概率論標(biāo)準(zhǔn)答案李賢平版第二章

1、概率論計(jì)算與證明題80第二章條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性1、字母M,A,X,A, M分別寫(xiě)在一張卡片上，充分混合后重新排列，問(wèn)正好得到順序MAAM的概率是多少？2、有三個(gè)孩子的家庭中，已知有一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率。3、若M件產(chǎn)品中包含 m件廢品，今在其中任取兩件，求： （1）已知取出的兩件中有一件是廢品的條件 下，另一件也是廢品的條件概率；（2）已知兩件中有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的條件概率；（3）取出的兩件中至少有一件是廢品的概率。4、袋中有a只黑球，b吸白球，甲乙丙三人依次從袋中取出一球（取后來(lái)放回），試分別求出三人各自取得白球的概率（b 3）。5、從0, 1, 2,，9中隨

2、機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)字，求其和大于10的概率。6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有吸白球， 吸黑球，某人從甲袋中任出兩球投入乙袋，然后在乙袋中任取兩球，問(wèn)最后取出的兩球全為白球的概率是多少？7、設(shè)的N個(gè)袋子，每個(gè)袋子中將有 a只黑球，b只白球，從第一袋中取出一球放入第二袋中，然后從第 二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，問(wèn)從最后一個(gè)袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬幣n回，第一回出正面的概率為 c,第二回后每次出現(xiàn)與前一次相同表面的概率為p,求第n回時(shí)出正面的概率，并討論當(dāng) n時(shí)的情況。9、甲乙兩袋各將一只白球一只黑球，從兩袋中各取出一球相交換放入另一袋中，這樣進(jìn)行了若干次。以 pn, qn

3、, rn分別記在第n次交換后甲袋中將包含兩只白球，一只白球一只黑球，兩只黑球的概率。 試導(dǎo)出pn+1 , qn+1 , rn+1用pn, qn, rn表出的關(guān)系式，利用它們求pn+1 , qn+1 , rn+1 ,并討論當(dāng)n 時(shí)的情況。_nap , n 1,10、設(shè)一個(gè)家庭中有n個(gè)小孩的概率為 pnap1 7, n 0,1 p這里0 p 1, 0 a （1p）/p。若認(rèn)為生一個(gè)小孩為男孩可女孩是等可能的，求證一個(gè)家庭有k（k 1）個(gè)男孩的概率為2apk/（2 p）k1。11、在上題假設(shè)下：（1）已知家庭中至少有一個(gè)男孩，求此家庭至少有兩個(gè)男孩的概率;（2）已知家庭中沒(méi)有女孩，求正好有一個(gè)男孩的

4、概率。12、已知產(chǎn)品中96%是合格品，現(xiàn)有一種簡(jiǎn)化的檢查方法， 它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05,求在簡(jiǎn)化方法檢查下，合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。13、設(shè)A, B, C三事件相互獨(dú)立，求證 A B,AB,A B皆與C獨(dú)立。14、若A, B, C相互獨(dú)立，則 A,B,C亦相互獨(dú)立。15、證明：事件A1, A2, , An相互獨(dú)立的充要條件是下列 2n個(gè)等式成立：p（A1A2 A） p（A1）p（A2）P（An）,其中4取Ai或Ai。16、若A與B獨(dú)立，證明 , A, A, 中任何一個(gè)事件與 , B, B, 中任何一個(gè)事件是相互獨(dú)立的。17、

5、對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊，第一，二，三次射擊的命中概率分別為0.4, 0.5, 0.7,試求（1）在這三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)的概率；（2）至少有一次命中目標(biāo)的概率。18、設(shè)A1，A2, ,An相互獨(dú)立，而P（Ak） Pk,試求：（1）所有事件全不發(fā)生的概率；（2）諸事件中至少發(fā)生其一的概率；（3）恰好發(fā)生其一的概率。19、當(dāng)元件k或元件k1或k2都發(fā)生故障時(shí)電路斷開(kāi)，元件 k發(fā)生故障的概率等于 0.3,而元件k1, k2 發(fā)生故障的概率各為.2,求電路斷開(kāi)的概率。20、說(shuō)明“重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，小概率事件必然發(fā)生”的確切意思。21、在第一臺(tái)車(chē)床上制造一級(jí)品零件的概率等于0.7,而在第二臺(tái)

