠大，兩光瞳完全分離時(shí)，重疊面積為零。此時(shí)，=0，即在截止頻率所規(guī)定的范圍之外，光學(xué)傳遞函數(shù)為零，像面上不出現(xiàn)這些頻率成分。例4.3 方形光瞳。衍射受限非相干成像系統(tǒng)的光瞳為邊長(zhǎng) 1的正方形，求其光學(xué)傳遞函數(shù)。解 此時(shí)的光瞳函數(shù)可表示為 顯然光瞳總面積，當(dāng)在x、y方向分別位移以后，得，從圖 4.5.4 (a)可以求出 P(x, y)和的重疊面積。由圖可得其他光學(xué)傳函數(shù)為 （4.5.23）式中是同一系統(tǒng)采用相干照明的截至頻率。非相干系統(tǒng)沿和軸方向截至頻率是，圖4.

37、5.4表示這一結(jié)果。 例4.4圓形光瞳。設(shè)圓形光瞳的直徑為D，求此系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。解 光瞳的面積。由于圓的對(duì)稱(chēng)性，兩光瞳沿任意方向錯(cuò)開(kāi)相同距離的重疊面積都相等，因而光學(xué)傳遞函數(shù)也是圓對(duì)稱(chēng)的。這樣，只要計(jì)算出某一方向(例如fx方向)的光學(xué)傳遞函數(shù)，繞垂直軸旋轉(zhuǎn)一周就可得到頻率空間內(nèi)的分布了。如圖4.5.5所示，當(dāng)兩個(gè)光瞳沿fx方向錯(cuò)開(kāi)后，其交疊面積為弓形面積的2倍，由幾何公式可得交疊面積為0ABxdifxyH(fx,fy)0fyfx(a)圓形光瞳的重疊面積(b)圓形光瞳的OTF圖4.5.5圓形光瞳的光學(xué)傳遞函數(shù)計(jì)算其中，在截至頻率內(nèi)截至頻率滿(mǎn)足，也就是兩個(gè)圓中心距離大于止境D時(shí)，重疊面積為。

38、這種系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)的截至頻率，顯然光學(xué)傳遞函數(shù)的截至頻率恰好又是，圖4.5.5（b）給出了光瞳函數(shù)為圓域函數(shù)是的示意圖。在極坐標(biāo)中的表達(dá)式為 （4.5.24）式中4.6 實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)前面討論衍射受限系統(tǒng)時(shí)沒(méi)有考慮系統(tǒng)像差，但是，任何個(gè)實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)總是存在像差的。根據(jù)波像差理論，像差的存在使得出瞳上的實(shí)際波前偏離理想球面波前，這一偏差是位相偏差引起的。因此，像差的存在要影響成像系統(tǒng)的頻率特性。本節(jié)主要討論像差對(duì)光學(xué)成像系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響。1.廣義光瞳函數(shù)對(duì)于有像差的光學(xué)系統(tǒng)，為了應(yīng)用衍射受限系統(tǒng)的研究結(jié)論，同時(shí)又能反映系統(tǒng)像差的影響，引入“廣義光瞳函數(shù)”的概念。因?yàn)楣鈱W(xué)成像系統(tǒng)的像

39、差使出射光瞳上的波前產(chǎn)生畸變，這相當(dāng)于再衍射受限系統(tǒng)的出瞳上加了一個(gè)相位板，其上的位相分布取決于成像系統(tǒng)的波像差分布。如果用表示出射光瞳上的實(shí)際波前與理想波前的光程差，則出射光瞳的復(fù)振幅函數(shù)可表示為 （4.6.1）式中是衍射受限成像系統(tǒng)的光瞳函數(shù)，就是廣義光瞳函數(shù)，有了廣義光瞳函數(shù)，就可以用它代替衍射受限系統(tǒng)的CTF和OTF公式中的，處理有像差光學(xué)成像系統(tǒng)的成像問(wèn)題。 2實(shí)際光學(xué)成像系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù) 前面以討論過(guò)，衍射受限成像系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)是光瞳函數(shù)的連續(xù)兩次傅里葉變換，即等于頻城變量的光瞳函數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)存在像差時(shí)，只要用廣義光瞳函數(shù)代替光瞳，便可得到實(shí)際成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)： （4.6

