檀隨機(jī)過程綜合練習(xí)新版

1、隨機(jī)過程綜合練習(xí)題一、填空題(每空3分)第一章1. X-X2,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，Xi的特征函數(shù)為g(t)，貝UXiX2 -X n的特征函數(shù)是。2. EE(XY八。3. X的特征函數(shù)為g(t) , 丫二aX b，則Y的特征函數(shù)為 。4條件期望E(X Y)是的函數(shù)， (是or不是)隨機(jī)變量。5. X1,X2/ Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，Xi的特征函數(shù)為gi(t)，貝yX1 X Xn的特征函數(shù)是 。6. n維正態(tài)分布中各分量的相互獨(dú)立性和不相關(guān)性 。第二早7 寬平穩(wěn)過程是指協(xié)方差函數(shù)只與 有關(guān)。&在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 若每次試驗(yàn)時事件 A發(fā)生的概率為 p (0 ： p ： 1),以

2、X (n)記進(jìn)行到n次試驗(yàn)為止 A發(fā)生的次數(shù)，則X(n),n =0,1,2,是過程。9 .正交增量過程滿足的條件是 。10. 正交增量過程的協(xié)方差函數(shù)Cx(S,t)二。AVV*第二早11. X(t), t > 0為具有參數(shù) 0的齊次泊松過程，其均值函數(shù)為 ；方差函數(shù)為。12設(shè)到達(dá)某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達(dá)率分別為'1 , '2 , '3且均為泊松過程，它們相互獨(dú)立，若把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度、無延時)，相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時間間隔的概率密度是 ，汽車之間的不同到達(dá)時刻間隔的概率密度是。13. X(t), t > 0為具有參數(shù)

3、9;0的齊次泊松過程，P(t s) - X (s)= n J =o n = 0,1，14設(shè)X(t), t > 0是具有參數(shù)0的泊松過程，泊松過程第n次到達(dá)時間 Wn的數(shù)學(xué)期望是。15在保險的索賠模型中，設(shè)索賠要求以平均2次/月的速率的泊松過程到達(dá)保險公司若每次賠付金額是均值為10000元的正態(tài)分布，求一年中保險公司的平均賠付金 額o16. 到達(dá)某汽車總站的客車數(shù)是一泊松過程，每輛客車內(nèi)乘客數(shù)是一隨機(jī)變量.設(shè)各客車內(nèi)乘客數(shù)獨(dú)立同分布，且各輛車乘客數(shù)與車輛數(shù)N(t)相互獨(dú)立，則在0, t內(nèi)到達(dá)汽車總站的乘客總數(shù)是 (復(fù)合or非齊次)泊松過程.17設(shè)顧客以每分鐘 2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流

4、，求在2min內(nèi)到達(dá)的顧客不超過 3人的概率是.第四章18. 無限制隨機(jī)游動各狀態(tài)的周期是 o19. 非周期正常返狀態(tài)稱為 o20設(shè)有獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)序列X n,n 一 1。以X n = 1記第n次試驗(yàn)時事件A發(fā)生，且=1 _ p，若有鏈。PXn =1 = p，以Xn = 0記第n次試驗(yàn)時事件A不發(fā)生，且PXn = 0Yn 八 Xk,n _1，則Yn，n 1是k 二答案、填空題1.gn(t);2. EX ；3. eibtg(at)4. Y;是 5.nH gi(t);i=16 等價7.時間差； &獨(dú)立增量過程;9.E”X(t2)X(t1)lX(t4)X(t3)P = 0210 .二 X (m

5、ins,t)11.t； t ; 12.f(t)二it t 0I t C 0f(t)i '2'3)e"i2，3)tt 00t 013.n(t) ten!14.-15. 24000016.復(fù)合； 17. 71 e"4318. 2;19.遍歷狀態(tài);20.齊次馬爾科夫鏈;二、判斷題（每題2分）第一章n1. gi（t） （i =1,2 - n）是特征函數(shù)，h gi（t）不是特征函數(shù)。（）2. n維正態(tài)分布中各分量的相互獨(dú)立性和不相關(guān)性等價。（）3任意隨機(jī)變量均存在特征函數(shù)。（）n4. gi（t） （i =1,2- n）是特征函數(shù)，| gi（t）是特征函數(shù)。（）i=15