6、車(chē)床上制造此種零件的概率等于0.8,第一臺(tái)車(chē)床制造了兩個(gè)零件，第二臺(tái)制造了三個(gè)零件，求所有零件均為一級(jí)品的概率。22、擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為p,擲了 n次，求下列概率：（1）至少出現(xiàn)一次正面；（2）至少出現(xiàn)兩次正面。23、甲，乙，丙三人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，設(shè)三個(gè)勝每局的概率相等，比賽規(guī)定先勝三局者為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝 者，若甲勝了第一，三局，乙勝了第二局，問(wèn)丙成為整場(chǎng)比賽優(yōu)勝者的概率是多少？24、甲，乙均有n個(gè)硬幣，全部擲完后分別計(jì)算擲出的正面數(shù)相等的概率。25、在貝努里試驗(yàn)中，事件 A出現(xiàn)的概率為p,求在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率。26、在貝努里試3中，若 A出現(xiàn)的概率為p,求在出現(xiàn) m次

7、A之前出現(xiàn)k次A的概率。27、甲袋中有N 1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次從甲，乙兩袋中分別取出一只球并交換放入另一袋中去，這樣經(jīng)過(guò)了 n次，問(wèn)黑球出現(xiàn)在甲袋中的概率是多少？并討論 n時(shí)的情況。28、某交往式計(jì)算機(jī)有 20個(gè)終端，這些終端被各單位獨(dú)立操作，使用率各為0.7,求有10個(gè)或更多個(gè)終端同時(shí)操作的概率。29、設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率等于0.001,如果射擊5000次，試求打中兩彈或兩彈以上的概率。30、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一樣的，在50個(gè)人的單位中有兩面三刀個(gè)以上的人生于元旦的概率是多少？31、一本500頁(yè)的書(shū)，共有500個(gè)錯(cuò)字，每個(gè)字等可能地出現(xiàn)在每一

8、頁(yè)上，試求在給定的一頁(yè)上至少有三個(gè)錯(cuò)字的概率。32、某疫苗中所含細(xì)菌數(shù)服從普阿松分布，每1毫升中平均含有一個(gè)細(xì)菌，把這種疫苗放入5只試管中，每試管放2毫升，試求：（1） 5只試管中都有細(xì)菌的概率；（2）至少有3只試管中有細(xì)菌的概率。33、通過(guò)某交叉路口的汽車(chē)可看作普阿松過(guò)程，若在一分鐘內(nèi)沒(méi)有車(chē)的概率為0.2,求在2分鐘內(nèi)有多于一車(chē)的概率。34、若每蠶產(chǎn)n個(gè)卵的概率服從普阿松分布，參數(shù)為 ，而每個(gè)卵變?yōu)槌上x(chóng)的概率為p,且各卵是否變?yōu)槌上x(chóng)彼此間沒(méi)有關(guān)系，求每蠶養(yǎng)出k只小蠶的概率。35、某車(chē)間宣稱(chēng)自己產(chǎn)品的合格率超過(guò)99%,檢驗(yàn)售貨員從該車(chē)間的 10000件產(chǎn)品中抽查了 100件，發(fā)現(xiàn)有兩件次品，能

9、否據(jù)此斷定該車(chē)間謊報(bào)合格率？36、在人群中男人,患色盲的占5%,女人患色盲的占0.25%,今任取一人后檢查發(fā)現(xiàn)是一個(gè)色盲患者，問(wèn)它是男人的概率有多大 ？37、四種種子混在一起， 所占的比例是甲：乙：丙：丁=15: 20: 30: 35,各種種子不同的發(fā)芽率是：2%,3%, 4%, 5%,已從這批種子中任送一粒觀察 ，結(jié)果未發(fā)芽，問(wèn)它是甲類(lèi)種子的概率是多少？38、對(duì)同一目標(biāo)由3名射手獨(dú)立射擊的命中率是 0.4、0.5，和0.7,求三人同時(shí)各射一以子彈而沒(méi)有一發(fā)中 靶的概率？39、有兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子裝有a只黑球，b只白球，從第一個(gè)中任取一球放入第二個(gè)袋中，然后從第二個(gè)袋中取出一黑球的概率是多少？

10、40、已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡(jiǎn)單的檢查方法，它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05,求此簡(jiǎn)化法檢查下為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。41、某射手用A,B,C三支槍各向靶射一發(fā)子彈，假設(shè)三支槍中靶的概率分別為0.4,0.3,0.5 ,結(jié)果恰有兩彈中靶，問(wèn) A槍射中的概率為多少 ？42、已知產(chǎn)品中96%是合格的，現(xiàn)有一種簡(jiǎn)化的檢查方法，它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05,求此簡(jiǎn)化法檢查下為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。43、設(shè)第一個(gè)盒子中有兩個(gè)白球和一個(gè)黑球，第二個(gè)盒中有三個(gè)白球和一個(gè)黑

