三次函數(shù)的圖象和性質教學設計解讀

1、“三次函數(shù)的圖象和性質”教學設計寧波東方外國語學校（315500） 沈海敏1、設計意圖與學情分析三次函數(shù)是中學數(shù)學利用導數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體，是應用二次函數(shù)圖象和性質的好素材。作為高三理科學生，已學完人教版全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本，必 修）數(shù)學的全部內容，本節(jié)課是在復習“二次函數(shù)”基礎上的一節(jié)高三復習探究課，學生 已初步搭建起研究函數(shù)的基本平臺，借助導數(shù)的工具來研究三次函數(shù)的圖象和性質， 符合學生的認知規(guī)律。通過本節(jié)內容的教學，既可以整合函數(shù)圖象和性質、不等式、方程、函數(shù)極 限、導數(shù)等相關知識，完善學生的知識結構，體會其中蘊涵的數(shù)學思想方法，同時也有利于擴展學生的數(shù)學視野，體驗

2、再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程，發(fā)展學生獨立獲取數(shù)學知識的能力，提高學生應用所學知識解決問題的能力。另外，作為高三復習教學，力求想走出簡單重復與承襲過去的怪圈，三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)，但教材和各種資料中往往只從求導、求極值、求單調區(qū)間等角度進行一些零碎的、淺表的探索，而很少對它作 出比較系統(tǒng)地、實質性地闡述。2、教學目標與重點難點通過這節(jié)課的教學想達到下列三個目標：1）知識目標：讓學生了解三次函數(shù)的概念、定義域、值域；能利用導數(shù)和二次函數(shù)等知識討論三次函數(shù)的單調性，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，進一步理解函數(shù)的單調性、對稱性、極值，能利用圖象來討論三次方程實根的個數(shù)， 體會分類討論

3、、數(shù)形結合、函數(shù)方程的數(shù)學思想方法。2）能力目標：培養(yǎng)學生識圖能力、探究能力和創(chuàng)新意識，提高運用所學知識解決問題的能力。3）情感目標：讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的認識事物和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，鼓勵學生勇于探索、設法尋到解決問題的方案，體驗“再創(chuàng)造”的樂趣。這節(jié)課的教學重點是討論三次函數(shù)的單調性和相應三次方程實根的個數(shù)，發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖象的對稱性，其中發(fā)現(xiàn)并驗證三次函數(shù)圖象的對稱性是本節(jié)課的教學難點。3、設計思想與教學方法這節(jié)課的設計強調學生主動探究式的學習方式，強調學生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新 知識的體驗，注重培養(yǎng)學生的終生學習能力。按建構主義觀點，知識需要經(jīng)過學習者自身體驗，才能被有效地同化和順應。自

4、然，學生在探索的過程中會遇到障礙，需要得到教師的適時引導和幫助，教師應該圍繞學生的“最近發(fā)展區(qū)”做文章。本節(jié)課始終貫徹的教學方式是：問題情景一啟迪思維探索研究解決問題一理性歸納因此，不是簡單地給出三次函數(shù)的概念、單調性、對稱性，而是通過創(chuàng)設情境，搭設 臺階，類比二次函數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，利用多媒體呈現(xiàn)三次 函數(shù)的圖象，憑借圖象的直覺去發(fā)現(xiàn)、去探索，從直覺層面、幾何層面、代數(shù)層面、導函數(shù) 分析層面，數(shù)形結合層面進行思考逐步加深對三次函數(shù)圖象和性質的認識，最后，借助連續(xù)函數(shù)的零點存在定理來討論三次方程的實根的個數(shù)，作為對三次函數(shù)圖象和性質的應用。在整個教學過程中，學生的主

5、體地位得到充分發(fā)揮，教師起組織者、幫助者和促進者的作用， 利用情境、對話等學習環(huán)境充分發(fā)揮學生的主動性、積極性和創(chuàng)造精神，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動的教學，享受探究帶來的成就感， 激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、分 析問題、解決問題的能力，這正是新課程所倡導的教學理念。4、教學流程4. 1 三次函數(shù)概念板書形如y ax3 bx2T:類比二次函數(shù)，請同學們自己對三次函數(shù)下定義。cx d（a 0）的函數(shù)叫做三次函數(shù)。定義域：R；T：要求三次項的系數(shù)不為0,那么三次項的系數(shù) a與函數(shù)值變化有什么關系?S：當a 0時，讓x無限增大，對函數(shù)值y起決定地位的是ax3項，即x同樣地當x時，y（讓學生體