6、. 設(shè) X1）X2）X3）X4是零均值的四維高斯分布隨機(jī)變量，則有E（X"X2X3X4）"（XMEgXJ+EfXMEgXJ+EgXJEgs）（）第二章6嚴(yán)平穩(wěn)過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過程。（）7獨(dú)立增量過程是馬爾科夫過程。（）&維納過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。（）AVV*第二早9. 非齊次泊松過程是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。（）第四章10. 有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返。（）11有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不可能是閉集。（）12有限馬爾科夫鏈，若有狀態(tài)k使一 p（=0,則狀態(tài)k即為正常返的。（）13. 設(shè)i E S，若存在正整數(shù)n,使得貴）A0,

7、 p-1 > 0,則i非周期。（）14. 有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài)。（）15. i是正常返周期的充要條件是 nimp（in） 不存在。（）16平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一個基本正常返閉集。（）17. 有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài)。（）18. i是正常返周期的充要條件是”甲衛(wèi)1存在。（）19. 若 i i j，則有 di =dj ()20. 不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài).答案、判斷題X(t)二cost, 出現(xiàn)正面2t, 出現(xiàn)反面出現(xiàn)正面和反面的概率相等，求X(t)的一維分布函數(shù) F(x,1/2)和F(x,1), X(t)的二維分布函數(shù) F (x!,

8、x2；1/ 2,1)。3. ( 10分)一(易)設(shè)有隨機(jī)過程X (t)二A Bt, t _ 0，其中A與B是相互獨(dú)立的隨機(jī)1.X2. V3.V4.V 5. V6.V7. V8.V9.X10.V11.V12 .V13 . V14 . V15 . V16.V17.X18 . X19 . V20 . V三、大題第一章1. (10 分)(易)設(shè)X B(n,p)，求X的特征函數(shù)，并利用其求EX。(中)利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗(yàn)定義一個隨機(jī)過程,2.( 10 分)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求X(t)的一維和二維分布。第二早4. ( 10分)一(易)設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Vt+b , t (0,+ a), b為常

9、數(shù)，V服從正態(tài)分布 N(0, 1)的隨機(jī)變量，求 X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。5. ( 10分)一(易)已知隨機(jī)過程X(t)的均值函數(shù) mx(t)和協(xié)方差函數(shù)B x(t1, t2), g(t)為普通 函數(shù)，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求隨機(jī)過程丫的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。6. (10分)一(中)設(shè)X(t),t T是實(shí)正交增量過程，T二0,： ), X(0) = 0,'是一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若對任一 t - 0, X(t)都與相互獨(dú)立，求Y(tX(tr , 0,：)的協(xié)方差函數(shù)。7. (10分)一(中)設(shè)Z(t)二X Yt, -：: t，若已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的協(xié)

10、2 方差矩陣為 J12 ，求Z（t）的協(xié)方差函數(shù)。p也8 （10分）一（難）設(shè)有隨機(jī)過程 X（t）, t T和常數(shù)a，試以X（t）的相關(guān)函數(shù)表示隨機(jī)過程Y（t） =X（t a） X（t）, tT的相關(guān)函數(shù)。AVV*第二早9. （10分）一（易）某商店每日8時開始營業(yè)，從8時到11時平均顧客到達(dá)率線性增加.在8時顧客平均到達(dá)率為 5人/時，11時到達(dá)率達(dá)到最高峰 20人/時，從11時到13時，平均顧 客到達(dá)率維持不變，為20人/時，從13時到17時，顧客到達(dá)率線性下降，到17時顧客到達(dá)率為12人/時。假定在不相重疊的時間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問在&30 9: 30間無顧客到