40、.2） 與衍射受限系統(tǒng)相比，實(shí)際成像系統(tǒng)的CTF只是多了一個(gè)位相偏差因子。該位相因子影響像的對(duì)比度，不會(huì)改變系統(tǒng)的截止頻率。系統(tǒng)的截止頻率仍然僅取決于光瞳函數(shù) 3實(shí)際光學(xué)成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)與研究有像差的相干成像系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)類(lèi)似，由衍射受限系統(tǒng)的OTF公式（4.5.21）和廣義光瞳函數(shù)，可以得到有像差光學(xué)成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù) （4.6.3）廣義光瞳函數(shù)的相位因子不影響（4.6.3）中分母的積分值，它仍然是光瞳的面積S0，分子的積分區(qū)域仍然是和的重疊區(qū)，于是（4.6.3）簡(jiǎn)寫(xiě)為MTFPTF121.000fx1.衍射受限系統(tǒng)2.有像差系統(tǒng)圖4.6.1有像差與無(wú)像差系統(tǒng)光學(xué)傳遞函數(shù)比較（4

41、.6.4）式（4.6.4）給出了有像差光學(xué)系統(tǒng)的相位畸變與光學(xué)傳遞函數(shù)的關(guān)系。當(dāng)波像差為零時(shí)，所得結(jié)果與式（4.5.23）一致。對(duì)于像差不為零的情況，光學(xué)傳遞函數(shù)是復(fù)函數(shù)，像差不為零不僅影響輸入各頻率成分的對(duì)比度，而且也產(chǎn)生相移，利用舒瓦茨不等式，可以證明 （4.6.5）因此，像差會(huì)進(jìn)一步降低成像質(zhì)量。差成侮系統(tǒng)的M丁F，即有像差時(shí)成像系統(tǒng)傳遞信息的能力會(huì)降低。當(dāng)像差非常嚴(yán)重時(shí)，它可能會(huì)導(dǎo)致MTF在某些頻率上出現(xiàn)負(fù)值，如圖圖4.6.1所示。這時(shí)，像在這些頻率上會(huì)發(fā)生襯度反轉(zhuǎn)，原強(qiáng)度的峰值變成強(qiáng)度的最小值，而原強(qiáng)度的最小值則變?yōu)閺?qiáng)度的蜂值，從而在圖像上出現(xiàn)間斷的現(xiàn)象。 4.成像系統(tǒng)離焦時(shí)的光學(xué)傳

42、遞函數(shù) 現(xiàn)在討論光學(xué)成像系統(tǒng)存在離焦誤差所引起的波像差的情況。設(shè)為理想的球面波波前，它會(huì)聚于焦點(diǎn)F處，焦點(diǎn)F到出瞳的距離為di，如圖4.6.2所示。離焦球面波會(huì)聚于F1點(diǎn)，F(xiàn)1點(diǎn)到出瞳的距離為，為離焦量，設(shè)由于離焦而引起的波像差為，則以為半徑的理想球面波可以看成由以為半徑的球面波通過(guò)光學(xué)厚度函數(shù)為的位相板之后得到，即 FF1didi圖4.6.2成像系統(tǒng)離焦引起的波像差A(yù)(x,y) 于是 （4.6.6）當(dāng)像面準(zhǔn)確聚焦時(shí)，透鏡定律成立，當(dāng)像面離焦時(shí)，則有，式中表示離焦程度，顯然有 （4.6.7）將（4.6.7）代入（4.6.6）式中得到 （4.6.8）因此，成像系統(tǒng)離焦時(shí)的廣義光瞳函數(shù)為 （4.6