11、球，第三個(gè)盒子中有兩個(gè) 白球和兩個(gè)黑球。此三個(gè)盒子外形相同，某人任取一個(gè)盒子，再?gòu)闹腥稳∫粋€(gè)球，求他取得白球的 概率。44、用血清蛋白的方法診斷肝癌，令 C”被檢查者患有肝癌”，A判斷被檢查者患有肝癌設(shè)P（C） 0.0004, P（A/C） 0.95, P（A/C） 0.90,現(xiàn)有一個(gè)人診斷患有肝癌，求他確有肝癌的概率。45、一批零件共100個(gè)，次品有10個(gè)。每次從其中任取 1個(gè)零件，菜取3次，取出后不放回。示第 3 次才取得合格品的概率。46、10個(gè)零件中有3個(gè)次品，7個(gè)合格品，每次從其中任取1個(gè)零件，共取3次，取后不放回。求：（1）這3次都抽不到合格品的概率；（2）這3次至少有1次抽到合格

12、品的概率。47、一批產(chǎn)品中有15%的次品。進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)抽樣檢查，問(wèn)取出的 20個(gè)樣品中最大可能的次品數(shù)是多 少？并求其概率。48、一電話(huà)交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分鐘恰有6次呼喚的概率；（2）每分鐘呼喚次數(shù)不超過(guò) 10的概率。49、有一汽車(chē)站有大量汽車(chē)通過(guò)，設(shè)每輛汽車(chē)在一天某段時(shí)間出事故的概率為0.0001。在某天該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車(chē)通過(guò)，求事故次數(shù)不少于的概率。50、某商店出售某種貴重物品，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，每月銷(xiāo)售量 X服從參數(shù)4的泊松分布。問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫(kù)存多少件才能以99。2%的概率充分滿(mǎn)足顧客的需要？51、從某廠產(chǎn)品中任取 200件，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)

13、其中有4件廢品。我們能否認(rèn)為該產(chǎn)品的廢品率不超過(guò)0.005?52、若A,B,C是三個(gè)獨(dú)立的事件，則 A.B.C亦是獨(dú)立的。53、設(shè) P(A)>0，若 A 與 B 相互獨(dú)立，則 P(B| A) =P(B)。54、若A,B,C相互獨(dú)立，則 A B和C及A-B與C亦獨(dú)立。55、設(shè)P(A)>0, P(B)>0 , 證明A和B相互獨(dú)立與 A和B互不相容不能同時(shí)成立。56、求證：如果 P(A| B) P(A),則 P(B|A) P(B)。57、證明：若事件 A與事件B相互獨(dú)立，則事件 ,與事件B相互獨(dú)立。58、設(shè)A, B, C三事件相互獨(dú)立，求證 A B, AB, A B皆與C獨(dú)立。59

14、、若A, B, C相互獨(dú)立，則 A,B,C亦相互獨(dú)立。B,B, 中任何一個(gè)事件是相互獨(dú)立的。60、若A與B獨(dú)立，證明 ,A,A, 中任何一個(gè)事件與第二章解答1、解：自左往右數(shù)，排第i個(gè)字母的事件為 Ai,則2.21.1P(Ai)-,P(AzA)一, P(A3A2A1)-,P(A4A3A2A)5432P(A5A4A3A2%) 1。所以題中欲求的概率為2 1111 4 3 2302、解：總場(chǎng)合數(shù)為23=8。設(shè)A=三個(gè)孩子中有AB的有利場(chǎng)合為6,所以題中欲求的概率女, B=三個(gè)孩子中至少有一男P (B|A),的有利場(chǎng)合數(shù)為7,P BAP(AB)P(A)6/867/873、解：(1) M件產(chǎn)品中有m件

15、廢品，M顯然 A B,則 P(A) CmmcM mm件正品。cm /cmA=兩件有一件是廢品B=兩件都是廢品,P(B) c；/cM題中欲求的概率為P(B | A) P(AB)/P(A) P(B)/P(A)C2 /c2Cm / CM._1 _1_ 2 . . _ 2(Cm CM m Cm)/CM2M m 1(2 )設(shè)A=兩件中有一件不是廢品, B=兩件中恰有一件廢品_2_1_1_2_1_1P(A) Cm m CmCMm/CM, P(B) CmCMm/CM.題中欲求的概率為P( B | A) P(AB)/ P(A) P(B)/P(A)2(CMcmcM m/CMm cmcMm)/CM2m11(3)