11、達(dá)商店的概率是多少？在這段時間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少？10. （15分）一（難）設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強(qiáng)度為'的泊松過程，每個顧客購買商品的概率為p，且與其它顧客是否購買商品無關(guān)，求（0, t）內(nèi)無人購買商品的概率。11. （ 15分）一（難）設(shè)X1（t）和X2 是分別具有參數(shù)'1和'2的相互獨(dú)立的泊松過程，證 明：丫是具有參數(shù) 、2的泊松過程。12. （10分）一（中）設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過程，平均每周有2戶定居即 =2。如果每戶的人口數(shù)是隨機(jī)變量，一戶四人的概率為1/6，一戶三人的概率為1/3, 一戶兩人的概率為 1/3, 一戶一人的概率為1/6

12、，并且每戶的人口數(shù)是相互獨(dú)立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差。,k13. （ 10分）一（難）在時間t內(nèi)向電話總機(jī)呼叫 k次的概率為pt（k）e，k =0,1,2，k!其中0為常數(shù)如果任意兩相鄰的時間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在時間2t內(nèi)呼叫n次的概率P2t（n）14. （10分）一（易）設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人到達(dá)，求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔超過2 min15. （15分）一（中）設(shè)進(jìn)入中國上空流星的個數(shù)是一泊松過程，平均每年為10000個每 個流星能以隕石落于地面的概率為 0.0001,求一個月內(nèi)落于中國地面隕石數(shù) W的E

13、W、varW 和 PW > 2.16. （10分）一（易）通過某十字路口的車流是一泊松過程設(shè)1min內(nèi)沒有車輛通過的概 率為0.2,求2min內(nèi)有多于一輛車通過的概率。30人到達(dá),17. （10分）一（易）設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有求下列事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔短于4 min18. （ 15分）一（中）某刊物郵購部的顧客數(shù)是平均速率為6的泊松過程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為1/2、I/3和1/6,且相互獨(dú)立設(shè)訂一年時，可得1元手續(xù)費(fèi)；訂兩年時，可得2元手續(xù)費(fèi)；訂三年時，可得3元手續(xù)費(fèi)以X（t）記在0 , t內(nèi)得到的總手續(xù)費(fèi)，求 EX（t）與 va

14、r X（t）19. （10分）一（易）設(shè)顧客到達(dá)商場的速率為2個/ min，求（1）在5 min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù) 的平均值；（2）在5min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；（3）在5min內(nèi)至少有一個顧客到達(dá)的概率.20. （10分）一（中）設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率.21. （15分）一（難）設(shè) X（t）和丫（t > 0）是強(qiáng)度分別為'x和y的泊松過程，證明：在 X（t）的任意兩個相鄰事件之間的時間間隔內(nèi)，Y（t）恰好有k個事件發(fā)生的概率為第四章22. （10分）一（中）已知隨機(jī)游動的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

15、0.50.50P=00.50.50.500.5求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣P（3）及當(dāng)初始分布為PX。=1 = PX。=2 =0, PX°=3 = 1時，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率。23. （15分）一（難）將2個紅球4個白球任意地分別放入甲、乙兩個盒子中，每個盒子放3個，現(xiàn)從每個盒子中各任取一球，交換后放回盒中（甲盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)取出的球放入甲盒中），以X（n）表示經(jīng)過n次交換后甲盒中紅球數(shù)，則 X（n） , n0為齊次馬爾可夫鏈，求（1） 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣;（2）證明：X（n） , n > 0是遍歷鏈；（3）求,j = 0,1,224. （10分）一（中）已知本月銷售

16、狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下:-0.80.10.們PT(0) = (0.4,0.2, 0.4)P =0.10.70.20.20.20.6求下一、二個月的銷售狀態(tài)分布。25. （15分）一（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間1 = 1 , 2，7，轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.40.20.100.10.10.10.10.20.20.20.10.10.1000.60.4000P =000.400.600000.20.50.300000000.30.7000000.80.2求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布。26. （ 15分）一（難）設(shè)河流每天的BOD（生物耗氧量）濃度為齊次馬爾可夫鏈， 狀態(tài)空間I=1，2, 3

17、, 4是按BOD濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣（以一天為單位）為0.50.2 P =0.10若BOD濃度為高，則稱河流處于污染狀態(tài)。（3）河流再次達(dá)到污染的平均時間J4。0.40.10 _0.50.20.10.20.60.10.20.40.4（1）證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈；（2）求該鏈的平穩(wěn)分布;27. （10分）一（易）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間1 = 0, 1 , 2, 3，轉(zhuǎn)移概率矩陣為1/21/21/21/20000P =1/41/41/41/40001求狀態(tài)空間的分解。I = 1 , 2, 3, 4.轉(zhuǎn)移概率矩陣為28. （15分）一（難）設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為1 0 0

