專題05平面向量原卷版

1、三觀一統(tǒng)2020年高考數(shù)學(xué)十年高考真題精解（全國卷 |）專題5平面向量十年樹木，百年樹人，十年磨一劍。本專輯按照最新2020年考綱，對近十年高考真題精挑細(xì)選，去偽存真，挑選符合最新考綱要求的真題，按照考點(diǎn)/考向同類歸納，難度分層精析，對全國卷I具有重要的應(yīng)試性和導(dǎo)向性。三觀指的觀三題（觀母題、觀平行題、觀扇形題），一統(tǒng)指的是統(tǒng)一考點(diǎn)/考向，并對十年真題進(jìn)行標(biāo)灰（調(diào)整不考或低頻考點(diǎn)標(biāo)灰色）。（一） 2020 考綱考點(diǎn)2020考綱要求平面向量的基本概念了解向量的實(shí)際背景理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義理解向量的幾何表示平面向量的線性運(yùn)算掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾 何意義掌握向量

2、數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解 兩個向量共線的意義了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義平面向量的基本疋理及其坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系平面向量的應(yīng)用會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問 題會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他 一些實(shí)際問題（二）本節(jié)考向題型研究匯總題型考

3、向考點(diǎn)/考向平面向量的基本疋理及其坐標(biāo)表示會利用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算會利用平面向量的性質(zhì)解決相關(guān)冋題平面向量的數(shù)量積會利用向量的數(shù)量積公式和相關(guān)性質(zhì)解決向量的實(shí)際問題平面向量的幾何表示會利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表達(dá)平面幾何中的相關(guān)問題平面向量的綜合應(yīng)用會利用平面向量解決相關(guān)實(shí)際冋題、考向題型研究一：平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示三觀真題（2017新課標(biāo)I卷T13文科）jI已知向量a= (- 1, 2), b = (m, 1),若向量卻+b與3垂直，貝U m=QB平行薊（2016新課標(biāo)I卷T13文科）設(shè)向量 a=（x, x+1）, b=（1, 2），且a丄b,貝U x=.觀扇形題）（

4、2011新課標(biāo)I卷T13文科）已知a與b為兩個垂直的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量垂直，則k=一統(tǒng)考點(diǎn)/考向乙、平面向量基本定理如果e1, e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)入，蘢，使a182e2.其中，不共線的向量e1, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解、平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 X軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y,使得a=xi + yj,這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定

5、，我們把(x, y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a= (x, y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量坐標(biāo)的求法(1) 若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)uuu(2) 設(shè) A (xi, yi), B (X2, y2),貝U AB = (X2 xi, y2 yi).2.向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a=(xi ,yi),b=(x2 ,y2),貝U a+ b=(x2+xi ,y2+yi),a b=(xi x2 ,yi y2),七=(入x ,入 y,|a|= ,x；+y； , |a + b|= (Xi+x?)2+(%+y2)2 3平面向量共

6、線的坐標(biāo)表示設(shè) a= (xi , yi), b= (x2 , y2),貝V a / b? xiy2 x2yi=0.4.向量的夾角urnuuu已知兩個非零向量 a和b,作OA=a , OB =b ,則/ AOB= ( 0°餐i80)°叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直，記作a丄b.*平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).2解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用牢記：向量的坐標(biāo)與表示向

7、量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.*向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為a （ R）,然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入 a即可得到所求的向若a (xi,yj ,量.2利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用b （X2, y2），則a/ b的充要條件是x x?yi”解題比較方便.uuu uuur3三點(diǎn)共線問題.A, B, C三點(diǎn)共線等價于 AB與AC共線.4利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)

8、算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變二、考向題型研究二：平面向量的數(shù)量積三觀真題00（2019新課標(biāo)I卷T7理科）.已知非零向量 a, b滿足 a =2 b，且（a-b）b,貝U a與b的夾角為nn2 n5 nA.B.C.D.6336(2016 新課標(biāo) I 卷 T13 理科)設(shè)向量 a=(m,1), b=(1,2)，且 |a+b|2=|a|2+|b|2，則 m=.（2017新課標(biāo)I卷T13理科）已知向量色，H的夾角為60°| '|=2 ,卜|=1，則 P+2' |=(2012新課標(biāo)I卷T15文科)已知向量 a , b夾角為45°，且|a|=i, |2a b |

9、-. 10，則|b|=.(2013新課標(biāo)I卷 T13理科)已知兩個單位向量 a, b的夾角為60 ° c = ta+ (1 t)b.若b c= 0，貝U t.一統(tǒng)考點(diǎn)/考向二一、平面向量的數(shù)量積1 平面向量數(shù)量積的概念(1) 數(shù)量積的概念 已知兩個非零向量a,b，我們把數(shù)量|a | b |cos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b,即a b|a | b |cos ，其中b是a與b的夾角【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(2) 投影的概念設(shè)非零向量a與b的夾角是則|a|cos (|b | cos )叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如圖(1) (2) (3)所示，分

10、別是非零向量a與b的夾角為銳角、鈍角、直角時向量a在b方向上的投UULT影的情形，其中OB1| a |cos ，它的意義是，向量 a在向量b方向上的投影長是向量ob的長度(3) 數(shù)量積的幾何意義由向量投影的定義，我們可以得到 a b的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影| b | cos的乘積.2 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a,b,c和實(shí)數(shù)，則 交換律：a b b a ； 數(shù)乘結(jié)合律：(a) b (a b) = a ( b)； 分配律：(a b) c = a c b c.二、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角及性質(zhì)設(shè)非零向量a (xi,yjb (X2,y2), 是

