(完整版)三角形中位線中的常見輔助線.doc

1、三角形中位線中的常見輔助線知識梳理知識點一中點一、與中點有關的概念三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合 ）三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊.直角三角形斜邊中線： 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定： 若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個三角形是直角三角形二、與中點有關的輔助線方法一：倍長中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍

2、長中線的目的可以旋轉等長度的線段, 從而達到將條件進行轉化的目的。方法二：構造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取另一邊中點，或延長三角形一邊，從而達到構造三角形 中位線的目的。方法三：構造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點等線段，就需要考慮構造三線合一，從而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：構造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn) 兩個等腰三角形，從而轉化線段關系。其他位置的也要能看出常見考點構造三角形中位線考點說明：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取 四邊形對角線中點、等腰三角形底邊中點、直角三角

3、形斜邊中點或其他線段中點 ；延長三角形一邊，從而達到構造三角形中位線的目的。“題中有中點，莫忘中位線” .與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思 想，但注意倍長中線的主要目的是通過構造三角形全等將分散的條件集中起來.平移也有類似作用.典型例題【例1】 已知：AD是的中線， AE是aABD的中線，且 AB BD ,求證：AC 2 AE .舉一反三1 .如右下圖，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E為BC邊的中點.求證： AB 2DE .2 .在ABC中，ACB 90 , AC , BC ,以BC為底作等腰直角 BCD , E是CD的中點，求證：AE

4、EB 2且 AE BE .【例2】已知四邊形ABCD的對角線AC BD, E、F分別是AD、BC的中點，連結EF分別交AC、BD于 M、N ,求證：Z AMN ZBNM .舉一反三1.已知四邊形 ABCD中，AC BD ,E、F分別是AD、BC的中點，EF交AC于M； EF交BD于N,AC和BD交于G點.求證： GMN GNM .DF2.已知：在 ABC中，BC AC ,動點D繞ABC的頂點A逆時針旋轉，且 ADBC ，連結DC .過AB、DC的中點E、F作直線，直線 EF與直線AD、BC分別相交于點M、N.1 1()如圖，當點D旋轉到BC的延長線上時，點 求證：AMFBNEN恰好與點F重合，

5、取AC的中點H ,連結HE、HF ,(2)當點D旋轉到圖2中的位置時,AMF與BNE有何數(shù)量關系？請證明.【例3】如圖，在五邊形ABCDE 中， ABCAED 90 , BAC EAD , F為CD的中點.求證:BF EF .B舉一反三1 .如圖所示，在三角形ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F,使DE=DF .過E、F分別作直 線CA、CB的垂線，相交于點P,設線段PA、PB的中點分別為M、N.求證:(1 ) DEM g FDN ；2 2) PAE PBF .3.已知：在醺。中，分別以BC的中點.求AB、AC1為斜邊作等腰直角三角形CANABM ,和 ，P是邊證：PM PN

6、N90 ,連接DE,設乂為4 .如圖所示，已知ABD和ace都是直角三角形，且 ABD ACEDE的中(1 )求證MB MC.MC是否成立？請證明你(2)設 BAD CAE ,固定Rt ABD ,讓Rt ACE移至圖示位置，此時 MB 的結論.BB5 .在aABC中，AB=AC ,分別以 AB和AC為斜邊，向 ABC的外側作等腰直角三角形，M是BC邊中點中點，連接MD和ME(1 )如圖1所示，若AB=AC ,則MD和ME的數(shù)量關系是(2)如圖2所示，若ABWAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關系？請給出證明過程；(3)在任意 ABC中，仍分別以 AB和AC為斜邊，向 ABC的內

7、側作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME ,請在圖3中補全圖形，并直接判斷 MED的形狀.【例4】 以 ABC的兩邊 AB、AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 .連接DE , M、N分別是BC、DE的中點.探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系.（1）如圖 當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ；線段AM與DE的數(shù)量關系是;（2）將圖中的等腰 Rt ABD繞點A沿逆時針方向旋轉（090 ）后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由.BMC 圖BMC圖舉一反三1. 1 1（）如圖，BD、CE分別是回：的外角平分線，

