2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第33講圓錐曲線方程及性質(zhì)

1、2022年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第33講圓錐曲線方程及性質(zhì)一課標(biāo)要求：1了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過(guò)程，掌握它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)；3了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì)。二命題走向本講內(nèi)容是圓錐曲線的根底內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有23道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質(zhì)。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到

2、，客觀題主要考察圓錐曲線的根本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等根底知識(shí)和處理有關(guān)問(wèn)題的根本技能、根本方法。對(duì)于本講內(nèi)容來(lái)講，預(yù)測(cè)2022年：11至2道考察圓錐曲線概念和性質(zhì)客觀題，主要是求值問(wèn)題；2可能會(huì)考察圓錐曲線在實(shí)際問(wèn)題里面的應(yīng)用，結(jié)合三種形式的圓錐曲線的定義。三要點(diǎn)精講1橢圓1橢圓概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)大于的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。假設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，那么有。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)在x軸上或焦點(diǎn)在y軸上。注：以上方程中的大小，其中；在和兩個(gè)方程中都有的條件，要分清焦點(diǎn)的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓，當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的

3、橢圓；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。2橢圓的性質(zhì)范圍：由標(biāo)準(zhǔn)方程知，說(shuō)明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對(duì)稱性：在曲線方程里，假設(shè)以代替方程不變，所以假設(shè)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理，以代替方程不變，那么曲線關(guān)于軸對(duì)稱。假設(shè)同時(shí)以代替，代替方程也不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。所以，橢圓關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱。這時(shí)，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心，橢圓的對(duì)稱中心叫橢圓的中心；頂點(diǎn)：確定曲線在坐標(biāo)系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得，那么，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。所以，橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有四個(gè)，這四個(gè)交點(diǎn)叫做

4、橢圓的頂點(diǎn)。同時(shí)，線段、分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別為和，和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。由橢圓的對(duì)稱性知：橢圓的短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；在中，且，即；離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時(shí)橢圓越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線1雙曲線的概念平面上與兩點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線。注意：*式中是差的絕對(duì)值，在條件下；時(shí)為雙曲線的一支含的一支；時(shí)為雙曲線的另一支含的一支；當(dāng)時(shí)，表示兩條射線；當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形；兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)

5、，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢 圓雙 曲 線定義方程焦點(diǎn)注意：如何有方程確定焦點(diǎn)的位置！2雙曲線的性質(zhì)范圍：從標(biāo)準(zhǔn)方程，看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對(duì)稱性：雙曲線關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心。頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。在雙曲線的方程里，對(duì)稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個(gè)交點(diǎn)，他們是雙曲線的頂點(diǎn)。令，沒(méi)有實(shí)根，因此雙曲線和y軸沒(méi)有交點(diǎn)。1注意：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)

6、。2實(shí)軸：線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近。等軸雙曲線：1定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2等軸雙曲線的性質(zhì)：1漸近線方程為： ；2漸近線互相垂直。注意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即假設(shè)題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3注意到等軸雙曲線的特征，那么等軸雙曲線可以設(shè)為： ，當(dāng)時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)時(shí)焦點(diǎn)在軸上。注意與的區(qū)別

7、：三個(gè)量中不同互換相同，還有焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。3拋物線1拋物線的概念平面內(nèi)與一定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)f不在定直線l上)。定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是f,0，它的準(zhǔn)線方程是 ；2拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說(shuō)明：1通徑：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦

8、稱為通徑；2拋物線的幾何性質(zhì)的特點(diǎn)：有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線，一條對(duì)稱軸，無(wú)對(duì)稱中心，沒(méi)有漸近線；3注意強(qiáng)調(diào)的幾何意義：是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。四典例解析題型1：橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于；2兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)；3焦點(diǎn)在軸上，；4焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)；5焦距為，；6橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，。解析：1橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。2橢圓焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。3，又由代入得，又焦點(diǎn)在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。4

9、設(shè)橢圓方程為， ， 又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5焦距為， ，又，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或6設(shè)橢圓方程為， 由得，所以，橢圓方程為點(diǎn)評(píng)：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關(guān)系。例21橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為f2，0，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，那么該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。2橢圓的中心為點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，那么這個(gè)橢圓的方程是 解析：1為所求；2橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為 半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)f的準(zhǔn)線方程為 ，那么這個(gè)橢圓的方程是，選d。點(diǎn)評(píng)：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好根底知識(shí)就可以。題型2：橢圓的性質(zhì)例31在給定橢圓中，過(guò)焦點(diǎn)

10、且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，那么該橢圓的離心率為 (a) (b) (c) (d)2設(shè)橢圓=1ab0的右焦點(diǎn)為f1，右準(zhǔn)線為l1，假設(shè)過(guò)f1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)f1到l1的距離，那么橢圓的離心率是。解析：1不妨設(shè)橢圓方程為a>b>0，那么有，據(jù)此求出e，選b。2；解析：由題意知過(guò)f1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為，即e=。點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了橢圓的根本性質(zhì)。例41橢圓短軸長(zhǎng)是2，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，那么橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是 a. b. c. d.2橢圓=1的焦點(diǎn)為f1和f2，點(diǎn)p在橢圓上.如果線段pf1的中點(diǎn)在y軸上，那么|pf1|是|pf2|的 a.7倍 b.5倍