11、a與b的夾角.(1) 數(shù)量積：a b | a | b | cosx1x2 y1y2.(2) 模：|a| 、a a ；為2 yj .(3) 夾角：cos 楚竺業(yè)|a|b| 賦y2Tx?y7(4) 垂直與平行：a b a b 0x/? yi y2 0 ； a / b? a b=+|a|b|.【注】當(dāng)a與b同向時,a b |a|b| ；. /2 2 2 2 yiy21"屮.X2y2當(dāng)a與b反向時,a b | a | b |.(5)性質(zhì)：|a b|毛|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a / b時等號成立)? |x,x2、平面向量的應(yīng)用i.向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知a （為，yj, b化旳.（1）證明線段平

12、行、點(diǎn)共線問題及相似問題，常用向量共線的條件：a/ b a b xy x?%0（b0）（2）證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，常用向 量垂直的條件：a b a b 0 住y20 （其中a,b為非零向量）(3)cos(4)求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模:求夾角問題，若向量 a與b的夾角為 ，利用夾角公式:也_絲（其中a,b為非零向量）2 2 2 2 yi IX2 y2|a|2yi ,或|AB| |AB| .（X3 X4）2 （Y3 y4）2 （其中代b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 X,丫3）,（滄，y4）（5）對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方

13、形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題*平面向量數(shù)量積的類型及求法:（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式a b |a|b|cos ；二是坐標(biāo)公式a bX1X2 y2.（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：（1）求夾角的大?。喝?a, b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cos旦L （夾角公式），所|a|b|以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.(2) 確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不

14、共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角(3) 當(dāng)題中出現(xiàn)一個向量式子的模長時，例如2a b，可以先對整個式子進(jìn)行平方，向量的平方就相當(dāng)于模長的平方，帶入數(shù)量積公式，即可求解*平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：(1) 求向量的模解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式|a| .孑aa，或坐標(biāo)公式|a| , x2 y2的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解.(2) 求模的最值或取值范圍解決此類問題通常有以下兩種方法： 幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函

15、數(shù)求模的最值或取值范圍.(3) 由向量的模求夾角.對于此類問題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用三、考向題型研究三：平面向量的幾何表示母題)uur(2015新課標(biāo)I卷T2文科)已知點(diǎn) A(0,1) , B(3,2)，向量ACUULT(4, 3)，則向量BC (A ( 7, 4) B (7,4)C ( 1,4)D (1,4)(2015新課標(biāo)uuuulltI卷T7理科)設(shè)D為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn) BC 3CD，則()uuur(A) AD1 uuu AB34 uuir -AC3(B)uuirAD1 uuu 4 uuLr -AB -AC 33uuur(C) AD4 uuuAB3uuuiur1-AC

16、 ( D)3uuirADuuuuuuur4 uuu iAB AC33-|H1 i 冃 Ri 一 卜 j 科(2014新課標(biāo)I卷T15理科)已知A ,B,C為圓O上的三點(diǎn),若口1千(+機(jī))，則與的夾角為-統(tǒng)考點(diǎn)/考向平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：(1) 進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來.向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用.(3) 用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧： 觀察各向量的

17、位置； 尋找相應(yīng)的三角形或多邊形； 運(yùn)用法則找關(guān)系； 化簡結(jié)果(4) 平面向量進(jìn)行運(yùn)算時， 如果是正三角形，直角梯形，圓，正方形，長方形，間距相等的表格等時，應(yīng)該建立直角坐標(biāo)方程系，把每個點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，帶入進(jìn)行計算，如果這些圖形的長度未知時，可以設(shè)立參數(shù)表示，表達(dá)出相關(guān)關(guān)系式子，可以求解四、考向題型研究四：平面向量的綜合應(yīng)用三觀真題母薊（2018新課標(biāo)I卷T6理科）在 ?中，?為？?邊上的中線，為?的中點(diǎn)，貝U ?=A3?-?b- ?;?93?4444 'C3?-?D丄？鋼？3?4444 '觀扇形題）（2011新課標(biāo)I卷T10理科）已知J與I，均為單位向量，其夾角為B,有下

18、列四個命題 Pi：r+I'|> 1? 09 7Tf f2 TTfTTf -* 0 , ）； P2： 3+b> 1? 0（-, n； P3：|> 1?灰0 ,可）；P4： p b |> 1? 0jr（=, n ；其中的真命題是（）JA . P1, P4B. P1, P3C. P2, P3D. P2, P4一統(tǒng)考點(diǎn)/考向:1.向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟:(1)向量與平面幾何綜合問題的解法坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決 基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，

19、利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解【注】用坐標(biāo)法解題時，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時要選擇適當(dāng)?shù)幕?2) 用向量解決平面幾何問題的步驟建立平面幾何與向量的聯(lián)系， 用向量表示問題中涉及的幾何元素， 將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題； 通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題； 把運(yùn)算結(jié)果 “翻譯 ”成幾何關(guān)系 .2利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：(1) 求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解(2) 求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角(3) 解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題(4) 解三角形利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定