6、會極限的思想方法）板書:值域為RT:4.4.下面我們從已搭建的研究函數(shù)的一般“平臺”出發(fā)來探討三次函數(shù)的圖象和性質。2三次函數(shù)的圖象和性質2.1單調性：T:研究三次函數(shù)的單調性，常用什么工具?S:T:導數(shù)。下面我們一起先來做兩個題目：（多媒體演示例1、例2）3 一 21、（2004年全國卷文科19題）已知f（x） ax 3x1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。例2、試確定函數(shù)f（x） x3 3x的單調區(qū)間，并在同一坐標系中畫出此函數(shù)與它的導函數(shù)圖象。（以上兩題由同學們自己完成，然后交流。旨在復習導數(shù)、 極值二次不等式恒成立等相關知識，引導學生從特殊的簡單 的情形出發(fā)，先從圖象上直觀感知三次函數(shù)的

7、單調性，并能結合導函數(shù)圖象作鋪墊）（如圖 1）分析，為接下來得出一般性結論T ：要使函數(shù)yax3 bx2 cx d(a 0)在R上是單調函數(shù)，系數(shù)應滿足什么條件？要使函數(shù)yax3 bx2 cx d (a 0)在R上不是單調函數(shù)，那么它在 R上一定有幾個單調區(qū)間，系數(shù)又應滿足什么條件?（通過學生自主探究，相互交流、討論，得出以下結論）.2_-板書一般地，當b 3ac 0時.三次函數(shù) y3.2ax bxcx d（a 0）在R上是單調函數(shù)；當b2 3ac 0時,三次函數(shù)y ax3bx2 cx d (a0）在R上有三個單調區(qū)間。（根據(jù)a 0,a 0兩種不同情況進行分類討論）4. 2. 2對稱性：T：根

8、據(jù)你的經(jīng)驗，三次函數(shù)的圖象有何特征？S:象“閃電” 一樣。T:三次函數(shù)是否具有奇偶性？S:有些是奇函數(shù)，有些不是奇函數(shù)，但不可能是偶函數(shù)。T:奇函數(shù)的本質是什么？S:奇函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱。a,b,c,d請同學們提供。(多媒體演示幾個三次函數(shù)的圖象)T：下面我們一起來觀察幾個三次函數(shù)的圖象，表達式中的系數(shù)T:三次函數(shù)圖象有什么共性？圖象有對稱中心嗎？(學生的思維被激活，他們開始討論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心)Si：三次函數(shù)圖象好象都是關于某個點成對稱，且對稱中心就在三次函數(shù)的圖象上。(直覺是發(fā)現(xiàn)的前奏)32S2 ：老師，因為三次函數(shù)f(x) ax bx cx d(a 0)的

9、導函數(shù)是二次函數(shù)一_2f (x) 3ax 2bx c(a 0),二次函數(shù)是軸對稱圖形，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，說明三次函數(shù)的圖象上關于某個點對稱的兩點處的導數(shù)值始終相等，說明這兩點處切線的斜率相 等。S3：是的，我猜想：三次函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)對稱中心的橫坐標是其導函數(shù)的極值點的橫坐標 x 。3a(教師鼓勵他們，繼續(xù)引導學生從感性向理性過渡)一3 一3T： f(x) x , f(x) Ax Bx,它們都是奇函數(shù)，所以他們的對稱中心均為原點(0,0)。T：函數(shù)f(x) A(x x。)3 B(x x°)有對稱中心嗎？S4：有，是點(% ,0) .3T：追問：函數(shù)f

10、 (x) A(x x°)B(x x°) y0有對稱中心嗎？S5：有，是點(%,丫°).S6：(搶著說)老師，我知道了，三次函數(shù)一定有對稱中心，你隨便給我一個三次函數(shù)，我總可以把它化為 f(x) A(x x0)3 B(x x0) y0的形式。T：為什么?S6：我象二次函數(shù)配方那樣，對三次函數(shù)“配三次方”，一定可以把二次項“隱藏”起來。T：精彩！二次函數(shù)經(jīng)過“配方”，“配”出了一條對稱軸，三次函數(shù)經(jīng)過“配三次方”，“配”出了一個對稱中心。請大家一起來試試。 3_2板書例3、試求函數(shù)f(x) x 3x 6x 6圖象的對稱中心。S：找到了，點(1, 2)。(用圖象來驗證)