11、c.4倍 d.3倍解析：1d；由題意知a=2，b=1，c=，準(zhǔn)線方程為x=±，橢圓中心到準(zhǔn)線距離為2a；不妨設(shè)f13，0，f23，0由條件得p3，±，即|pf2|=，|pf1|=，因此|pf1|=7|pf2|，應(yīng)選a。點(diǎn)評(píng)：此題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想，具有較強(qiáng)的思辨性，是高考命題的方向。題型3：雙曲線的方程例51焦點(diǎn)，雙曲線上的一點(diǎn)到的距離差的絕對(duì)值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2求與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程；3雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：1因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，。所以所求雙曲線的方程為；2橢

12、圓的焦點(diǎn)為，可以設(shè)雙曲線的方程為，那么。又過(guò)點(diǎn)，。綜上得，所以。點(diǎn)評(píng)：雙曲線的定義；方程確定焦點(diǎn)的方法；根本量之間的關(guān)系。3因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程。將分別代入方程中，得方程組：將和看著整體，解得，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng)：此題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒(méi)有必要求出的值；在求解的過(guò)程中也可以用換元思想，可能會(huì)看的更清楚。例6. 雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解析：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,那么焦點(diǎn)在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，即，解得，那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

13、是；點(diǎn)評(píng)：此題主要考查雙曲線的根底知識(shí)以及綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為直觀簡(jiǎn)捷。題型4：雙曲線的性質(zhì)例71雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為f，假設(shè)過(guò)點(diǎn)f且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么此雙曲線離心率的取值范圍是 a.( 1,2) b. (1,2) c.2,+ d.(2,+)2過(guò)雙曲線m:的左頂點(diǎn)a作斜率為1的直線,假設(shè)與雙曲線m的兩條漸近線分別相交于b、c,且|ab|=|bc|,那么雙曲線m的離心率是 ( )a. b. c. d.3雙曲線 =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,那么雙曲線的離心率為 a.2

14、 b. c. d.解析：1雙曲線的右焦點(diǎn)為f，假設(shè)過(guò)點(diǎn)f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率， ，離心率e2=， e2，選c。2過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)(1，0)作斜率為1的直線：y=x1, 假設(shè)與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點(diǎn), 聯(lián)立方程組代入消元得， ，x1+x2=2x1x2，又,那么b為ac中點(diǎn)，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，雙曲線的離心率e=，選a。3雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，那么， a2=6，雙曲線的離心率為 ，選d。點(diǎn)評(píng)：高考題以離心率為考察點(diǎn)的題目較多，主要實(shí)現(xiàn)三元素之間的關(guān)系。例81p是雙曲線的右支上一點(diǎn)

15、，m、n分別是圓x52y24和x52y21上的點(diǎn)，那么|pm|pn|的最大值為 a. 6 b.7 c.8 d.92雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，那么a b c d3如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是 a b c d解析：1設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是f15，0與f25，0，那么這兩點(diǎn)正好是兩圓的圓心，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)p與m、f1三點(diǎn)共線以及p與n、f2三點(diǎn)共線時(shí)所求的值最大，此時(shí)|pm|pn|pf1|2|pf2|11019應(yīng)選b。2雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍， m<0，且雙曲線方程為， m=，選a。3如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為， ，解得

16、，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選c。點(diǎn)評(píng)：關(guān)于雙曲線漸近線、準(zhǔn)線及許多距離問(wèn)題也是考察的重點(diǎn)。題型5：拋物線方程例91)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2；2拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是f(0，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：1y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；方程是x=8y。點(diǎn)評(píng)：由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個(gè)系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個(gè)條件，就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就唯一確定了；假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程沒(méi)有給定，那么所求的標(biāo)準(zhǔn)方程就會(huì)有多解。題型6：拋物線的性質(zhì)例101假設(shè)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，那么的值為 a b

17、 c d2拋物線的準(zhǔn)線方程是 (a) (b) (c) (d) 3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )a. b. c. d解析：1橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，那么，應(yīng)選d；22p8，p4，故準(zhǔn)線方程為x2，選a；3直接計(jì)算法因?yàn)閜=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 。應(yīng)選b。點(diǎn)評(píng)：考察拋物線幾何要素如焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的題目根據(jù)定義直接計(jì)算機(jī)即可。例111拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是 a b c d2對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出以下條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為2，1。3對(duì)于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)q，點(diǎn)pa，0都滿足|pq|a|，那么a的取值范圍是 a.，0 b.，2 c.0，2d.0，2能使這拋物線方程為y210x的條件是要求填寫適宜條件的序號(hào)解析：1設(shè)拋物線上一點(diǎn)為(m，m2)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)m=時(shí)，取得最小值為，選a；2答案：，解析：從拋物線方程易得，分別按條件、計(jì)算求拋物線方程，從而確定。3答案：b解析：設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為，y0，由 |pq|a|，得y02+a2a2.整理，得：y02y02+168a0，y020，y02+168a0.即a2+恒成立.而2+的最小值為2.a2.選b。點(diǎn)評(píng)：拋物線問(wèn)題多考察一些距離、最值及范圍問(wèn)