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文檔簡介

1、幾種求極限方法的總結摘要極限是數(shù)學分析中的重要概念,也是數(shù)學分析中最根底最重要的內(nèi)容.通過sn對求極限的學習和深入研究,我總結出十二種求極限的方法關鍵詞 定義 夾逼定理 單調(diào)有界 無窮小 洛必達 泰勒公式 數(shù)列求和定積分 定積分 數(shù)列1用定義求極限仃根據(jù)極限的定義:數(shù)列 xn收斂 u 3a, Vs0, 3N N 十,當 nN時,有 xn -a例1用定義證實lim,=1 n f二n i證實:e0,要使不等式專一1舄.成立:解得n>1-1,取 N=.i- -1 I名 > JM Vs >0, 3 N= I1 -1 I > J_n N=12利用兩邊夾定理求極限111 n2 3解

2、:設Cn.n2 1 n2 2. n2 n那么有:由 n2 n :二.n2 2n 1 = n 1,、n2 1 、. n2 = n .nn 1":lim一=1. lim 1 1nnn同時有:Cn<B 討于7HB<Cn不有+ r 1+ r 1+ / 1 = =1nBn+1nB«n2+1 辦2+2 dn2+3、;n2+nj3利用函數(shù)的單調(diào)有界性求極限11實數(shù)的連續(xù)性定理:單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例 3 設x1=、,萬,x2 =,a ,xn =fa + Ja + 十/ (n=1,2,)(a>0),求 lim xnn一二:xn = Ja + x,一解:顯然4是單調(diào)增加的

3、.我們來證實它是有界的.易見x2 = %;a *x1,x3 = a * x2,從而2xn= a+xn,顯然xn是單調(diào)增加的,所以xn2<a+xn兩段除以x得 xn : 1=' a _ xn _ a 1 這就證實了 Q的有界性xn對等式xn2 =a +xn兩邊去極限,2一 一貝U 有 l i m:n= a + l i rxn_1n二n :4利用無窮小的性質求極限 口關于無窮小的性質有三個,但應用最多的性質是:假設函數(shù)f(x)(x T a)是無窮小,函數(shù)g(x)在U (a,")有界,那么函數(shù)f(x)*g(x)(x t a)是無窮小.例 求極限 lim (cosJx+1 -c

4、osJx)xt :解 4 cos . x 1 -cos . x - -2sin(x 1x、)sin(-)22丁 -2sin(+ )220 E sin(Jx +1&)-2212( . x 1. x)而limx 二2( ,x 1. x)x:;'1 " : x -=0,故 lim= 0nF: 25應用“兩個重要極限求極限2 .sinx1、xlim =1,lim(1 ) =ex J0 x x j . x1例 5 求 lim (sin + xx解7 (sin 1 cos1)(sin 1 cosI x x122 sin_(1 sin-)xx,2 sin-x-2x:原式=lim2

5、(1 sin-)1-2 sin x6利用洛必達法那么求極限例6求lim -x-j 二二JIarctanx2, 1 sin 一 x2 sin-x210)解:lim -n )二JI-arctanx2-=lim11 x2.1sin 一 xcos- x例7求極限嗎黃()O0tanx 斛limx tan3x2lim«-x、(tan 3x),3.(cos3x)二 lim 二 limx 3(cos x) x l22-6cos3xsin 3x-6cosxsin x二limx L2sin 6xsin 2x6cos6x -6 仁lim二二 3x 2cos2x - 227利用泰勒公式求極限2例8:求極限l

6、im 一 r: .,1xsin x -、cosx中分子為2. 一 .一 .2 一x,將各函數(shù)展開到含 x項.1 xsin x - cosxx- 01- xc12=ox20(2 (=從 x)帝 x ,0(x2)0(x2) =1-1 x2 0(x2)4 1 2 2、 , 11,cosx = 1 一(1cosx) =;1 -x0(x ) =1 - -x,1 xsin x =x20(x2) =1 1x2 0( x2),原式=limn-1-lx2-0(x2)-1-lx2 0(x2)=limn F: 3 22、-x 0(x )8利用數(shù)列求和來求極限2有時做一些求極限的題時,假設對原函數(shù)先做一些變形,化簡之

