2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷

1、第1頁(yè)（共31頁(yè)）2017 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一.填空題1（5 分）已知集合 A=1,2 ,B=fa,X+3 若 AHB=1，則實(shí)數(shù) a 的值為_(kāi)2. （5 分）已知復(fù)數(shù) z= （1+i） （1+2i）,其中 i 是虛數(shù)單位，則 z 的模是_3.（5分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400, 300, 100 件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品 中抽取 60 件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取 _件.4. （5 分）如圖是一個(gè)算法流程圖：若輸入 x 的值為丄，則輸出 y 的值是_TT15. （5 分）若 tan （a-）.貝Utana

2、=.466. （5 分）如圖，在圓柱 O1C2內(nèi)有一個(gè)球 O,該球與圓柱的上、下底面及母線均L產(chǎn)（開(kāi)始）輸入工/1 嚴(yán)丁咤r/輸覽/4（結(jié)束第2頁(yè)（共31頁(yè)）相切，記圓柱 O1O2的體積為 V1,球 O 的體積為 V2,則】 的值是_.7. （5 分）記函數(shù) f （x）= 廠定義域?yàn)?D.在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則 x D 的概率是.第3頁(yè)（共31頁(yè)）I 28._（5 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線 L- y2=1 的右準(zhǔn)線與它的兩條漸 近線分別交于點(diǎn) P, Q,其焦點(diǎn)是 Fi, F2,貝 U 四邊形 F1PF2Q 的面積是_ .9.（5 分）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其

3、前 n 項(xiàng)和為 S,已知 8 丄,S6亠,貝 U a8=_.10. （5 分）某公司一年購(gòu)買某種貨物 600 噸，每次購(gòu)買 x 噸，運(yùn)費(fèi)為 6 萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為 4x 萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 x 的值是_ .11. （5 分）已知函數(shù) f （x） =x3- 2x+3-丄，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若 f （ae-1） +f （2a2） 0.則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_.12.（5 分）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量| , 的模分別為 1, 1, b0) 的左、右焦點(diǎn)分別為 R，F(xiàn)?，離心率為丄，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8 .點(diǎn) P 在橢圓E 上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)

4、 F1作直線 PF 的垂線 11,過(guò)點(diǎn) F2作直線 PF?的垂線12.(1) 求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線 h, 12的交點(diǎn) Q 在橢圓 E 上，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).18.(16 分)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺(tái)形玻璃容器n的高均為 32cm， 容器I的底面對(duì)角線 AC 的長(zhǎng)為 10 cm,容器n的兩底面對(duì)角 線 EG E1G1的長(zhǎng)分別為 14cm 和 62cm.分別在容器I和容器n中注入水，水深 均為 12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒 I,其長(zhǎng)度為 40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略 不計(jì))(1) 將 I 放在容器I中，I 的一端置于點(diǎn) A 處，另一端置于側(cè)棱 CG 上

5、，求 I 沒(méi) 入水第6頁(yè)(共31頁(yè))中部分的長(zhǎng)度；(2) 將 I 放在容器U中，I 的一端置于點(diǎn) E 處，另一端置于側(cè)棱 GG 上，求 I 沒(méi) 入水中部分的長(zhǎng)度.誓器I容器II19. (16 分)對(duì)于給定的正整數(shù) k,若數(shù)列an滿足：an-k+an-k+i+-+an-什什an+k=2ka 對(duì)任意正整數(shù) n (nk)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1) 證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2) 若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”又是“P(3)數(shù)列”證明：an是等差數(shù)列.20.(16 分)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+bx+1 (a0，b R)有極值，且導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)是 f

6、 (x)的零點(diǎn).(I)求 b 關(guān)于 a 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(n)證明：b2 3a；(川)若 f (x), f(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-求實(shí)數(shù) a 的取 值范圍.二非選擇題，附加題(21-24 選做題)【選修 4-1 :幾何證明選講】(本小題滿分 0 分)21. 如圖，AB 為半圓 0 的直徑，直線 PC 切半圓 0 于點(diǎn) C, APIPC, P 為垂足.求證：(1)ZPACKCAB(2) AG =AP?AB第5頁(yè)（共31頁(yè)）選修 4-2:矩陣與變換22.已知矩陣 A=0 * B=f10U OJ 2(1)求 AB;2 2（2）若曲線C1：=1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另

7、一曲線求C2的方程.選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程a=-8+t 尸主 （t 為參數(shù)），曲線 C 的參數(shù)方程為 （s 為參數(shù)）.設(shè) P 為曲線 C 上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) P 到y(tǒng)=2V2s直線 I 的距離的最小值.選修 4-5:不等式選講24. 已知 a, b, c, d 為實(shí)數(shù)，且ai2+b2=4, c2+d2=16,證明 ac+bd2）,這些球除顏色外 全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為 1,2,3, m+n 的抽屜內(nèi)，其中第 k 次取出的球放入編號(hào)為 k 的抽屜(k=1, 2, 3,，m+n).123m+n第8頁(yè)(共31頁(yè))(1) 試求編號(hào)為 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的

8、概率 p;(2)隨機(jī)變量 x 表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E( X)是X的 數(shù)學(xué)期望，證明 E(X)v (irH-n) (n-1)第9頁(yè)(共31頁(yè))2017 年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題1. (5 分)已知集合 A=1,2, B=a, +3 若 AHB=1,則實(shí)數(shù) a 的值為 1 【分析】利用交集定義直接求解.【解答】解：集合 A=1, 2 , B=a, a2+3 . AHB=1, a=1 或 a2+3=1,當(dāng) a=1 時(shí)，A=1, 1, B= 1, 4，成立； a2+3=1 無(wú)解.綜上，a=1.故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)

