最新9(高中競賽講座)三角恒等式與三角不等式

1、學(xué)習(xí)-好資料高中數(shù)學(xué)競賽講座99三角恒等式與三角不等式三角恒等變形，既要遵循代數(shù)式恒等變形的一般法則，又有三角所特有的規(guī)律三角恒等式包括絕對恒等式和條件恒等式兩類。證明三角恒等式時(shí)，首先要觀察已知與求證或所證恒等式等號兩邊三角式的繁簡程度，以決定恒等變形的方向；其次要觀察已知與求證或所證 恒等式等號兩邊三角式的角、函數(shù)名稱、次數(shù)以及結(jié)構(gòu)的差別與聯(lián)系，抓住其主要差異，選擇恰當(dāng)?shù)墓綄ζ溥M(jìn)行恒等變形，從而逐步消除差異，統(tǒng)一形式，完成證明.“和差化積”、“積化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我們常用的變形技巧。當(dāng)然有時(shí)也可以利用萬能公式“弦化x切割，將題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于 t tan 的代數(shù)恒等式的

2、證明問題 .2要快捷地完成三角恒等式的證明，必須選擇恰當(dāng)?shù)娜枪?為此，同學(xué)們要熟練掌握各公式及各公式的來龍去脈和變形形式 .上圖為三角公式脈絡(luò)圖，由圖可見兩角和差的三角函數(shù)的公式是所有三角公式的核心和基礎(chǔ)此外，三角是代數(shù)與幾何聯(lián)系的“橋梁”，與復(fù)數(shù)也有緊密的聯(lián)系，因而許多三角問題往往可 以從幾何或復(fù)數(shù)角度獲得巧妙的解法.三角不等式首先是不等式，因此，要掌握證明不等式的常用方法：配方法、比較法、放縮法、 基本不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等 .其次，三角不等式又有自己的特點(diǎn)一一含有三角式，因而三角函數(shù) 的單調(diào)性、有界性以及圖象特征等都是處理三角不等式的銳利武器三角形中有關(guān)問題也是數(shù)學(xué)競賽和高考的常見題

3、型.解決這類問題，要充分利用好三角形內(nèi)角和等于180。這一結(jié)論及其變形形式.如果問題中同時(shí)涉及邊和角，則應(yīng)盡量利用正弦定理、余弦更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料定理、面積公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)邊角統(tǒng)一 .求三角形面積的海倫公式 1S 、p(p a)(p b)( p c)其中p-(a b c),大豕任任不甚熟悉，但十分有用例題講解sin1 .已知 sin Asin( ), | A | 1,求證：tan( ) .cos A2 .證明：cos7x 7 cos5x 21 ocs3x 35cosx 64cos7 x.3 .求證：v3tan 18tan18 tan12 v13tan12 1.4 已知1-tan 20

4、01,求證：sec2 tan2 2001.1 tan5 .證 明：4sin sin(60 )sin(60 ) sin 3 .6 .求證： cos6 cos42 cos66 cos78 一 16 sin1 ° sin2 ° sin3 ° sin89° = (-)45 6/10.4更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料更多精品文檔7.證明：對任一自然數(shù)n及任意實(shí)數(shù)m /,k (k 0,1,2,2,n,m為任一整數(shù)），有8.9.sin 2x sin 4x1sin2n xcot xcot 2n x.證明:sin(sinsin()sin(sin(n 、_._n 1 )sin22

5、sin 2sin 1sin221.八一sin 3310.已知,證明：2sin2ctg 一，并討論等號成立的條件。211.已知(0,),能否以sin2sin , sin(）的值為邊長，構(gòu)成三角形。12.在 ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c ,求證:aA bB cC13.在銳角 ABC中，求證(1) sin A sin B sinC cosA cosB cosC ； (2) tgAtgBtgC14.設(shè) x y一，且x y z 一，求乘積 cosxsin ycosz的最大值和最小值。122課后練習(xí)1.證明：sin47 ° +sin61 ° sin11 ° sin

6、25 ° =cos72,證明：啊2一)2cos() S.sinsin3.已知：sinA+sin B+sinC=0, cosA+cosB +cosC=0.求證:4.已知sin2A+sin2 B+sin2C=0, cos2A+cos2B+cos2c=0.(0,),求證：sin11 sin2-sin30.235.已知0一,且tan 3 tan ，求的最大值.2sin sin的最大值.6. 已知 、（0,一），且.求ysin sin22,2,7. ABC中，C=2B的充要條件是 c b ab.8. ABC 中，已知 sin2 A、sin2 B > sin2 C 成等差數(shù)列，求證： co

7、t A、cot B、cotC 也成等差數(shù)列.9. ABC中，角A、B、C所對的邊分別為 a、b、c,已知2b a c,求B的最大值.10.若（0,萬），能否以 sin、sin 、sin（）的值為邊長構(gòu)成一個(gè)三角形11 .求函數(shù)yvr2 x 、8 3x的值域.12 .求函數(shù)y x 1 JX12x2的值域. 213 .在 ABC 中，求證： c acosA bcosB； b ccosC acosA ；a bcosB acosA。14.設(shè)為銳角，求證:11_ _ _(1 )(1 ) 3 2 2sin cos15.對 x (0,-)， 求證:2x sin xtgx 。例題答案：故可利用A”入手.1.分