16、P取出的兩件中至少有一件廢品= CmCM m_ 2_ 2Cm /Cmm(2Mm 1)M (M 1)4、解：A=甲取出一球?yàn)榘浊? B=甲取出一球后，乙取出一球?yàn)榘浊? C=甲，乙各取出一球后,丙取出一球?yàn)榘浊颉tP(A)a(a b)甲取出的球可為白球或黑球，利用全概率公式得P(B) P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)甲，乙取球的情況共有四種，由全概率公式得P(C) P(AB)P(C | AB) P(AB)P(C | AB)b b 1 a ba b a b 1 a b a b 1P(AB)P(C | AB) P(AB)P(C | AB)b(b 1) b 2abb 1P(AA2A3

17、A4A5) P(Ai)P A2 Ai P A3 A2A1 P A4 A3A2A P A A4A3A2A(a b)(a b 1) a b 2 (a b)(a b 1) a b 2abb 1a(a 1)b(a b)(a b 1) a b 2 (a b)(a b 1) a b 2b(a b 1)(a b 2) b.(a b)(a b 1)(a b 2) a b15、解：設(shè)B=兩數(shù)之和大于10, Ai=第一個(gè)數(shù)取到i,i 0,1,9。則P(A) 一，10P(B|Ao) P(B| A1) 0, P(B|Ai) (i 1)/9, i 2,3, 5;P(B|Aj) (j 2)/9,j 6,7,8,9。由全概

18、率公式得欲求的概率為16450.356 .9P(B) P(A)P(B|A)i 06、解：設(shè)Ai=從甲袋中取出2只白球, A2=從甲袋中取出一只白球一只黑球 , A3=從甲袋中取出2 只黑球, B=從乙袋中取出2只白球。則由全概率公式得P(B) P(B|Ai)P(Ai) P(B|A2)P(A2) P(B|A3)P(4)C2Ca 2c；CbC2 1c；C222Ca bCC2bC2Ca bC2，再?gòu)牡趇 1_ap(Ai)二，P(A)b(a b)7、解：A1=從第一袋中取出一球是黑球 ,，Ai=從第一袋中取一球放入第二袋中,袋中取一球放入第i袋中，最后從第i袋中取一千是黑球, i 1, ,N。則由數(shù)學(xué)

19、歸納法得aP(AN) Qia(a b)a b般設(shè) P(Ak)，則 P(Ak)，得(a b)(a b)P(Ak1) P(Ak1 |Ak)P(Ak) P(Ak1 |Ak)P(Ak)I A)P(A)8、解：設(shè)Ai=第i回出正面，記PiP(A ),則由題意利用全概率公式得P(Ai 1) P(A 1 IA)P(Ai) P(A 1ppi (1p)(1 Pi)(2p1)P1(1P)。已知pic,依次令i n 1, n 2,1可得遞推關(guān)系式Pn(2p1)Pn1 (1 P),Pn1 (2p1)Pn 2(1P),P2(2p1)Pi (1 P) (2p1)c (1P).解得Pn(1 P)1 (2P1) (2P1)2

20、(2P 1)n2c(2p 1)n 11時(shí)利用等比數(shù)列求和公式得Pnn 1(1 P) -(-£ c(2 p1 (2p 1)1)n 111(2p2 21)n1 c(2p10.(*)(1)若 P 1,則 pnC, lim pnnC;若P 0,則當(dāng)n 2k 1時(shí),Pnc；當(dāng)n 2k時(shí),PnlimnPn不存在。(3)*)式可得limnPn11n 1nim 2 2(2P 1) c(2p1)n兩黑球的事件，則由全概9、解：令A(yù) ,Bi ,Ci分別表示第i次交換后，甲袋中有兩只白球，一白一黑pn 1率公式得P(An 1) P(An)P(A 1 I An) P(Bn)P(An 1 ®) P(

21、C)P(An 1 |g)這里有Pn 10 Pn14qn0 rn1”,rn 1Pn 1P(Bn1 PnP(Cn0 Pn1) P(An)P(Bn1-qn 1 rnPn21) P(An)P(Cn 114qn又Pn4(1| An)12qn|An)10 rn-qn.41 qn 1 rn 11 ,P(Bn)P(Bni|Bn)P(Bn)P(Cn i |Bn)所以qn 112pn）。所以可得遞推關(guān)系式為rn 1Pn111(1 2pn)初始條件是甲袋一白一黑，乙袋一白rn 1 Pn14(12Pn)qn 12pnP00, qoP(Cn)P(BmP(Cn)P(Cn 12Pn1 ,同理有qn0)©)由遞推關(guān)