18、 00 1 0 0 P =1/3 2/300J/41/401/229. （10分）一（易）設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為-1/21/20 1P =1/201/201/21/2求其平穩(wěn)分布。30. （15分）一（難）甲乙兩人進(jìn)行一種比賽，設(shè)每局比賽甲勝的概率是p,乙勝的概率是 q,和局的概率為r，且p+q+r=1 .設(shè)每局比賽勝者記 1分，負(fù)者記一 1分.和局記零分。當(dāng) 有一人獲得2分時比賽結(jié)束.以 Xn表示比賽至n局時甲獲得的分?jǐn)?shù)，則 Xn,n_1是齊 次馬爾可夫鏈.（1）寫出狀態(tài)空間I ; （ 2）求出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（3）求甲已獲1分時，再賽兩局可以結(jié)束比賽的概率.31. （10分）一（中

19、）（天氣預(yù)報問題）設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān).又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為：，而今天無雨明天有雨的概率為：，規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0,無雨天氣為狀態(tài)I。因此問題是兩個狀態(tài)的馬爾可夫鏈.設(shè)- =0.7, ： = 0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率.32. （10分）一（中）設(shè)Xn,n _1是一個馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間I=a , b, c，轉(zhuǎn)移概 率矩陣為1/2 1/4 1/4P = 2/301/33/5 2/50求（1） PXp =b, X2 =c, X3 = a,X4 =c, X5 =a, X6 =c, X7 = b|X0 =c（2）PXn 2 二 C|Xn 二

20、b33. （15分）一（難）設(shè)馬爾可夫鏈 Xn,n _0的狀態(tài)空間1= 1 , 2,，6，轉(zhuǎn)移概率 矩陣為1001000 1000001P =0000101/31/301/30010000001/20001/2 一試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態(tài)的周期。答案三、大題0 1.解：引入隨機(jī)變量Xi i=1,2_ n （1分）q p丿itX iit 0it 1iti（t）二 Ee =e q e p 二 pe q （3分）X = X i B(n, p) (4 分)i 二 nit(Xi)n(t)二 EeitX 二 Ee 乜Ee"，= (peit q)n (6 分)y(OiEX (8 分)EX -

21、 -i (0)二-i '(pe二 一 i »( peit q)nJ peit i二 npt z0(10 分)2 解：依題意知硬幣出現(xiàn)正反面的概率均為1/2(1) 當(dāng)t=1/2時，X (1/2)的分布列為P1x(2)"= px(*ri其分布函數(shù)為F(2；x)二0 1210x13分)同理，當(dāng)t=1時X (1)的分布列為Px(1)其分布函數(shù)為F(1；x)二0 121x -1 1x25分)(2) 由于在不同時刻投幣是相互獨(dú)立的，故在t=1/2 , t=1時的聯(lián)合分布列為1PW",X(1) = 1PX=0,X(1) = 2十X(2)=1,X(1) = -1X(1)

22、= 2故聯(lián)合分布函數(shù)為01/41F(2,1；xi，x2) =1/2x0 or x2-1-x11 and 一 1 _ x22-x11 and x2 _ 2or Xj _ 1 and - 1 _ x22Xp - 1 and *2-210 分)3.解：對于任意固定的t T, X(t)是正態(tài)隨機(jī)變量，故EX(t)二 E(A) E(B)t 二 0DX(t)二 D(A) D(B)t2 =1 t2所以X( t)服從正態(tài)分布 N(0,1t2) (3分)其次任意固定的 ti,t T, X(tiH A Bti, X(t2A Bt2則依n維正態(tài)隨機(jī)向量的性質(zhì)，X(t1), X(t2)服從二維正態(tài)分布，且EX(tJ

