天津市和平區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題

1、和平區(qū)2021-2021學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)理學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷第I卷選擇題共24分、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每題3分,共24分.在每題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的2_L=1的離心率為2 3的21. “ m=1 是“雙曲線x_ mA.充分不必要條件.必要不充分條件.充要條件也不必要條件2 .在空間直角坐標(biāo)系中,A(1, 0,-3) , B(4-2,1)A. ,15B .工國(guó).,34,1493 .雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,且經(jīng)點(diǎn)(-5, 2),那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x 2A. - -y =152y.一 x5二1二12522x y 11422x4.右雙曲線ya=1

2、(a >0 )的離心力為2,那么該雙曲線的漸近線方程為A. y = xC.5.拋物線x的焦點(diǎn)是橢圓二1的一個(gè)焦點(diǎn),那么橢圓的離心率為C ,行C. 13. 37376.向量a,b = (3, x,y),分別是直線l1、l2的方向向量,假設(shè)l1 / l2y =15y=15C.810x = 一, y =一3315y=7227 .如果橢圓a+匕=136的弦被點(diǎn)4 , 2平分,那么這條弦所在的直線方程是A. x -2y = 0.5x 2y -4 = 0 C. x 2y -8 = 0D. 2x 3y -12二08 .橢圓C :=1 abA0 ,點(diǎn)M , N為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)H ,使

3、kMH kNH1w 一,0,那么離心率e的取值范圍為 2工, 2-3A""B .十 C.萬(wàn)1 D. 0,、填空題每題6分,29 .假設(shè)雙曲線3螺.1P10 .斜率為第R卷 非選擇題共76分總分值24分,將答案填在做題紙上2p>0 的左焦點(diǎn)在拋物線 y =2px的準(zhǔn)線上,那么22的直線經(jīng)過(guò)橢圓上54=1的右焦點(diǎn)F2,與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn),那么AB的長(zhǎng)為11.拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為直線l ,過(guò)拋物線上一點(diǎn),P作PE_Ll于E ,假設(shè)直線EF的傾斜角為150口,那么 PF =12.空間四邊形OABC , OB=OC,/AOB=/AOC=?,那么 cosOA

4、, BC的值 313.設(shè)橢圓 二十上=1與雙曲線 上y2=1有公共焦點(diǎn)Fi , F2 , P是兩條曲線的一個(gè) 623公共點(diǎn),那么cos/F1PF2等于2214 .雙曲線xy=1 a>0 , b>0 的左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F2,過(guò)F2的 a b _ ._5直線父雙曲線右志于 P , Q兩點(diǎn),且PQ _L PFi ,假設(shè)PQ = PF1 ,那么雙曲線的離心12率為.三、解做題 (本大題共5小題,共52分.解容許寫出文字說(shuō)明、證實(shí)過(guò)程或演 算步驟.)15 .平面上的三點(diǎn) P(5, 2)、F1(-6, 0)、F2 (6,0).(1)求以Fi、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)點(diǎn)P、

5、Fi、F2關(guān)于直線y = x的對(duì)稱點(diǎn)分別為 P'、F；、F2',求以F、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P'的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.216.拋物線C : y =2px ( p >0 )的焦點(diǎn)為F ,點(diǎn)D(2, y0)在拋物線C上,且DF =3,直線y=x-1與拋物線C交于A , B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)求ZXAOB的面積.17.如圖,三棱柱 ABC -A1B1C1中,側(cè)棱于底面垂直,ZABC =90° ,AB = BC = BB1 = 2 , M , N分別是AB , AC的中點(diǎn).(1)求證：MN II 平面 BCC1B1 ；(2)求證：MN _

6、L平面ARC .2218.橢圓E :與+與=1 a b象限內(nèi)的一點(diǎn).,八2a >b >0)的離心率為一,C為橢圓E上位于第35(1)假設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-)3,求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)A為橢圓E的左頂點(diǎn),B為橢圓E上一點(diǎn),且1AB OC2,求直線AB的斜率.19.如圖,在四棱錐 S-ABCD中,SD-L平面,四邊形 ABCD是直角梯形,/ADC =/DAB=90.,SD = AD=AB=2 , DC =1 .S(1)求二面角 S -BC -A 的余弦值；(2)設(shè)P是棱BC上一點(diǎn),E是SA的中點(diǎn),假設(shè)PE與平面SAD所成角的正弦值為空26 ,求線段CP的長(zhǎng).13和平區(qū)2021-

7、2021學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查高二年級(jí)數(shù)學(xué)(理)學(xué)科試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題1-5:CBACB6-8:DCA、填空題9. 410.5 3311.12.13.14.375解做題15. (1)解：由題意知,焦點(diǎn)在 x軸上,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 三十與=1 (a>b>0 ) a b其半焦距c =6由橢圓定義得2a=PFi| -|pF2(2)解：點(diǎn)P(5, 2)、F1(-6,0)、F2(6, 0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P'(2, 5)F(0, -6)、F2'(0, 6).設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22y x2=1( ai >0, bi >0 )a