22、系式得1 2PnPnPn11pn 18 4122(1)n2n 2(1)n2nPo1411)1)nqn 112pn1)n“m Pnlim rn n1.-,lim qn6n10、解：設(shè)An=家庭中有n個(gè)孩子, n=0,1,2,，B=家庭中有k個(gè)男孩。注意到生男孩與生女孩是等 1可能的，由一項(xiàng)分布（p ）得2k n knP(B| An) Cn - 1Ck -222由全概率公式得11、P(B)P(An)P(B| An)n kckaPnCnk1'C11k 1-(其中i22apk(2 p)k解：（1）設(shè)A=至少有一男孩, B=至少有2個(gè)男孩。AB, AB B ,由 0P(A)k2ap一 .k 1k

23、 1 (2 p)p2a (2 p)2 p 1 p(2 p)ap(2 p)(1 p)P(B)2apk k2(2 p)k12p22a (2 p)22 p 1 p (2 p)2ap22(2p)2(1p)2P(B|A)P(AB)P(A)P(B) pP(A) 2 p（2） C=家中無(wú)女孩二家中無(wú)小孩，或家中有n個(gè)小孩且都是男孩，n是任意正整數(shù),則P(C) 1apnapa 1apcc21 ap 21 ap ap 2 3p ap p1Pl 衛(wèi) 1 p 2 p (1 p)(2 p)212一,一- E 、一,- E 、 11A1=家中正好有一個(gè)男孩=家中只有一個(gè)小孩且是男孩 ,則P(A1) ap - - ap

24、,且22所以在家中沒(méi)有女孩的條件下，正好有一個(gè)男孩的條件概率為P(A |C)P(AC) P(A)p(c)'pcT1 apap(1 P)(2 p)二- 2 T7T 272 2 3p ap p 2(2 3p ap p )(1 p)(2 p)解：設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品, B=檢查后判為合格品。已知P(B | A)P(B|A) 0.05, P(A) 0.96 ,求 P(A| B)。由貝葉斯公式得0.98 ,P(A|B)P(AB)P(B)P(A)P(B | A)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)0.96 0.980.9408 0.9979. 0.96 0.98 0.04 0.050

25、.942813、證：(1) P(A B) C) P(AC BC) P(AC) P(BC) P(ABC) P(A)P(C) P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(C)P(A) P(B) P(AB) P(C)P(A B),A B與C獨(dú)立。(2) P(ABC) P(A)P(B)P(C) P(AB)P(C)AB與C獨(dú)立。(3) P(A B)C) P(ABC) P(AC( B) P(AC) P(ABC)P(A)P(C) P(A)P(B)P(C)P(C)P(A) P(AB) P(C)P(A B), A B與C獨(dú)立。14、證：P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 P(A) P(B) PA

26、B)1 P(A) P(B) P(A)P(B) (1 P(A)(1 P(B)P(A)P(B),同理可證 P(AC) P(A)P(C),P(BC) P(B)P(C).又有P(ABC) P(ABC) 1 P(A B C)1 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)1 P(A) P(B) P(C) P(A)P(B) P(A)P(C) P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)(1 P(A)(1 P(B)(1 P(C) P(A)P(B)P(C),所以A, B,C相互獨(dú)立。15、證：必耍性。事彳A,A2, An相互獨(dú)立，用歸納法證。不失為一般性，假設(shè)總是前連續(xù)取Ai的形

27、式。當(dāng)m 1時(shí),P(A1& An) P(A2 An) P(A1 An) P(A1七)P(A2)P(An)P(A1)p(An)P(AjP(A2)P(A)。設(shè)當(dāng)m k時(shí)有P(A1AkAk 1 An)P(AlP(Ak)P(Ak1An),則當(dāng)m k 1時(shí)P(A1Ak 1Ak 2An)P(A1AkAk 2An)P(&AkAk1An)P(An)P(A1) P(Ak)P(Ak 2) P(An) P(A1) P(Ak)P(Ak1)P(A1) P(Ak)(1 P(A 1)P(Ak 2) P(An)P(A1)P(Ak)P(Ak 1)P(A 2) P(An)從而有下列2n式成立:P(«A2

28、 An) P(Ai)P(A?2)P(An)，其中Ai取a或Ai。充分性。設(shè)題中條件成立，則P(A A) P(Ai)P(AJ,AiAn i AnAiAn lAnP(AAn i )P(A同理有兩式相加得(3)+(4)得(i)+(2)P(AP(AiP(AiAn lAnAiP(AiAn 2A iAn)An 2AniAn)P(AiP(Ai An 2)同類(lèi)似方法可證得獨(dú)立性定義中2n nAi, An相互獨(dú)立。i6、證：P( ) P()P( )P(),P()0 P(P( B)P(B)AniAn) P(Al)P（An1）P（An）.(2)An lAn).An i )P(Ai)P(An i)。P(Ai)P(Ai

