線性代數(shù)試題及答案3

1、、單項選擇題（本大題共 一個是符合題目要求的,線性代數(shù)習題和答案第一部分選擇題（共28分）14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有 請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。A. m+n311312313311=m,3 213223233211.設(shè)行列式=n,C. n- mB.-(m+n)020則行列式D. m-2.設(shè)矩陣A=a113213123 22+313+323等于（<100f10iL0031000 1|211311I020B020C010DI030001丿013J002丿11001丿A.<32003丿03.設(shè)矩陣1.-2B. 61 ,4丿C. 2A

2、*是A的伴隨矩陣,中位于（2）的元素是（ B ）A. -64.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式A. A = 0B. B HC 時 A= 0D.AB=AC,則必有(C. A HO 時 B=CD ）D. |AI H0 時 B=C5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（C ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.設(shè)兩個向量組a 1, a 2,a s 和 3 1, 3 2,',3 S均線性.相關(guān)，則(D)A.有不全為0的數(shù)入1,入2, ，入S使入1 a什入2 a 2+- + 入 Sa S=0 和入13 1+ 入 2> 3 2+入:s3S=0B.有不全為0的數(shù)入1,入2,，

3、入S使入1(a1+3 1)+入2(a 2+ 32）+入S ( a s+ 3s)=0C.有不全為0的數(shù)入1,入2,，入S使入1(a1- 3 1)+入2(a 2- 32）+入S ( a S- 3s)=0D.有不全為0的數(shù)入1,入2 ,，入S和不全為0的數(shù)1 1 ,1 2,，1S使入1a 1+ 入 2 a2+-+入 s a s=0和1 3 1+2 3 2+ 1 S 3 S=0）7. 設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（C A.所有r- 1階子式都不為0C.至少有一個r階子式不等于08. 設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，A. n什n 2是Ax=0的一個解B.所有D.所有 2是其任意C 11r-r階子式都不為2個

4、解，則下列結(jié)論錯誤的是1階子式全為n 2是Ax=b的一個解C. n 1-n 2是Ax=0的一個解9. 設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（A.秩（A）nB.秩（A）=n - 110. 設(shè)A是一個n（3）階方陣，下列陳述中正確的是（AC.A=0B. n1+ -22D.2 n1- n 2 是 Ax=b 的一個解）D.方程組Ax=0只有零解B ）a,則a是A的屬于特征值入的特征向量a,使（入E - A） a =0，則入是A的特征值A(chǔ). 如存在數(shù)入和向量a使A a =入B. 如存在數(shù)入和非零向量C. A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3個互不相同的特征值，a 1, a 2,

5、 a 3依次是A的屬于入1,入2,入3的特征向量，貝y a 1, a 2, a 3有可能線性相關(guān)811. 設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k，則必 有(A )A. k < 3 B. k<3 C. k=3 D. k>312. 設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是(A.| A|2 必為 1B.|A 必為 1C. A -1=A T13. 設(shè)A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，A. A與B相似 B. A與B不等價14. 下列矩陣中是正定矩陣的為(B.|A必為1B )D. A的行(列)向量組是正交單位向量組 B=C TAC .則(D )C. A與B有

6、相同的特征值D. A與B合同)非選擇題(共72分)第二部分二、填空題(本大題共 10小題，每小題2分，共20分)不寫解答過程，將正確的答案寫在每 小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。15.15251636G 716. 設(shè) A = IH 117. 設(shè) A =(aij)31-1><1，B =1-1.|A2=2，2-2A j3 34 丿.則 A+2 B=t-1表示|A |中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3 ),則-22=4.(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21 A21 +a22A22+a23A 23) +(a31A 21+a32A22+a33A23)=18. 設(shè)向

7、量(2, -3, 5)與向量(-4, 6, a)線性相關(guān)，貝U a=19. 設(shè)A是3X 4矩陣，其秩為3，若n 1，n 2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為n 1+c( n 2- n 1)(或n 2+c( n 2- n 1), c為任意常數(shù)20. 設(shè)A是m X n矩陣，A的秩為r(<n)，則齊次線性方程組 Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個 數(shù)為 n-1.21. 設(shè)向量a、3的長度依次為2和3,則向量a + B與a - 3的內(nèi)積(a + 3 , a - 3 ) =-522. 設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為-2.1061-4&

8、#163;，已知a =108丿<2y23.設(shè)矩陣A =-10是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)的特征值為224.設(shè)實二次型f(Xl,X2,X3,X4,X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為Z1 三、計算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分)2 3Z+2 2Z+(1 225.設(shè) A = j 34V-l 201丿,B=1-2 431-12-513-4201-11-53-43026.試計算行列式212303丿-J.求(1) ABT； (2) |4A|.427.設(shè)矩陣A = 1 11-1，求矩陣B使其滿足矩陣方程 AB =A+2B3J1'1J31,a 2=,a 3=0,a 4=-1