7、后再利用極限性質去求極 限過程簡便些.例9:求極限lim(l+烏+十型二).同n;:2 222n13解:令 Sn :一 .2 222n -11135貝 U _ sn = - ''22223242n-12nH11snsn = 一22工. 222n2n -1 =12n 122n-12nH2n -12n,原式=limn_)::n -12n9用定積分求和式的極限 口例10設函數(shù)f(x)在0,1 上連續(xù),且f(x) A0,求:叫!Jf (1). f (-)," f()f (-)解令12 n -1f( ).f ( ) f(.n)f (一) 于是n112 一lnT= ln f (

8、). f ().f(n _ n nn -1)f (n) -1 1ln f(1) + lnf () +十 ln f (口 Jnn _ n n)n一.n k 11 一 .而 lim lnT = lim 1.ln f ().一 二 ln f (x)dxn,kT n n 0 1f (). f (一)f (-)f (-) = 口n f (x)dx10利用定積分求極限f利用定積分求極限可分為以下兩種形式f(1) f(2) f(3)f(n)(1) lim nnn型.nn定理1設f(x)在0,1】上可積,那么有:f(1) f(2)limL_n )二f(3)f(-)1=f (x)dx01 2 3 n 十十十.

9、十例 12 求 lim -一n一n一 nn fl解:設f(x)=x,f(x) 在0,1 上可積.123+ + +limnnnnf :n1 =xdx=-(2)nim?fG)心吟型口定理2設f(x)在0,11上可積,那么有l(wèi)im nn)二 f(一)f(>-f()=epxlnf(x)dx例13求nm?4解: nn! 1 2 n lim Tim n .n nnn nn令f(x)=x,那么有l(wèi)im上生 n;: n112 n= lim n .一 一 二exp ln xdx= n 二,n n n-1e11利用數(shù)列的遞推公式求極限3這種方法實際上包含有兩種方法(1)利用遞推關系求出通項公式,然后求極限.

10、這是根本的解法,它把極限的存在性與 求極限問題一起解決.例 14 設 a1 =1, a2 = 2 , 3an攵4an+an=0 ( n >1),求 1man "解:遞推公式可化為3 ( an2 -an由)=an書-anb .1設 bn=an+an,刃B 么 =一 所 以 ,b1 = a2 -a1 =1bn3-1 -b2 = a3 - Oq. = 3 h將以上各式相加得1 -擊=an =11 -3an _a1二1 13 32lim ann拿二1 331 .1=a4-a3=32bn1aan-=2(1)如果數(shù)列極限存在設為 A,那么根據(jù)遞推公式求出A.令數(shù)列的第n項記為A+an ,利

11、用無窮小和極限的關系,只需證實 an T 0 (nT笛),便可確定數(shù)列的極限確實 存在且就為A.例15證實數(shù)列2, 2+1, 2+ ,極限存在并求出這個極限 H2 122解:由題意知遞推關系為an書=2+工,假設數(shù)列的極限存在并設為 A,那么A=2+1 anA設 an =1+d2+Pn,有遞推關系得 1+J,+Pn書=2+,即 P0書=1 v 2-n1 - k2 - -n因 為Pn =an -(1+曠萬)=2+'-(1+"5)=1一y萬+,而anan 11不c 1 J 21cLncLanx >2=>Pn<1= Pn + <B - -n但 2 = 1+7

12、2 + 3=P1 = 1 - <2,所以石n 201 <1= Pn <£ 即|Pn T 0(nT吟由此推出數(shù)列的極限存在并且就為1+12利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 口 當計算的題目形式很復雜時,可以作一個級數(shù),看其是否收斂.再根據(jù)收斂的必要條件計 算極限.收斂的必要條件:假設級數(shù)Q0£ Un收斂,那么UT 0nT叼 n 1n例16計算limn :(n!)2Unn解:作級數(shù)V,令nf (n!)2nnUn 1; lim二 lim(n!)2n-' un n '二i 1 n1 - ne二 lim = 0 :: 1n 1 n - 1nn> 、一 , ,一 , 一 - nn有達朗貝爾

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