8、過點 連接 DE .求證：DE BC , DE AB BC AC2AD BD、AEA作CE ,垂足分別為（2 ）如圖2, BD、CE分別是 ABC的內角平分線，其他條件不變;（3 ）如圖3, BD為 ABC的內角平分線，CE為AABC的外角平分線，其他條件不變。則在圖 2、圖3兩種情況下，DE、BC還平行嗎？它與AABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？請你寫出猜測，并給與證明.AAA2.已知 ABC中，ACB 90， AB邊上的高線CH與 ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交于P、Q 兩點PM、QN的中點分別為 E、F.求證：EF / AB.cMBAOB 60 , P、 Q、R 分AB【例5】等腰

9、梯形ABCD中，ABCD，AC BD , AC與BD交于點°, 別是OA、BC、OD的中點，求證：PQR是正三角形1AE -AC .3舉一反三1 . AD是ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，BF的延長線交 AC于E.求證:ADCEF AB ,且【例6】如左下圖，在梯形 ABCD中，ABCD, E、F分別是AC、BD中點.求證:EF AB CD2舉一反三2 .在課外小組活動時，小慧拿來一道題(原問題)和小東，小明交流原問題：如圖1,已知ABC , ACB 90 ,ABC 45 ,分別以 AB, BC 為邊向外作 ABD 和 BCE ,且 DA DB , EB EC ,ADBBEC 90 ,

10、連接DE交AB于點F ,探究線段DF與EF的數(shù)量關系。小慧同學的思路是：過點 D作DG AB于G,構造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學說：我做過一道類似的題目，不同的是，ABC 30 , ADB BEC 60小明同學經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況。請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：(1)寫出原問題中 DF與EF的數(shù)量關系(2)如圖2,若 ABC 30 , ADB BED 60 ,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明;(3)如圖 3,若 ADBBEC2 ABC,原問題中的其他條件不變，你在（1）

11、中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明。2 .如圖，D是 ABC中AB邊的中點， BCE和 ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點.(1)求證：DMN是等邊三角形；(2)連接EF , Q是EF中點，CP± EF于點P.求證：DP= DQ.同學們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學的解題思路作為參考：她考慮將小聰同學發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點，因此考慮構造三角形的中位線，添加出了一些輔助線;小慧同學想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構造出相應的三角形呢?NCM繞頂點旋轉到要證的對應線段的位置，由此猜想到了所需構造的三角形的位置ADB3 .

12、在aABC中，D為BC邊的中點，在三角形內部取一點P,使得NABP二NAGP.過點P作PE, AB于點E, PF，AC于點F.（1）如圖1,當AB二AC時，判斷的DE與DF的數(shù)量關系，直接寫出你的結論；（2）如圖2,當AB AC,其它條件不變時，（1）中的結論是否發(fā)生改變？請說明理由.4 .探究問題：已知 AD、BE分別為 ABC的邊BC、AC上的中線，且 AD、BE交于點 O.（1） ABC為等邊三角形，如圖 1,則AO： 0D=；（2）當小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若 4ABC為一般三角形（如圖 2）,中的結論仍成立，請你 給予證明（3）運用上述探究的結果，解決下列問題：如圖3,在 A

13、BC中，點E是邊AC的中點，AD平分Z BAC,AD _LBE于點F,若AD=BE=4.求：aabc的周長.問題二：如圖3,EF連結并延長,在 ABC 中，ACBA與的延長線交于點，若，連結，判斷的形狀并證明.5 .如圖1,在四邊形ABCD中，AB CD, E、F分別是BC、AD的中點，連結EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點 M、N,則BME CNE （不需證明）.（溫馨提示：在圖 1中，連結BD,取BD的中點H ,連結HE、HF ,根據(jù)三角形中位線定理，證明HE HF ,從而 12 ,再利用平行線性質，可證得 BME CNE .）問題一：如圖2,在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點

14、O, AB CD , E、F分別是BC、AD的中 點，連結EF ,分別交DC、AB于點M、N ,判斷AOMN的形狀，請直接寫出結論.ABD點在AC上，AB CD , E、F分別是BC、AD的中點, G EFC 600 GD A AGD6.我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為經(jīng)過證明我們可得三角形重心具備下面的性質:2:1 .請你用此性質解決下面的問題.已知：如圖，點O為等腰直角三角形 ABC的重心, 線m的垂線，垂足分別為點D、E、F.m,CAB 90 ,直線 過點O過A、B、C三點分別作直BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關系并證明;（1）當直線m與BC平行時（如圖1）,請你猜想線段（2）當直線m繞點O旋轉到與BC不平行時，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF三者之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的結論，不需 證明.VAOB和VCOD ，其中7.以平面上一點 O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作A