23、= EX(t2) = 0DX(tJ =1 t；DX(t2) =1 t2( 8 分)Cov(X(tJX(t2) = EX(tX(t2) =1 tit2li t21 t1t2所以二維分布是數(shù)學(xué)期望向量為(0,0)，協(xié)方差為I122的二維正態(tài)分布。1 +tjt21 +t2(10 分)4解：X(t)二Vt b , V N(0,1)，故 X(t)服從正態(tài)分布，EX(t)丄 E Vt btEV b = bDX(t) l- D Vt b - t2DV 二 t2均值函數(shù)為m(t)二EX(t)丄b ( 4分)相關(guān)函數(shù)為R(t1,t2EX(t1)X(t1EVt1 blVt2 bl=E V%t2 V(tt2)b b

24、2 丄 tt b2 ( 10分)5.解：mY(t)二 EY(t)二 EX(t) g(t) = mx(t) g(t)(4 分)BY (t1 , t2 = RY (t1，切- mY (t1 )mY (t2 )二 EY(tJY(t2)-mY(tmY(t2)二 EX(t1)g(t1)X(t2)g(t2)-mX(t1)g(tJmX(t2)g)-RX (t1 D - mX (t1 )mX (t2 ) = BX (t1 , t2) (10 分)6解：因?yàn)閄(t),tT是實(shí)正交增量過程，故 EX(t) =0服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以E =0, D =1(2 分)EY(t)=EX(t) E =0 (4 分)又因?yàn)閠

25、 _ 0, X(t)都與相互獨(dú)立CovY(s),Y(t)二 EY(s)Y(t)二 EX(s)X(t) (6 分)二 EX(s)X(t) EX(s) EX(t) E 2= CovX(s),X(t) 1 (8 分)-(mins,t) 1 ( 10 分)7解：利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得，CZ(s,t)=E 譏X 丫9一(5yS)】I(X Yt)-Tx7) t (2 分)二 E*X 7X) (Ys-ys)7X) (Yt7Yt)B二 E(X - 呎)2 E(X - .”(丫丫)1E(Xx)sd EstD2 (8 分)-DX (s t)Cov(X,Y) stDY=；：】2 (s t)st二；(10 分)&am

26、p;解：RY(ti,t2)= EX(ti a)-X(ti)X(t2 a)-X(t2) (2分)二 EX(t a)X(t2a)-EX(t! a)X(t2) - EX(tJXa) EX(tX(t?)=RX (t1a,t2a_RX (t1a, t2RX (t1,t2a)RX (t1 , t2 ) (10 分)9.解：根據(jù)題意知顧客的到達(dá)率為5 5t 0 < t 3Mt) = <203 蘭 t <5 ( 3 分)|20_2(t_5) 5 蘭tv 91.5mX(15)mX(05) =(5 5t)dt=10 (6 分)0.5PX(1.5)X(0.5) =0 =e" (10 分)

27、10解：設(shè)X(t),t -0表示到達(dá)商店的顧客數(shù)，i表示第i個顧客購物與否，即1第i個顧客購物匕=丿0第i個顧客不購物則由題意知 < 獨(dú)立同分布且與 X(t)獨(dú)立P( i ")= p, P( i =0)"-pX(t)因此，Y(t)=為珥是復(fù)合泊松過程，表示(0, t)內(nèi)購買商品的顧客數(shù)，(5分)7由題意求"x(t)PY(t) =0 = P送 =0li二zk=0'X(t)P送件=0, X(t) = ki7=X p X(t) = klP吃 =0>Ly J(10 分)k=0k =0 k!k =0k!(15 分)11證明： PY(t ) Y(t)二 n

28、二 PXi(t) X2(t)- Xi(t) -X2(t)二 n=PX1(r )- X1(t) x2(t ) -X2(t)二 nnf PXi(t ) - Xi(t) =i, X2(t )-X2(t)=n-i (5分)i =0nPXi(t ) Xi(t) = i PX2(t) X2(t) = n ii =0( 1)1-1 ( 2 )n；'2V i!(n-i)!(10 分)(i 2) nn!n 二 0,1,2故Y(t)是具有參數(shù) -r2的泊松過程(15 分)12.解：設(shè)N(t)為在時間0, t內(nèi)的移民戶數(shù)，其是強(qiáng)度為 2的泊松過程，Yi表示每戶的N (t)人數(shù)，則在0, t內(nèi)的移民人數(shù) X(

