直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識梳理本節(jié)主要內(nèi)容是直線與圓錐曲線公共點問題、相交弦問題以及它們的綜合應(yīng)用解決這些問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個數(shù)問題對相交弦長問題及中點弦問題要正確運用“設(shè)而不求”涉及焦點弦的問題還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式點擊雙基1過點(2, 4)作直線與拋物線y2= 8x只有一個公共點，這樣的直線有A.1條B.2條C.3條D.4條解析：數(shù)形結(jié)合法，同時注意點在曲線上的情況答案：B22已知雙曲線C: x2 =1，過點P (1,1)作直線I，使I與C有且只有一個公共點，4則滿足上述條件的直線I共有A.1條B.2條C.3條D.4條解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近

2、線平行、相切 答案：D3雙曲線x2 y2= 1的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是A. (30)B. (1,+)C. (, 0) U( 1 , + )D. (m, 1) U( 1 , +3)解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜率比較答案：C4.過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于 A、B兩點，已知|AB|=8, O為坐標原點，貝U OAB的重心的橫坐標為解析：由題意知拋物線焦點F (1, 0) 設(shè)過焦點F (1, 0)的直線為y=k (x 1) ( 20), A (X1, yj, B (X2, y2)代入拋物線方程消去 y得k2x2 2 (k2+2) x

3、+k2=0.22(k2 2)d-kM 0, - - X1+X2=, X1x2=1.k2|AB|= .(1 k2)(X1 X2)2=-,(1 k2)(X1X2)2 - 4X1X2(1 k2)4(k22)2k4-4=8 , k2=1. OAB的重心的橫坐標為0 x1x2x=2.答案：25.已知(4 , 2)是直線 I2 2被橢圓|6+=1所截得的線段的中點，則I的方程是解析：設(shè)直線I與橢圓交于Pi (xi, yi )、P2( X2, y2)，將Pi、P2兩點坐標代入橢圓方程相減得直線I斜率k=力一 x1x2X1 - x24(yi y2)12 .I的方程為x+2y 8=0.=1 tan2 * 4 2

4、(1 9ta n .：0XiX26tan花yz 二-61 9tan2 :由 |AB|> 2,得的取值范圍是0, n)U,本題由于I的方程由tana給出，所a =n時的情況26 6評述：對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用 以可以認定a工n，否則涉及弦長計算時，還應(yīng)討論2【例2】 已知拋物線y2= x與直線y=k ( x+1)相交于A、B兩點.(1)求證：0A丄0B;(2)當厶OAB的面積等于,10時，求k的值.剖析：證明0A丄0B可有兩種思路(如下圖)(1 )證 koA Kdb= 1;1(2)取 AB 中點 M，證 |0M|= AB|.2求k的值，關(guān)鍵是利用面積建立關(guān)于k的方程，求 A

5、0B的面積也有兩種思路:1(1)利用 Sab= |AB| h ( h 為 0 到 AB 的距離);21(2)設(shè) A (捲，)、B (X2, y2),直線和 x軸交點為 N,利用 Soab=? |AB| 働一y2|.請同學(xué)們各選一種思路給出解法解方程組時，是消去x還是消去 簡捷的(1)證明：如下圖，由方程組y2= x,y=k (x+1)y,這要根據(jù)解題的思路去確定當然，這里消去x是最消去x后,整理得ky2+y k=0.設(shè) A (冷，y1 )、B (X2, y2),由韋達定理 y1 y2= 1. TA、B在拋物線y2= x上,. 2 2 2 2y1 = X1, y2 = X2, y1 y2 =X1

6、X2x1yX2y2x1x21yy=1, OA丄 0B.(2)解：設(shè)直線與 x軸交于N,又顯然kz 0, 令 y=0,則 x= 1,即卩 N ( 1, 0).T S0AB=S 0AN + S0BN11=|0N|y1|+ QNMI22= 1|0N|- y y2|,_ 10AB=2(y1 y2)2一 4y1 y2T Sa OAB= . 10 ,1 1 1 J0=2 k24. 解得 k= ± 石.評述：本題考查了兩直線垂直的充要條件、三角形的面積公式、函數(shù)與方程的思想，以 及分析問題、解決問題的能力【例3】 在拋物線y2=4x上恒有兩點關(guān)于直線 y=kx+3對稱，求k的取值范圍.剖析：設(shè)B、