8、析：條件涉及到角、，而結(jié)論涉及到角 ，（） 或 （） 消除條件與結(jié)論間角的差異，當(dāng)然亦可從式中的證法1:sinAsin(),sin()Asin(),sin()coscos()sin Asin(),sin()(cosA) sin cos(),|A| 1, cos A 從而cos(tan(0,)0, sincos A證法2: sinsinsincos sin( )sin( )sincos sin( ) sin)sin )sin(sin(cos sin(sin( )sincos( tan()sin ).2 .分析：等號左邊涉及角 lx、 cosx的表達(dá)式，但相對較繁5x、3x、x右邊僅涉及角 .觀察

9、到右邊的次數(shù)較高,x,可將左邊各項(xiàng)逐步轉(zhuǎn)化為 可嘗試降次.sin x、證明：因?yàn)閏os3x4 cos3 x3cos x,所以 4cos3 xcos3x 3 cos x,從而有16cos6 x22cos 3x 6cos3xcosx 9cos x1 cos6x9co 3(cos4x cos2x) -(1 cos2x)32cos6 x764cos x1 cos6x 6 cos4x 6 cos2x 9 9 cos2x,2 cos6xcosx 12 cos4xcosx 30 cos2x cos x20cosxcos7x cos5x 6cos5x 6cos3x 15cos3x cos7x 7 cos5x

10、21cos3x 35cosx.評述：本題看似“化簡為繁”，實(shí)質(zhì)上抓住了降次這一關(guān)鍵，很是簡捷15cosx 20cosx令 z cos i sin，貝U2 cos17z -，從而,128cos z(z.另本題也可利用復(fù)數(shù)求解1)7 ,展開即可.z3 .思路分析：等式左邊同時(shí)出現(xiàn)tan18 tan12、tan18tan12 ,聯(lián)想到公式tan() tan tan1 tan tan證明：-3tan18 tan18 tan123tan12. 3(tan18 tan12 ) tan18 tan12tan12、.3 tan(18 12 )(1 tan18 tan12 ) tan181評述：本題方法具有一定

11、的普遍性.仿此可證（1 tanl)(1tan 2)(1tan 43 )(1 tan 44 )222 等.、1 sin 2tan2 cos21 cos(- 225 .證明：sin 33sin1 tan1 tan 2001.34sin4sin3(一 sin44sin4sin3 (-cos431 -sin44sin4sin( cos2(sin 60 cossin(2tan(一41 (2sincos60sin)(sin 60coscos60sin )sin(60 )sin(60評述：這是三倍角的正弦的又一表示.類似地，有cos34coscos(60)cos(60 )tan3 tan tan(60 )

12、tan(60 ).利用這幾個(gè)公式可解下例6.證明： cos6° cos42° cos66° cos78°。 cos42 cos78=cos6 cos54 cos66 cos54學(xué)習(xí)好資料更多精品文檔cos18 cos42 cos784 cos5411cos(3 18 )44 cos541.16 sin1 ° sin2 ° sin3° sin89°=(sin1 ° sin59° sin61 °)(sin2°sin58° sin62° ) - (sin29&#

13、176; sin31° sin89° )sin30° sin60°1 29= (-) sin3 sin 6 4sin87,.3430 . 3(sin3 sin57sin 63 )(sin 6 sin 54 sin 66 ) (sin 27 sin33 sin87 ) sin 30 sin 60(4)(4)4040(4)(4)(4)(4)(4)(4)424242424343又(cos183sin 9 sin18 sin 813 (sin9 sin18 )(sin18 sin72 )(sin 27 sin63 )(sin 36 sin54 ) sin4532

14、 . . cc . csin 18 sin36 sin54 sin7223 、, 2 cos7223 V 2 cos1823一 ：2 cos1823 .2sin7223 d2 cos182sin36 )2cos54cos36cos36cos54sin364(14(14(1516cos36 cos18cos72cos54sin18cos54cos36 )(1cos72 )cos36cos72 cos36 cos72 )cos36 cos72 )學(xué)習(xí)-好資料更多精品文檔即 cos18 sin 36所以 sin 1 sin 21sin89()45 6.10.4成兩項(xiàng)之差，并7.思路分析：本題左邊為

15、n項(xiàng)的和，右邊為 2項(xiàng)之差，故嘗試將左邊各項(xiàng)“裂希冀能消去其中許多中間項(xiàng)22 cos x cos2xsin2x證明：sin 2x22cos x cos2x2sin xcosx sin 2xcot x cot 2x,1同理 cot 2x cot4xsin 4x1 cot 2n 1 x cot 2nx sin 2 x評述：本題裂項(xiàng)技巧也可通過數(shù)學(xué)歸納法獲得“裂項(xiàng)相消”在解題中具有一定的普遍性，類似可證下列各題:tan tan2 tan 2 tan3tan(n 1) tanntanntantan 2tan2 22 tan2211cos0 cos1 cos1 cos21.，8.證明：sin sincos(222n tan2ncot2n 1 cot2n 11cos88 cos89cos1 cot12) cos( -),類似地sin()sin 萬sin()sin 21，-cos(12 cos(3252)cos(cos(),sin()sin 一 21 r /2 cos(2