29、t)工為Yi是一個復(fù)合泊松過程。i=1(2 分)Yi1234P11116336Yi是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布為EYdEYi436 6(4分)mX(5) =EN (5) EYj =2 5 15 =256(7 分)x(5) = DN (5) EY； =2 5 43 = 21563(10 分)13解：以A記時間2t內(nèi)呼叫n次的事件，記第一時間間隔內(nèi)呼叫為Hk，則P(HQ =R(k),第二時間間隔內(nèi)P(A|Hk) =R( n-k)成立，于是n“(n)八 R(k)R(n-k)kTn-kn kee-心 k! (n-k)!(4分)en!n! k=0 k!(n- k)!2、n片Ckn!k=08 分)n!1

30、4解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強(qiáng)度為10 分) 的泊松過程，則顧客到達(dá)的時間間隔Xn,n_1服從參數(shù)為的指數(shù)分布,fx(x) = £30x30e0x _0x : 0(4分)24=oPX 60FeJ30x .dx(10 分)15解：設(shè)X(t)是t年進(jìn)入中國上空的流星數(shù),X(t)為參數(shù)= 10000的齊次泊松過程1,第i個流星落于地面0,第i個流星不落于地面= 1,2,0 1,0.9999 0.0001X(t)由題意知，、Yj是一個復(fù)合泊松過程i =1(5分)11EW 二 EX(t) E¥10000 0.0001 二12122 1 2 1 VarW =VarX(t) EYi

31、10000 10.0001 =12 12W是參數(shù)為9=1的泊松過程 (10分)PW _2 =PW <1 =1 - PW =0 - PW =1116.解:(1 )0 1 ( 1 )1 1 1 彳 1 =1_ 12。冠 一 12=1-e無- 1 盯(15 分)0! 1! 12以N(t)表示在0,t)內(nèi)通過的車輛數(shù)，設(shè)N(t), t_0是泊松過程，則PN(t) =kk=0,1,2, (2 分)k!PN(1)=e£；=0.2=二=1 n5 (5 分)PN(2)1 =1 _PN(2) E1 =1_PN(2) =0 _PN(2)=1一1 - e2 e-In 5 (10 分)525的泊松過程

32、，則顧客到達(dá)的時間間隔Xn,n_117解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強(qiáng)度為30 x30ex _0(4分)服從參數(shù)為的指數(shù)分布,x : 0J30xPx吃0603皆十訂(10 分)18.解：設(shè)Z(t)為在0，t內(nèi)來到的顧客數(shù)，Z(t)為參數(shù)星=6的齊次泊松過程,Yi是每個顧客訂閱年限的概率分布，且Yi獨(dú)立同分布，Z(t)由題意知，X(t)二、Yi為0, t內(nèi)得到的總手續(xù)費(fèi)，是一個復(fù)合泊松過程im (5 分)EY!1 20(8 分)221212EY； =1222322 319.t=2EX(t) =EZ(t) EY1 =6t0t6VarX (t) =VarZ(t) EY12 =6t解：N表示在0 ,

33、 t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，顯然時，N( 5)服從泊松過程PN(5)=k八 k!=0t6(15 分)N (t), t >0是泊松過程，=2，則當(dāng)-e5, k= 0,1,2,5分)故 EN (5) =10;DN(5) =1010 分)PN(5) _1=1 -PN(5) = 0=1 -e020.解：因?yàn)榫S修次數(shù)與使用時間有關(guān),所以該過程是非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù)(t)二1 / 2.50<t<51/25 t 豈10則 1(10)二100 (t)dt2.510 1dt 5 2心56分)4 5PN(10) - N(0) =1 =e .4.5!1!9_210 分)21證明：設(shè)X (t)的兩個相