9、0224eL1丿<9>a28.給定向量組a 1=試判斷a 4是否為了 1a 1,-2a 2,-13的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。2、29.設(shè)矩陣A=-224-1-63求：（1）秩f030.設(shè)矩陣A= j-2I2<3(A);-2 23(2)3A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。的全部特征值為1 ,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D .31.試用配方法化下列二次型為標準形f（X 1,X2,X3）=并寫出所用的滿秩線性變換。+4x<,x3 X2X4四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共10 分）32. 設(shè)方陣A滿足A3=0 ,試證明E- A可逆，且（

10、E- A）33. 設(shè)n 0是非齊次線性方程組 Ax=b的一個特解，試證明（1）n 1= n 0+ E 1, n 2= n 0+ E 2 均是 Ax=b 的解；（2）n 0, n 1, n 2線性無關(guān)。答案：一、 單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D7.C 8.A 9.A 10.B11.A二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）（33715. 616. 13 7丿 17. 4 佩 -019. n 1+c( n 2-20. n- r 21. -22.7223. 1-1= E+A+A 2E 2是其導出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.28分)12

11、.B 13.D14.Cn 1)(或n 2+c( n 2- n 1), c為任意常數(shù)三、計算題（本大題共/1T D1（1） ABT= j 31-142分)25.解2 0、(2 -Q卜6 =4 0I34=18 10每小題7小題,6分，共21丿-10丿310丿3(2) |4A|=4 |A|=64|A|,而 |A|=(-2) =- 12831251-11511511-513-4-1113-1-62=-111-1=-620201-10010r-5-5-5-50-5-501-53C-5-530=-2 .所以 |4A 1=64 = 30+10 =40.26.解AB =A +2 B 即B= A，而(A-2 E

12、)13-124200127.解所以<223J<1-4a10=1-5二.二2b<-164>1A=<1<423、i<3-8七32E )1-5-3110=2-9-664/<-123>-2129B=( A -(A-2E) 1J 130'0-5 3-2"廣1035i巾 0 3 5=1 d 0-110-10 1 1 20 11202240 112/0 0 8 8/0 0 11&41 9丿0 13 -1 12丿e 0 -14 14丿e 0 0 0丿28.解一所以a 4=2 a什a 2+ a 3,組合系數(shù)為(2, 1,1)10解二

13、考慮a 4=X1 a1+X2 a 2+X3 a 3，即卩方程組有唯一解（2, 1, 1）29.解對矩陣A施行初等行變換|-2X1 +X2 +3X3 =0X1 3X2 =12x2 +2x3 =43x 1 + 4 X 2 X 3 = 9.1, 1).組合系數(shù)為(2,/1-2-102 "（1-2-102、（1-2-102 "0006-2?0328£?0328-30328-20006-20003-109632丿000-217丿0000丿=B.所以秩（A）=秩(B)=3,=3.B是階梯形,（1 ）秩（B）（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B的列向量組的一個最大線

14、性無關(guān)組，故 個最大線性無關(guān)組。B的第1、2、4列是A的第1、2、4列是A的列向量組的一（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的屬于特征值 入=1的2個線性無關(guān)的特征向量為E 2= (2, 0,2v5/5"275/15<<經(jīng)正交標準化，得n 1=-75/5,n 2=45/15 .入=-8的一個特征向量為 E 3=2、一 0丿衛(wèi)/3丿-2丿1)E 1= (2, - 1, 0) TT5/3 ”25/52715/151/3經(jīng)單位化得n 3=2/3.所求正交矩陣為T =-75/54/5/152/3<-2 / 3 丿< 0V5/3-2/3丿

15、/X1 0 0275/5 2715/151/3、對角矩陣 D=0 1 0（也可取T =0-75/32/30 0-8 丿75/5-45/15 2/3丿.)-231.解 f（X1，X2，X3）= （ X 什2X2- 2X3）2=（X 什2x2- 2x3）- 2+2X2 -2X3yi =xiX2 -X3,X322, 2-2X2 +4X2X3- 7X3（X2-X3 ）- 5X3 .即£x3=yi1/3 -故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得-2y2y2 +y3y3，因其系數(shù)矩陣C =!；o0、1可逆,1丿2 2 2x2, x3）的標準形 yi - 2y2 - 5y3 10分）f（X1,四、證明題（本大題共 2小題，每小題5分，共2332. 證 由于（E- A）（ E+A +A）=E- A =E，所以E- A可逆，且（E - A） -1= E+A+A2 .33. 證 由假設(shè) A n 0= b, AE 1=0, A E