43、.9）相應(yīng)的相干傳遞函數(shù)為 （4.6.10）下面計(jì)算離焦成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。為此，設(shè)成像系統(tǒng)的光瞳是邊長(zhǎng)為l的正方形，其相干截止頻率，沿x軸(或y軸)的最大離焦量對(duì)應(yīng)的光程差為 （4.6.11）像差可用最大光程差表示 （4.6.12）將上式代入到光學(xué)傳遞函數(shù)（4.6.3），經(jīng)過(guò)一系列積分運(yùn)算，并用總面積歸一化，最后得到 （4.6.13）離焦程度不同的光學(xué)傳遞函數(shù)如圖4.6.3所示，當(dāng)時(shí)，是衍射受限系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，為一直線(xiàn)。當(dāng)時(shí)，或，曲線(xiàn)總在直線(xiàn)下面，這表明有像差的光學(xué)傳遞函數(shù)小于無(wú)像差時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)。當(dāng)時(shí)，光學(xué)傳遞函數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，在光學(xué)傳遞函數(shù)小于0處出現(xiàn)了離焦系統(tǒng)的光學(xué)對(duì)比度反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

44、w=0/8/4/21.00.500.51.0fx/2 fx0H(fx,0)圖4.6.3離焦系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù) 4.7 相干與非相干成像系統(tǒng)的比較 由前面的討論可知，對(duì)同一個(gè)成橡系統(tǒng)，非相干成像系統(tǒng)的截至頻率是相干成像系統(tǒng)截止頻率的兩倍。這好像是說(shuō)，對(duì)同一個(gè)成像系統(tǒng)，用非相干照明比用相干照明的成像效果更好。但是實(shí)際并非如此簡(jiǎn)單。這是因?yàn)橄喔山刂诡l率確定的是像的復(fù)振幅分布中的最高頻率分量，而非相干的截止頻率則是像的強(qiáng)度分布中的最高頻率分量。振幅和光強(qiáng)不是同一物理量，因而不能直接進(jìn)行比較。無(wú)論是相干照明還是非相干照明，通常最終接收的是像的強(qiáng)度分布，因而必須將相干照明情況下對(duì)復(fù)振幅的描述轉(zhuǎn)換成對(duì)光強(qiáng)度

45、的描述，然后通過(guò)強(qiáng)度分布來(lái)進(jìn)行比較比較恰當(dāng)。下面從像強(qiáng)度頻譜與對(duì)比度和兩點(diǎn)問(wèn)的分辨率兩個(gè)方來(lái)進(jìn)行比較，研究同個(gè)成像系統(tǒng)在兩種不同類(lèi)型照明情況下所成的像的某些差異。4.7.1 像的強(qiáng)度頻譜與對(duì)比度為了比較像強(qiáng)度的頻譜和對(duì)比度。我們先考察相干和非相干情況下像強(qiáng)度分布的頻譜。相干照明和非相干照明時(shí)的像強(qiáng)度分別為和分別對(duì)上兩式進(jìn)行傅里葉變換，并應(yīng)用卷積定理和相關(guān)定理，得到相干照明時(shí) （4.7.1）非相干照明時(shí) （4.7.2）式中是物或者理想幾何像振幅分布的頻譜，是相干傳遞函數(shù)。由此可見(jiàn)，在兩種情況下像強(qiáng)度的頻譜的確不同，但仍不能得出哪種情況更好，因?yàn)槌上窠Y(jié)果不僅依賴(lài)于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與照明光的相干性，而且與

46、物的空間結(jié)構(gòu)有關(guān)。下面舉兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例1 物體的復(fù)振幅透過(guò)率為 （4.7.3）將此物通過(guò)一放大率為1的光學(xué)系統(tǒng)成像。系統(tǒng)的出瞳是半徑為a的圓孔，并且，為出瞳到像面的距離，為照明光波長(zhǎng)，試問(wèn)對(duì)該物體成像，采用相干照明和非相干照明，哪種照明方式更好？解：當(dāng)采用相干照明時(shí)，對(duì)于半徑為a的圓形出瞳，其截至頻率為。由于系統(tǒng)的橫向放大率為1，物和理想像大小相等，空間頻率相同。由題設(shè)條件 ，可得。將物函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，得到 （4.7.4）此物函數(shù)的基頻為，所以在相干照明下，成像系統(tǒng)只允許零頻分量通過(guò)，而其他頻率分量均被擋住，所以物不能成像，像面呈均勻強(qiáng)度分布。在非相干照明條件下，系統(tǒng)的截止頻率為大于