29、)An 2An i)P(An2)P(Ani)P(An),P(An2)P(Ani)P(An)P(Ai) P(An2)P(Ani).P(Ai)P(A2) P(An 2)。i個(gè)式子,)P( ), P( ) i P( )P(),P( )P(B),P( A) P(A) P( )P(A),(4)P(AB)p(A)p(B)P(AB) P(A AB) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)P(A)(1 P(B) P(A)P(B),同理可得 P(AB) P(A)P(B)O證畢。17、解：P三次射擊恰擊中目標(biāo)一次 0.4(1 0.5)(1 0.7) (1 0.4)0.5(1 0.7) (1 0.4)(1

30、 0.5)0.70.36P至少有一次命中=1-P未擊中一次 1 (1 0.4)(10.5)(1 0.7) 0.91n18、解：(1)p所有的事件全不發(fā)生 pA1 AnP(A1) p(An)(1 pk)。k 1(2) P至少發(fā)生其一 P(A1An)P(A1 An)1 P(A1nAn)1(1Pn)。k 1(3) P恰好發(fā)生其一 Pi(1 P2)(1(1nPi 2i 1n j i 1Pn)(1 P1)P2(1 P3)(1 Pn)Pi)(1 Pn 1)Pnnn 1_PiPj ( 1) n Pi o i 119、解：本題中認(rèn)為各元件發(fā)生故障是相互獨(dú)立的。記Ao=元件k發(fā)生故障, Ai=元件k1發(fā)生故障,

31、A2=元件k2發(fā)生故障。則P電路斷開(kāi) P(A0 AA2) P(A0) P(A1A2) P(A0A1A2)0.3 0.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0.328。20、解：以Ak表事件“A于第k次試驗(yàn)中出現(xiàn)" ，P(Ak),由試驗(yàn)的獨(dú)立性得，前 n次試驗(yàn)中A都不出現(xiàn)的概率為P(AlA2 An) P(Al)P(A2)P(An)(1)n。于是前n次試驗(yàn)中，A至少發(fā)生一次的概率為21、22、23、24、1 P(AlA2 An) 1 (1這說(shuō)明當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，小概率事件 從而可看成是必然要發(fā)生的。)n 1 (n )oA至少發(fā)生一次的概率可以無(wú)限地向解：我們認(rèn)為各車(chē)床或同一車(chē)床制

32、造的各個(gè)零件的好壞是相互獨(dú)立的，由此可得P所有零件均為一級(jí)品320.80.70.2509。1靠近,解：利用二項(xiàng)分布得P至少出現(xiàn)一次正面P至少出現(xiàn)兩次正面 1 (1 p)n1 P n次全部出現(xiàn)反面1 1n 1nCnP(1 P) 1 (1 P)解：(1)設(shè)A, B, C分別表示每局比賽中甲， 乙丙獲勝的事件，這是一個(gè)P(A)的多項(xiàng)分布。欲丙成為整場(chǎng)比賽的優(yōu)勝者，則需在未來(lái)的三次中, 獲勝兩次乙勝一次，而第四次為丙獲勝。故本題欲求的概率為3003!111p 一一3!0!0!3332! 1! 0!解：利用兩個(gè)的二項(xiàng)分布，得欲副省長(zhǎng)的概率為丙獲勝三次;1 (1np(1P(B)或在前三次中，丙、nP)。n

33、 1P)P(C)npP甲擲出i次正面,乙擲出i次正面i 025、解:n Ci 1 i 1 n1i0 n 22事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率記為2n(C；)21 2n2b,出現(xiàn)偶數(shù)次的概率記為a,則C0p0qnCn2p2qn 2c 1 n 1 心 3 3n 3CnP q Cn p q利用b (P q)n 1, a b(q p)n,可解得事件 A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率為1nb 21 (p q)1 2(1 2p)n。 11c順便得到，事件 A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率為 a - -(1 2p)n。2 2m 1次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次A, m26、解：事件“在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)k次A”，相當(dāng)于事件“在前k次A ,而第m k次出現(xiàn)A

34、”，故所求的概率為八 kk m 1- kk mCk m 1p q q Ck m 1p q注：對(duì)事件“在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)k次A”，若允許在出現(xiàn) m次A之前也可以出現(xiàn) k 1次A,k 2 次A等，這就說(shuō)不通。所以，事件“在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)k次A”的等價(jià)事件，是“在出現(xiàn) m次A之前恰出現(xiàn)k次A”。而對(duì)事件“在出現(xiàn) m次A之前出現(xiàn)k次A之前”(記為B)就不一樣，即 使在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)了 k 1次A, k 2次A等，也可以說(shuō)事件 B發(fā)生，所以事件 B是如下 諸事件的并事件：“在出現(xiàn)m次A之前恰出現(xiàn)i次A"，i k,k 1,。27、解：設(shè)An 經(jīng)n次試驗(yàn)后，黑球出現(xiàn)在甲袋中, An 經(jīng)n