11、T：板書 f(x) (x 1)3 3(x 1) 2,函數(shù)f(x)的圖象關于點(1, 2)對稱。事實上這里的B,xo,yo被b,c,d所確定，任意一個三次函數(shù) y ax3 bx2 cx d(a 0)一定能化為f(x) a(x x0)3 B(x x0) y0的形式。(培養(yǎng)學生化歸意識，也體現(xiàn)了方程思想)T：我們把它叫三次函數(shù)的“什么式”？S7：聯(lián)想到二次函數(shù)的解析式有：一般式、頂點式、兩根式，把它叫“中心式”。S8：老師，我想用以前學過的一個結論(函數(shù)f(x),對于定義域內的任意x ,都有f(a x) f (a x) 2b成立的充要條件是函數(shù) f(x)的圖象關于點(a,b)對稱)來證明？但感覺很麻

12、煩。一 b _ b bT：想法很好，我們只需證明f(一 x) f( x) 2f()，請同學們課后完成。3a3a3a(教師歸納總結，結合三次函數(shù)圖象及它的導函數(shù)圖象，根據(jù)導數(shù)的幾何意義來加以解釋：三次函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)對稱中心的橫坐標是其導函數(shù)的極值點的橫坐 標，并歸納證明三次函數(shù)對稱性的兩種方法)方法一：任意一個三次函數(shù)都可化為f (x) A(x x0)3 B(x x0) y0的形式。方法二：用結論(函數(shù)f(x),對于定義域內的任意 x ,都有f(a x) f (a x) 2b成立的充要條件是函數(shù) f(x)的圖象關于點(a,b)對稱)來證明。一 .- 一3.2一一

13、一. 板書三次函數(shù)f (x) ax bx cx d(a 0)是關于點對稱，且對稱中心為點b . b( 一，f()，此點的橫坐標是其導函數(shù)極值點的橫坐標。3a 3a4. 4應用一一討論三次方程實根的個數(shù) 32板書例4、討論方程ax bx cx d 0(a 0)的實根的個數(shù)。分析：函數(shù)f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)的圖象與x軸有幾個交點，方程便有幾個根。(通過學生的自主探索，師生交流，共同完成以下結論)21、當4=4b 12ac 0時，由于不等式f (x) 0恒成立，函數(shù)是單調遞增的，所以原方程僅有一個實根。22、當a = 4b 12ac 0時，由于萬程f (x) 0有兩個不同的頭根

14、 x1,x2，不妨設x1 x2 ,由圖象可知，(x1, "xD為函數(shù)的極大值點，(x2, f(x2)為極小值點，且函數(shù) y f(x)在點，所以原方程有且只有 一個實根(如圖2、3)。2)若 f(xi) f(x2)0,即函數(shù)y f(x)極大值點與極小值點在x軸異側，圖 象與x軸必有三個交點，所 以原方程有三個不等實根(如圖4)。3)若 f(xi) f(x2)0,即f(xi)與f (x2)中有且只有一個值為0,所以，原方程有三個實根，其中兩個相等(如圖 5、6)。4. 5課堂小結4 6 課外練習5、課后反思與探討在新課程理念的指導下， 我設計了這樣一節(jié)復習探究課。 總的看來，課堂氣氛民主

15、、和諧，學生普遍有濃厚的興趣，參與度高，大多數(shù)同學既能自主探索，敢于發(fā)表自己的見解，也能傾聽別人的想法，師生之間、學生之間的思想不斷碰撞， 教學資源不斷生成（原先的教案中沒有“配三次方” 、 “三次函數(shù)的中心式”等內容） ，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，呈現(xiàn)各種三次函數(shù)圖象（這是以往教學難以實現(xiàn)的） ，給學生創(chuàng)設了廣闊的思維空間，既增強了學生的感性認識，從變化中去尋找不變的東西，為發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)的對稱中心提供了想象的基礎，又為探索贏得了時間。也讓我再次領略到學生無窮的潛能，教師要做的是努力去開發(fā)他們。課堂教學永遠是門“遺憾的藝術” ，有許多問題值得探討。首先，教學目標是否適切，是否有超出要求之嫌。 三次函數(shù)的對稱中心也稱奇異切點， 屬于高等數(shù)學研究范圍， 但理論層面上講是極為初等的， 具有可操作性， 如果在計算機上用切線法模擬尋找該對稱點， 將非常迅速， 精度很高。 這一點是否有必要在課堂上進行演示， 以加深學生對三次函數(shù)對稱中心的理解。另外，由于課堂上沒有嚴格證明“三次函數(shù)圖象的對稱性” ，是否會損害數(shù)學的嚴謹性和教學的完整性。其次，課堂容量是否太大，在探索“對稱性”過程中，由于教學時間的局限性，有