47、物的基頻2/b，所以零頻和基頻均能通過(guò)系統(tǒng)參與成像，因此像面上有圖像存在，盡管想的基頻被衰減，高頻被截至了。顯然非相干成像比相干成像好。例2 在上題中，如果物體的復(fù)振幅透過(guò)率為結(jié)論又如何？解 和的振幅分布隨不同，但有相同的強(qiáng)度分布，下面分析它們通過(guò)系統(tǒng)的成像情況。對(duì)于相干照明，理想像的復(fù)振幅分布為，其頻率為1/b。按題設(shè)系統(tǒng)的截至頻率為，且。因此這個(gè)呈余弦分布的復(fù)振幅可不受影響地通過(guò)此成像系統(tǒng)。對(duì)于非相干照明，理想像的強(qiáng)度分別為，其頻率為2/b。按題設(shè)，即小于非相干截至頻率。所以，此物也能通過(guò)系統(tǒng)成像，但幅度要受到衰。由此看出，在這種結(jié)構(gòu)下，相干照明好于非相干照明。以上結(jié)論也可以通過(guò)對(duì)像面強(qiáng)度

48、的頻譜進(jìn)行分析得出。在相干照明情況下，理想像的頻率分布為而系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)在范圍內(nèi)為常數(shù)1，故，所以（4.7.1）表示的相干照明下的像面強(qiáng)度頻譜為在非相干照明下，像面強(qiáng)度頻譜為當(dāng)時(shí)，的值為1，因而，即像強(qiáng)度頻率的零頻分量在兩種情況下相等，但對(duì)頻率為2/b的分量，由值小于1，故，即在這個(gè)頻率上相干像強(qiáng)度頻率的幅度要比非相干像強(qiáng)度的頻率幅度大一些，所以相干像的對(duì)比度也大一些。從這個(gè)意義上講，相干照明優(yōu)于非相干照明。4.7.2兩點(diǎn)間的分辨率 兩點(diǎn)間的分辨率是光學(xué)儀器的重要性能指標(biāo)之一。尤其是在顯微鏡和天文光學(xué)儀器中，它有著非常實(shí)際的意義。這里對(duì)比下在相干光和非相干光照明情況下成像系統(tǒng)對(duì)靠近的兩個(gè)點(diǎn)

49、物的成像效果。非相干成像系統(tǒng)所使用的是瑞利分辨率準(zhǔn)則，用它來(lái)表示理想光學(xué)系統(tǒng)的分辨率。對(duì)衍射受限的圓形光瞳情況，點(diǎn)光源在像面上產(chǎn)生的衍射斑的強(qiáng)度分布為愛(ài)里斑。兩個(gè)非相干點(diǎn)光源，若一個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的愛(ài)里斑中心正好落在另一個(gè)點(diǎn)光源所產(chǎn)生的愛(ài)里斑的第一個(gè)暗環(huán)上，則認(rèn)為成像系統(tǒng)對(duì)這兩個(gè)點(diǎn)光源剛好能夠分辨，此時(shí)對(duì)應(yīng)的分辨率稱(chēng)為成像系統(tǒng)的極限分辨率。因此，在幾何像上的最小分辨間隔為，D和fcut為出瞳直徑和相干截至頻率，由圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射理論可知，點(diǎn)像的相對(duì)光強(qiáng)分布滿(mǎn)足。設(shè)兩個(gè)點(diǎn)源對(duì)稱(chēng)放置在光軸的兩邊，當(dāng)它們正好處于極限分辨的情況，對(duì)非相干光源而言，所成像的光強(qiáng)分布應(yīng)為兩光源像光強(qiáng)的非相干疊加，即 （4.7.5）圖4.7.1給出了兩個(gè)非相干光源的像強(qiáng)度分布的曲線(xiàn)。由分布曲線(xiàn)可知，其