35、次試驗(yàn)后，黑球出現(xiàn)在乙袋中,Cn 第n次從黑球所在的袋中取出一個(gè)白球。記pn P(An), CnP(A) 1 pn，n 0,1,2,。當(dāng)n 1時(shí)，由全概率公式可得遞推關(guān)系式：pn P(An |An1)P(An1)_P(An|An1)P(An1)pn 1N 1N qn1P(Cn|AnJP(An1)P(Cn | 'n "Mn 1)N 1 -1 “ n 、pn 1(1 Pn 1),N Npn初始條件p0pn 1工 (n 1)。N1,由遞推關(guān)系式并利用等比級(jí)數(shù)求和公式得1,2,2,28、解:29、解：30、解：31、Pn則對(duì)任何則 lim pnnn有pn0,當(dāng)n2k時(shí)Pn越大，收斂速

36、度越慢）P=有10個(gè)或更多個(gè)終端同時(shí)操作=P有10個(gè)或不足10個(gè)終端不在操作10Ci(0.3)j(0.7)20 j j 0利用普阿松逼近定理計(jì)算p 1 (0.999) 50000.9829 。5000 0.001 5,則打中兩彈或兩終以上的概率為4999555000(0.999) 4999 0.0011 e 5 5e 5 0.9596事件“有兩個(gè)以上的人生于元旦”的對(duì)立事件是“生于元旦的人不多于兩個(gè)”利用二項(xiàng)分布得欲求的概率為2C；036550 113652(36450_48364 25 49)364365500.00037 。解：每個(gè)錯(cuò)字出現(xiàn)在每頁(yè)上的概率為逼近定理計(jì)算,1 彳500 150

37、01Mp 的3651_ E 一，p ，500個(gè)錯(cuò)字可看成做 500次努里試驗(yàn)，利用普阿松50032、33、34、35、P某頁(yè)上至少有三個(gè)錯(cuò)字= 11-P某頁(yè)上至多有兩個(gè)錯(cuò)字解：每一毫升平均含一個(gè)細(xì)菌，每 分布。由此可得P5個(gè)試管中都有細(xì)菌P至少有三個(gè)試管中有細(xì)菌21 ii 0c500 疏 1/11(e e2毫升含(12.5e )計(jì)算時(shí)利用了 p 1 e2的二項(xiàng)分布。500 1150011、2e)0.0803.2個(gè)，所以每只試管中含有細(xì)菌數(shù)服從0.4833 ；C；(1i 2e 2)i(e 2)5 i 0.9800 .解：設(shè)一分鐘內(nèi)通過(guò)某交叉路口的汽車(chē)數(shù)服從P1分鐘內(nèi)無(wú)車(chē)的普阿松分布，則0.2,i

38、 ln0.2 1.61由此得,概率為解：若蠶產(chǎn)2分鐘內(nèi)通過(guò)的汽車(chē)數(shù)服從i個(gè)卵，則這P蠶養(yǎng)出解：假設(shè)產(chǎn)品合格率p3.223.22 ei個(gè)卵變?yōu)槌上x(chóng)數(shù)服從概率為n只小蠶2的普阿松3.22的普阿松分布，從而2分鐘內(nèi)多于一車(chē)的3.220.831.p,n i的二項(xiàng)分布，所以k k , ikiie Cip(11 kp)(令 m i k)k!M0mp)(p)ke k!0.99 ,不妨設(shè)p 0.99?，F(xiàn)從10000件中抽100件，可視為放回抽樣。而100件產(chǎn)品中次品件數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用普阿松逼近定理得,次品件數(shù)不小于兩件的概率為_(kāi)100_99p 1 (0.99)100 0.01 0.99111 e e 0.