8、ibi其半焦距g =6 ,由雙曲線定義得2al =| P £' P F2'=,(0 2)2 +(-6 5)2 "(0 2)2 十(6 5)2 =4 -,/5 . 3=275 , . . b；* -a；=36 -20 =16 ,22故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為士 _上=1.20 1616. (1)解：.D(2, y0)在拋物線 C 上,且 DF =3 ,.由拋物線定義得,2+E=32p =2 所求拋物線C的方程為y2 =4x .y x 1(2)解：由心 消去y , y =4x并整理得,x2-6x+1=0 ,設(shè) A(x1 , %) , B(x2 , y2),那么

9、X +x2 =6 ,由(1)知 F(1, 0)2 直線y=x1過(guò)拋物線y =4x的焦點(diǎn)F ,AB 平 x2 P =6 2 =8又.點(diǎn)O到直線y=x1的距離d =4=, .22 .AOB的面積S=AB d =1父8M立=26.22217. (1)證實(shí)：依題意,ZA1B1C1=90° ,BB1_LBC1,以 B1 為原點(diǎn),分別以A,B1,B16BB的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸,建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Bi -xyz .那么由,Bi(0 ,0,0) , Ai(-2 ,0,0) , C(0 , 2 , 2) , M (-1 , 0, 2) , N (-1, 1,1),B(0, 0, 2) ,

10、01(0, 2,0), BC1=(0, 2 , 0) , B1B =(0, 0 ,2) , MN=(0,1,-1) , B1A1 =(-2, 0, 0),I易知 BA MN =-1 0 0 1 0 (-1) =0 ,MN II 平面 B001B1 .(2)證實(shí)：連接 BC,由(1)得,BC=(0, 2, 2),漏=(2, 0 , 0), NM = (0, 1, 1),_ 設(shè)平面A1B1O的一個(gè)法向量為 n=(x , y, z)E. j -* 一 W 一一那么 n,8 0 =0 , n AB1 =0, y = -z由？取 z =1 ,得 y = T ,x =0_ W.平面ABQ 的一個(gè)法向量為

11、n=(0, -1, 1)此時(shí),n=MN 故MN _L平面A1B1018. (1)解法1:二橢圓E的離心率為2 3. c 2 a 32,2a -b2,即by25 2-b = a 9又.點(diǎn).在橢圓E上,425了 9b2=1由解得a2 =9 , b2 =5 ,22.所求橢圓E的方程為 七十上=195解法2:由題意得,-=-, a 3 c24 -2"=一a 9設(shè) a2 =9k , c2 =4k ( k >0 )222貝U b =a -c =5k225=1 ,將點(diǎn) C(2 ,)代入得,9k 5k345. 一一 + =1 ,解得 k =19k 9k'1 a2 =9 , b2 =52

12、2.所求橢圓E的方程為 上+L=1952(2)解法1:由(1)可知匕=5a 922橢圓E的方程為0+當(dāng)=1a 5a即 5x2 +9y2 =5a2 ,有 A(-a , 0),設(shè) B(x , y1) , C(X2 , y2),* 1r11由 AB = OC 信,(X1 *a , y1) =(X2, y2)2221 1X1 =-X2 -a , y1=-y22 2點(diǎn)B ,點(diǎn)C都在橢圓E : 5x2+9y2=5a2上,5x； 9y2 =5a21、2c,1、25(2X2 -a)9(- y2) =5a解得x2 - , 45a加=4.3 ,直線AB的斜率k=yx1 ay25： . 3x23b2解法2:由1可知

13、匕,橢圓E的方程為5 2 =a9/=15a即 5x2+9y2=5a2 ,設(shè)直線 OC的方程為 x=my(m>0),B(x,y1), C(x2,y2)ix =my由4 222消去x并整理得,l5x 9y =5a2 2225m y 9y =5a5a225m +9- y2y25a5m 9T i T- AB = OC2AB II OC ,于是設(shè)直線AB的方程為x=mya ( m>0 )2消去x并整理得,x =my -1由2 c 2l5x 9y =5a2_ _2_ _(5 m 9)y -10amy =0解得y = 102am 或y =0 (舍去) 5m 9中旦徂 10am于正,付y1 1 2

14、八5m 9 一i-i 又 AB =OC 211 (xi +a , yi)=(-x2,二 v222是 y1 =1 y2 ,即 y2 =2%5a 20am(m>0 ),直線AB的斜率為1=5叵m 319. (1)解：以D為原點(diǎn),分別以 dA , DC , DS的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸,建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D _xyz那么由可得,D(0,0,0) , B(2,2,0) , C(0,1,0) , S(0,0, 2),SB (2 , 2 , -2) , SC=(0,1,2),設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為 ni =(x, y , z),由 n _LSB, ni _LSC 得,n SB=0 , n

15、i SC=02x 2y -2z =0,有y -2z =0曰 x - -z解得?取z =1 ,得x =1 , y =2 ,y =2zTN二(1 ,2 , 1)SD_L平面 ABCDT,取平面 ABCD 的一個(gè)法向量為 n2 =(0,0,1),設(shè)二面角S-BC -A的大小為0cos1=由圖可知,二面角 SBCA為銳角二面角, 6,二面角S-BC -A的余弦值為 6I-H(2)解：由(1)知 E(1, 0,1), CB =(2, 1 , 0) , CE=(1, 1 , 1)設(shè) CP/CB (01 ),那么郎=九(2, 1, 0)=(2 九,腹,0),. PE CE -CP =(1 _2, _1 _ , 1),易知