34、鄰事件的時間間隔為依獨(dú)立性有PY(t )-Y(t)HkHLjk?LY k!2分)而X (t)的不同到達(dá)時刻的概率密度函數(shù)為Xe_ X - 0others4分)由于X (t)是泊松過程，故 Y (t)恰好有k個事件發(fā)生的概率為0.50.5010.50.50.50.50100.50.500.50.500.50.50.500.50.500.50.500.5P322.解:二xe" dk!x-.k'X ' Yk!k!k!( k 1V X ' Y )(8 分)10 分)0.25=0.3750.3750.375 0.3750.250.3750.3750.2523.解:由題意

35、知，甲盒中的球共有3種狀態(tài),6分)10 分)P3 =P3 p33)=仆 0.25 = 0.25X(n)表示甲盒中的紅球數(shù)甲盒乙盒22紅、1白3白11紅、2白1紅、2白03白2紅、1白Poo = P 甲乙互換一球后甲盒仍有3個白球|甲盒有3個白球=P從乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3P01 = P 甲乙互換一球后甲盒有2個白球1個紅球|甲盒有3個白球=P從乙盒放入甲盒的一球是紅球=2/3P02二P 甲乙互換一球后甲盒有1個白球2個紅球|甲盒有3個白球=01/32/30以此類推，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P =2/95/92/902/31/3(2)因?yàn)楦鳡顟B(tài)互通，所以為不可約有限馬氏鏈，且狀態(tài)0無周期，故

36、馬氏鏈為遍歷鏈。(8 分)10分)(3 )二-(二 0,二 1,二 2)兀=up解方程組丿即兀0 +兀勺+応2 = 12JI12-3 2 1 H + H - 2 - 9 1 1-32 + H + H O 5-9 1 兀 + 兀 1 4-3 02-9: -JI- + 0 2-3 2 O 兀 一一JI兀解得二 0 = i = 2 =555lim p(0°n_.二二0爲(wèi),limn 匸:p(1n)-1lim pjn >=JI(15 分)24.解:PT(1) = PT(0)P 二(0.4,0.2, 0.4)0.80.10.10.10.70.20.20.20.6二(0.42,0.26,0.

37、32)(5分)25.解:常返閉集解方程組0.8 0.1 0.1 0.8 0.1 0.1PT(2) = PT(0)P2 =(0.4,0.2, 0.4)0.10.7 0.20.10.7 0.2= (0.426,0.288,0.286)C10.20.20.6 一 0.20.20.6(10 分)-1,2是非常返集，C1二3,4,5上的轉(zhuǎn)移矩陣為二3,4,5,0.60.40.40.20.5C2二6,7是正常返閉集。5分)0【0.60.3: - P，其中兀=(兀3,兀4,叫)，解得H310二 3 二 4 二 5 =1兀"23,23 ,23（10 分）1076C1上的平穩(wěn)分布為0，0，23,23,

38、23，0，087同理解得C2上的平穩(wěn)分布為0,0, 0,0,0, （15分）15 1526. 解：（1）因?yàn)?r 2 、3.r 4，故馬氏鏈不可約，又因?yàn)闋顟B(tài)1非周期，故馬氏鏈?zhǔn)潜闅v鏈（5分）'兀=jiP（2 ）解方程組丿其中兀=（兀1,兀2，兀3,兀4）71 +兀2 + 兀3 +4=1解得=0.2112,二2 = 0.3028,二3 = 0.3236,-4 = 0.1044 （10 分）1（3） j9（天）（15 分）兀427. 解：狀態(tài)傳遞圖如下圖（2 分） 由狀態(tài)3不可能到達(dá)任何其它狀態(tài)，所以是常返態(tài).由狀態(tài)2可到達(dá)0, 1, 3三個狀態(tài)，但從 0, 1, 3三個狀態(tài)都不能到達(dá)狀態(tài) 2,且5）厶 I 22n生1（5分）8 分）（10 分）f22°1 ,故狀態(tài)2是非常返狀態(tài)。4狀態(tài)0, 1互通且構(gòu)成一個基本常返閉集,00f0（02）f畀'、 f （n）00n A故狀態(tài)0, 1是常返態(tài)。于是狀態(tài)空間分解為I二2 0,1 *328. 解：狀態(tài)傳遞圖如下圖狀態(tài)返集.有p4；以上說明1和狀態(tài)2都是吸收態(tài).pV =1, p21° =o, p3；n（I） （n 丄） T 41 p11I