39、2642此非小概率事件，所以不能據(jù)此斷定該車(chē)間謊報(bào)合格率。（注意，這并不代表可據(jù)此斷定，該車(chē)間沒(méi)有謊報(bào)合格率。)36、解：設(shè)A 任取一人是男性 B任取一人是女性 C任取一人檢查患色盲則 P(A) P(B) - P(C | A) 0.05 P(C | B) 0.0025 22021故所求概率為 P(A|C)由bayes公式可得P(A|C) P(A) P(C | A)P(A)P(C | A) P(B)P(C | B)37、解：設(shè)A, B,C, D分別表示任取一粒種子屬于甲、已、丙、丁的事件。而E表示任取一粒種子，它不發(fā)芽的事件，則P(A) 0.15 P(B) 0.20 P(C)0.30 P(D)

40、0.35又 P(E|A) 0.02 P(E|B) 0.03 P(E|C) 0.04P(E|D) 0.05由Bayes公式，所求概率38、P(A|E)P(A)P(E|A)P(A)P(E|A)L P(D)P(E|D) 73解：記Ai =第i名射手射中目標(biāo)，則P(Ai)0.4,P(4) 05,P(A3)0.739、A1, A2, A3相互獨(dú)立。所求概率 P (A1A2 A3) (1 0.4)(1 0.5)(10.7)0.09解：設(shè)從第一個(gè)袋子摸出黑球 A,從第二個(gè)袋中摸出黑球?yàn)?B,則P(A) a bP(A)六 P(B|A)冷P(B|A)由全概公式知：40、P(B)解：設(shè)A表示其合格品，設(shè)P(A)

41、0.96,P(B|A)P(A) P(B|A) P(A)表示被認(rèn)為是合格品，則P(A) 0.04, P(B |A) 0.98,P(B|A)0.05由貝葉斯公式P(A|B)P(B| A)P(A)P(B| A)P(A) P(B | A)P(A)0.98 0.960.98 0.96 0.04 0.050.997941、解：設(shè)A 恰有兩彈中靶 , B A擊中則42、解：設(shè)貝U P(B)P(B| A)P(BA)P(A)0.4 0.3 05 0.4 0.7 05200.4 0.3 05 0.4 050.7 0.6 0.3 0529A 被檢查的產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品B 被檢查的產(chǎn)品確實(shí)是合格品0.96P(B) 0

42、.04P(A|B)0.98 P(A| B) 0.05P(B|A)P(B)P(A| B)P(B)P(A|B) P(B)P(A| B)0.96 0.98 0.998 0.96 0.98 0.04 0.0543、解:3p(B)P(A)p(B/A)(2 3 2)3 3 4 4233644、解:P(C)P(AC)0.0004 0.95P(C)P(A ) P(C)P(A_)0.0004 0.95 0.9996 0.1C'' ' ' C0.003845、解:第3次才取得合格品，意味著前2次取得的是次品。記 A第1次取得次品 , A?第2次取得次品, A3 第3次取得合格品。所

43、求概率論為p P(AA2A3) P(A)PA|A)P(A3 1AA2)1010099900.008359846、解：(1)記A 第1次取得次品, A 第2次取得次品, A3 第3次取得次品，則3 2 16p1 P(A1A2A3) P(A1)(A2 1A1)P(A31AA2)0.008310 9 8 720(2) “3次至少有1次抽到合格品”的對(duì)立事件是“3次都抽不到合格品 ”，故p21 R 0.991747、解：n 20, p 0.15。當(dāng) i值。_ 2_3_ _ 17p3C20 0.153 0.85171140 0.0033750.063113 0.2428n 1 p 21 0.153.15

44、3時(shí)，Pi Cnpiqni 取得最大 .4448、解：(1)設(shè)X為每分鐘呼喚次數(shù)，則 X P(4)。故P X 6e 4 0.10426!、4i 4(2) P X 101 PX 1 1 PX 11 1ei 11 i!查附表 2,得 PX 11 0.00284，故 P X 101 0.00284 0.9971649、解：p 0.0001, n 1000。設(shè)事故次數(shù)為 X ,則 X B(1000,0.0001)。因 n 較大，p 很小,np 0.1, X近似服從泊松分布 P(0.1),故0.1iP X 2e 1 PX 0 PX 1 1 e 0.1e1 1.1e0.00468i 2 i!4i 450、

45、解：設(shè)每月初庫(kù)存 k件。依題意大利PX i e i 0,1,2,Li!k 4i iP X k e i 0.992i 0 i!4i 4即要求k,使得一e 4 0.008i k 1 i!查附表2,當(dāng)k 1 10時(shí)，51、解：若該工廠的廢品率不大于0.005,則檢查200件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)4件廢品的概率應(yīng)該不大于p C400 0.0054 0.995100用泊松定理作近似計(jì)算200 0.005 141/日1 e得p 0.0153。4!這一概率很小。根據(jù)實(shí)際推斷原理，這一小概率事件實(shí)際上不太會(huì)發(fā)生，故不能相信該工廠的廢品率不超過(guò)0.005。52、證：A, B,C獨(dú)立，P(AB) P(A) P(B)從而由 P(B) P(AB) P(AB)得 P(AB) P(A) P(B)故A與B獨(dú)立，同理可證 A與