華羅庚學校數(shù)學教材(五年級上)第01講數(shù)的整除問題

1、本系列共15講第一講數(shù)的整除問題文檔貢獻者：與你的緣一. 基本概念和知識1. 整除約數(shù)和倍數(shù)一般地，如a、b、c為整數(shù)，bz0,且a+b = c,即整數(shù)a 除以整數(shù)b （bz0）,除得的商c正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余 數(shù)是0）,我們就說，a能被b整除（或者說b能整除a）。記作b | a。否則，稱為a不能被b整除（或b不能整除a）。如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a 的約數(shù)（或因數(shù)）。2. 數(shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1:如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a。性質(zhì)3：如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的

2、 積能整除a。性質(zhì)4：如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。3. 數(shù)的整除特征能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù)。 能被5整除的數(shù)的特征：個位是 0或5。 能被3 （或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。 能被4 （或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4 （或25）整除。 能被8 （或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8 （或125） 整除。 能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減小）是 11的倍數(shù)。 能被7 （11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減

3、?。┠鼙?（11或13）整除。二.例題例1:已知45 | x1993y，求所有滿足條件的六位數(shù)x1993y。解：45=5X 9,根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知5 |x1993y , 9 |x1993y ,二y可取0或5。當y=0時，根據(jù)9 | x1993y及數(shù)的整除特征可知x=5;當y=5時，根據(jù)9 | x1993y及數(shù)的整除特征可知x=9。滿足條件的六位數(shù)是 519930或919935。例 2：李老師為學校一共買了 28 支價格相同的鋼筆， 共付人民幣9口.2 元，已知處數(shù)字相同，請問每支鋼筆多少元？解：9口 .2 元=9口2分28=4X7根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知4和7均可能整除9口 2口。4 | 2

4、，可知處只能填0或4或8。因為7不能整除9020,7不能整除9424,所以處不能填 0 和 4；因為7 | 9828,所以處應(yīng)該填 8。又因為 9828分=98.28 元所以 98.28 -28=3.51 （元）答：每支鋼筆 3.51 元。例 3：已知整數(shù) 1a2a3a4a5a 能被 11 整除,求所有滿足這個條件 的整數(shù)。解：t 11 I 1a2a3a4a5a ,根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征可知:I + 2+ 3+ 4+5的和與5a之差應(yīng)是11的倍數(shù)，即：II I ( 15-5a)，或 11 I (5a15)。但是 15 5a=5 (3 a) , 5a 15=5(a 3)，又(5, 11) =

5、1,因 此 11 I (3 a)或 11 I (a 3).又t a是數(shù)位上的數(shù)字， a只能取09,所以只有a=3才能11 I (3 a)或11 I (a 3)。即當 a=3 時，11 I 15 5a。符合題意的整數(shù)只有1323334353.例4:把三位數(shù)3ab接連重復(fù)地寫下去，共寫1993個30b，所得的數(shù)3ab3ab-3ab恰是91的倍數(shù)，求ab=?(1993個 3ab)解：t 91=7X 13,且(7, 13) =1, 7 能整除 3ab3ab.3ab , 13 能整除 3ab3ab.3ab。根據(jù)一個數(shù)能被7或13整除的特征可知：原數(shù)3ab3ab.3ab能被7以及13整除，當且僅當3ab.

6、3ab (1992組 議)3ab能被7以及13整除，也就是3ab.3ab000 (1991組)能被7以及13整除。因為(7, 10) =1,( 13, 10) =1,所以 7 能整除 3ab.3ab000 (1991 組），13 能整除 3ab.3ab000（ 1991 組），也就是 7 能整除 3ab.3ab（ 1991 組），13能整除3ab.3ab （1991組），因此，用一次性質(zhì)（特征） ， 就去掉了兩組3ab;反復(fù)使用性質(zhì)996次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被 7 以及13整除當且僅當3ab能被7以及13整除。又 91的倍數(shù)中小于1000的只有91 X 4=364的百位數(shù)字是3,3ab=36

7、4, 亦=64。例5:在865后面被上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能的小。分析設(shè)補上數(shù)字后的六位數(shù)是865abc ,因為這個六位數(shù)能分別被3、4、5整除，所以它應(yīng)該滿足以下三個條件：第一，數(shù)字和（8+6+5+a+b+c）是3的倍數(shù)；第二，末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)広是4的倍數(shù)；第三，末位數(shù)字c是0或5。因為能被4整除的數(shù)的個位數(shù)字不可能是5,所以，c只能取0,因而b只能取自0, 2, 4, 6,8中之一。又因為3 | 865ab0，且（8+ 6+ 5）除以 3余1,所以a+b除以3余2。為滿足題意“數(shù)值盡可能小”，只需取 a=0,b=2.所以，要求的六位數(shù)

8、是865020。例6:求能被26整除的六位數(shù)x1991y。分析因為26=2X 13,所以x1991y能分別被2和13整除。所以，解此題可以從 2 | x1991y入手考慮。解：因為2 | x1991y所以，y可能取0, 2, 4, 5, 6, 8。又因為 13 | x1991y ,所以，13能整除與帀的差。當y=o時，由于13 | 910,而13又要整除x19與910之差, 所以，13 | x19。又因為 x19 = 100x+19= (7X 13+9) x+19=7X 13x+9x+13+6,所以，根據(jù)整除“性質(zhì) T,有13 | 9x+6.經(jīng)試驗可知只有當 x=8時，13 | 9x+6.所以

9、，當y=0時，符合題意的六位數(shù)是819910。當y=2時，因為13 | X19912，所以13整除麗與(910+2)之 差，也即13整除 只9與2之差；與前相仿， xi9=7X 13x+13+9x+6, 所以13整除9X+6-2.即: 13 | 9x+4。經(jīng)試驗可知只有當 x=1時，13 | 9x+4.所以，當1 y=2時，符合題意的六位數(shù)是119912。同理，當1 y=4 時，13 | 9x+6-4，即 13 |9x+2.經(jīng)試驗可知當 x=7時，13 | 9x+2.所以，當1 y=4時，符合題意的六位數(shù)是719914.同理，當1 y=6 時，13 | 9x+6-6，即 13 |9x.經(jīng)試驗可知x無解（因為x是x1991y的最高位數(shù)碼，xh 0）. 所以，當y=6時，找不到符合題意的六位數(shù)。同理，當 y=8 時，13 | 9X+6-8，即 13 | 9x-2。經(jīng)試驗只有當x=6時，13 | 9x-2。所以，當y=8時，符合題意的六位數(shù)是619918。答：滿足本題條件的六位數(shù)共有819910、119912、719914和619918 四個。習題一1, 已知72 | x931y,求滿足條件的五位數(shù)。2, 已知五位數(shù)154x7能自被8和9整除，求x+y的值。3, 若五位數(shù)32x5y能同時被2、3、5整除，試求滿足條件的所 有這