7、C兩點關(guān)于直線y=kx+3對稱，易得直線 BC: x= ky+m,由B、C兩點關(guān) 于直線y=kx+3對稱可得m與k的關(guān)系式，而直線BC與拋物線有兩交點， > 0，即可求得k的范圍.C關(guān)于直線y=kx+3對稱，直線BC方程為x= ky+m，代入y2= 4x,得y2 +4ky 4m=0,設(shè) B (Xi,解：設(shè)B、y1 )、C (X2, y2), BC 中點 M (xo, yo), 準=2k, xo = 2k2+m.2點M (Xo, yo)在直線I上， 2k=k (2k2+ m) +3.2k3 +2k +3k又 BC與拋物線交于不同兩點，- A = 16k2+ 16m>0.3把m代入化簡

8、得k 2k 3 v 0,k即(k W-k 3) v 0,解得1v kv 0.二 m=k.本題運用了 “設(shè)而不求”，評述：對稱問題是高考的熱點之一，由對稱易得兩個關(guān)系式 解決本題的關(guān)鍵是由 B、 C兩點在拋物線上得“ >0” .【例4】已知拋物線 C: y2=4 (x 1),橢圓Ci的左焦點及左準線與拋物線C的焦點F和準線I分別重合.(1)(2)(1) 設(shè)動橢圓設(shè)B是橢圓C1短軸的一個端點，線段 BF的中點為P,求點P的軌跡C2的方程； 如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點 M、N，求m的取值范圍.F坐標為(2, 0).準線I的方程為x=0.C1的短軸的一個端點 B的坐標為(X1,

9、y1) (X1> 2, 丫1工0)，點P (x, y), 廣 x<! +2x=,2Xi=2x 2,解法一：由y2=4 (x 1)知拋物線C的焦點yi=2y.亡， B ( 2x 2, 2y) (x>2, yM 0).設(shè)點B在準線x=0上的射影為點B',橢圓的中心為點 0 '，則橢圓離心率嚼1嚅喘,得 J(2x_2_2)2 +(2y)2 =2x_2_2J(2x2_2)2 +(2y)2，y=x 2 (yz 0),這就是點P的軌跡方程.2x _2整理，化簡得解法二：拋物線 y2=4 (x 1)焦點為F (2 , 0),準線I: x=0設(shè)P (x , y), P為BF中

10、點， B (2x 2 , 2y) (x> 2 , yz 0) 設(shè)橢圓C1的長半軸、短半軸、半焦距分別為 則 c= (2x 2) 2=2x 4 , b?= (2y) ?=4y2 ,2)=2 ,ca、b、c,a2 -c2=2 ,c即 b2=2c. 4y2=2 即 y2=x(2)解：由(2x 4),2 (yz 0),此即C2的軌跡方程 x+y=m，(滬 0), y =x 22得 y +y m+2=0，令 =1 4 ( m+2)> 0,解得7m> .4而當m=2時，直線x+y=2過點(2,所求m的取值范圍是(-,2)U40),這時它與曲線C2只有一個交點,(2,+ m)闖關(guān)訓(xùn)練1若雙

11、曲線x2 y2= 1的右支上一點P (a,b)到直線y=x的距離為.2，則a+b的值為1A.-2解析：P (a, b)1C. ± 2.21B.-2點在雙曲線上，則有a2 b2=1,即(a+ b) (a b) =1.D. ± 2da_b|»2,則有 a>b, |a b|=2. 又P點在右支上, a b=2. |a+b|x 2=1 , a+b=2答案：B2 2x y2. 已知對k R，直線y kx仁0與橢圓 +丄=1恒有公共點，則實數(shù) m的取值5 m范圍是A. (0, 1)B. (0, 5)C. 1, 5)U( 5, +1D. : 1 , 5)解析：直線y kx

12、仁0恒過點(0 , 1),僅當點(0, 1)在橢圓上或橢圓內(nèi)時，此直線才恒與橢圓有公共點所以，丄< 1且m> 0，得m1故本題應(yīng)選C.m答案：C23. 已知雙曲線X2 = 1,過P ( 2, 1 )點作一直線交雙曲線于 A、B兩點，并使P為3AB的中點，則直線 AB的斜率為 .解析：設(shè)A (X1, yj、B (X2, y2),代入雙曲線方程 3x2 y2=1相減得直線AB的斜率 y1 y2 3(x1 *x2)kAB=X1 - X2y1 y2X1X23 2y1y23 2 =6.1答案：64. AB為拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦，若|AB|=1 ,則AB中點的橫坐標為 若

13、AB的傾斜角為a，則AB|=.解析：設(shè)過F ( P , 0)的直線為y=k(x P ), kz0,代入拋物線方程,2 22psin2 :-2)的直線被橢圓x2+ 2y2= 2所截弦的中點的軌跡方程由條件可得結(jié)果答案：口5求過點解：設(shè)直線方程為 y=kx+2, 把它代入x2 + 2y2= 2,整理得(2k2+ 1) x2+8kx+6=0.要使直線和橢圓有兩個不同交點，貝y> 0,即kv 丄6或k>-.2 2設(shè)直線與橢圓兩個交點為A (X1 , yj、B (X2 , y2),中點坐標為C (x , y),則x1x2x=2-4k22k21-4k2+2 = -22k 1廠-4kx= 22k

14、2 +1> 2J= 2k2 +1消去 k得 x2 + 2 (y 1) 2= 2 ,6c1且 I x |v = , 0 v yv2 2從參數(shù)方程(k<二6 或 k> 丄6 ),26中心在坐標原點、焦點在x軸上的橢圓，它的離心率為M、N兩點，若以 MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求橢圓方程3與直線x+y仁0相交于22 2解：設(shè)橢圓方程二+斗=1 ( a> b > 0),a2b2T e= ，二 a2= 4b2,即卩 a = 2b.22 2 橢圓方程為 二+電=1.4b2 b2把直線方程代入化簡得 5X2 8x+4 4b2= 0.設(shè) M (xi, yi)、N (X2, y2)

15、,貝V8ixi+ X2=, XiX2=(4 4b2).55- yiy2=( i Xi) ( i X2)i2=i ( Xi + X2)+ XiX2=(i 4b ).5由于 OM 丄 ON , x1x2 + yi y2= 0.解得 b2= 5 , a2=.8 2橢圓方程為-x2+ 8y2= 1.5527已知直線y= (a+1) x 1與曲線y =ax恰有一個公共點，求實數(shù) a的值.y= (a+1) x 1,解析：聯(lián)立方程組5 y2_使其恰有一組解x_1,y_0.y _ax,(1) 當a_0時，此方程組恰有一組解(2) 當0時，方程組化為 二y2 y 仁0.x_ 1, y_ i.a a +1若 _0

16、，即a_ 1,方程組恰有一解a若-_求證：0A丄0B;豐0,即a 1,令 _0，得1+4 -_1 _0,解得a_ -，這時方程組恰有aa5一解x_ 5,y_ 2.綜上所述，可知當a_0, 1,-時，直線與曲線恰有一個公共點5思悟小結(jié)1. 解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次 項的系數(shù)和判別式 ，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便 .2. 涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用平方差法，但必須以直線與圓錐 曲線相交為前提，否則不宜用此法 .3. 求圓錐曲線的弦長時，可利用弦長公式d_ .(ik2)(xi X2)2 = 、(i xyi y2)2 . k再結(jié)

17、合韋達定理解決.焦點弦的長也可以直接利用焦半徑公式處理，可以使運算簡化直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識梳理本節(jié)主要內(nèi)容是直線與圓錐曲線公共點問題、相交弦問題以及它們的綜合應(yīng)用解決這些問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為它們所對應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個數(shù)問題對相交弦長問題及中點弦問題要正確運用“設(shè)而不求”涉及焦點弦的問題還可以利用圓錐曲線的焦半徑公式點擊雙基1過點(2, 4)作直線與拋物線y典例剖析【例1】 已知直線I: y=tana (x+2 . 2 )交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點，若a為I的傾斜角，且|AB|的長不小于短軸的長，求a的取值范圍【例2】 已知拋物線y2= x與直線y=k ( x+1)相

18、交于A、B兩點 1 當厶OAB的面積等于,10時，求k的值【例3】 在拋物線y2=4x上恒有兩點關(guān)于直線 y=kx+3對稱，求k的取值范圍= 8x只有一個公共點，這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條2已知雙曲線C:2x =1，過點4P (1, 1)作直線I，使1與C有且只有一個公共點,則滿足上述條件的直線I共有()A.1條B.2條C.3條D.4條3雙曲線x2 y2= 1的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是()A. (3 0)B. (1,+)C. (, 0) U( 1 , + )D. (m, 1) U( 1 , +3)4過拋物線y2=4x

19、焦點的直線交拋物線于 A、B兩點，已知|AB|=8, O為坐標原點，貝U OAB的重心的橫坐標為.2 25已知(4 , 2)是直線I被橢圓 + =1所截得的線段的中點，貝UI的方程是369【例4】已知拋物線 C: y2=4 (x 1),橢圓Ci的左焦點及左準線與拋物線 C的焦點F 和準線I分別重合(1) 設(shè)B是橢圓G短軸的一個端點，線段 BF的中點為P,求點P的軌跡C2的方程；(2) 如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點 M、N，求m的取值范圍.闖關(guān)訓(xùn)練1.若雙曲線x2 y2= 1的右支上一點1A.21B.22.已知對k R,直線y - kx- 1=0與橢圓-1C. ± 22 2x + =1恒有公共點，則實數(shù) m的取值 m