9、真審題，注意交集定義 及性質(zhì)的合理運(yùn)用.2. (5 分)已知復(fù)數(shù) z= (1+i) (1+2i),其中 i 是虛數(shù)單位，則 z 的模是僅_.【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出.【解答】 解：復(fù)數(shù) z= (1+i) (1+2i) =1 - 2+3i=- 1+3i,|z|=|=.故答案為：一 i.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能 力，屬于基礎(chǔ)題.3. (5 分)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400, 300, 100 件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品 中抽取 60 件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)

10、的產(chǎn)品中抽取18 件.【分析】由題意先求出抽樣比例即為 一，再由此比例計(jì)算出應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取的數(shù)目.【解答】解：產(chǎn)品總數(shù)為 200+400+300+100=1000 件，而抽取 60 件進(jìn)行檢驗(yàn)， 抽樣比例為切=&，1000 100則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取 300X丄=18 件，100故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是分層抽樣.分層抽樣即要抽樣時(shí)保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)保持一致， 按照一定的比例， 即樣本容量和總體容量的比值， 在各層中進(jìn)行 抽取.4. （5分）如圖是一個(gè)算法流程圖：若輸入x的值為，則輸出 y 的值是二【分析】直接模擬程序即得結(jié)論.【解答】解：初始值 X，不

11、滿足 x 1,所以 y=2+log#=2- 1包 2“=- 2，故答案為：-2.法的積累，屬于基礎(chǔ)題.【分析】直接根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算即可第8頁(yè)（共31頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】 本題考查程序框圖,模擬程序是解決此類問(wèn)題的常用方法,注意解題方5. (5 分)若 tan (a- ).則 tan/輸入上/輸血/第11頁(yè)（共31頁(yè)）二 6ta n a 6=ta na+1,解得 tana=,故答案為：丄.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題6.（5 分）如圖，在圓柱 OiQ 內(nèi)有一個(gè)球 0,該球與圓柱的上、下底面及母線均 相切，記圓柱 O1O2的體積為 Vi,球 0 的體積為 V2,則的值是_亠_.【

12、分析】設(shè)出球的半徑，求出圓柱的體積以及球的體積即可得到結(jié)果.【解答】解：設(shè)球的半徑為 R,則球的體積為：斗TTR3，圓柱的體積為：n R?2R=2nR.則V24 兀衣 23故答案為：二.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積以及圓柱的體積的求法， 考查空間想象能力以及計(jì)算能力.7. （5 分）記函數(shù) f （x）= 廠定義域?yàn)?D.在區(qū)間-4, 5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)X,則 x D 的概率是-_ .【解答】解： tan( a兀tanCItanQ -1K1+t an Cl t arr-tan Cl +14=_飛第12頁(yè)（共31頁(yè)）【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：由 6+x-x

13、20 得 x2-x-60,得-2x4X2X H=240 (萬(wàn)元).當(dāng)且僅當(dāng) x=30 時(shí)取等號(hào).故答案為：30.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力， 屬于基礎(chǔ)題.11. (5 分)已知函數(shù) f (x)=疋-2x+ex-，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若 f (ae-1) +f (2a2) 0.則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 -1,丄.【分析】求出 f (x)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得f (x)在 R上遞增；再由奇偶性的定義，可得 f (x)為奇函數(shù)，原不等式即為 2a2-2+2 廠=0, 可得 f (x)在 R 上遞增;S3=-4，第14頁(yè)(共31頁(yè))

14、又 f ( x) +f (x) = (- x)3+2x+ex- ex+x3- 2x+ex】=0,eK可得 f (x)為奇函數(shù)，則 f (a- 1) +f (2a2) 0,即有 f (2aF) - f (a- 1)由 f (-( a- 1) =-f (a- 1),f(2a2)wf(1-a),即有 2a2 1 - a,解得-1awl,2故答案為：-1,丄.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和定義法,考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.12. (5 分)如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量| ,的模分別為與的夾角為a,且 tana=7 I 與的夾角為 4

15、5若-=m -.+n(m, nR),建立直角坐標(biāo)系.A( 1,0).由I 與的夾角為 a,且 tan a =7 可【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A (1, 0).由 OA 與 OC 的夾角為a,且 tana=71,1,：?, -. JsinaB (: ).利用 0C=0A +nuB (m, n R),即可得出.乙曰1彳得 COSa= ,W2，工).可得 cos (a+45二5.sin( a+45-COSa第15頁(yè)(共31頁(yè))Jsina .5V2第16頁(yè)(共31頁(yè)) I =m +n i (m, n R),=m 5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力, 屬

16、于中檔題.13. (5 分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， A ( 12, 0), B (0, 6)， 點(diǎn) P 在圓 O: x2+y2=50上.若-1 I 20，則點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是5 :, 1.【分析】根據(jù)題意，設(shè) P(X0, y),由數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式化簡(jiǎn)變形可得 2x0+y0+5 0,分析可得其表示表示直線 2x+y+5 0 以及直線下方的區(qū)域，聯(lián)立直線與圓 的方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖形分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè) P (X0, y0)，則有 x02+y02=50,- p*-*1- = ( 12 X0, y0) ?( X0,6 y。)= (12+X0)X0- y

17、0 (6V2cos( a+45(cosa-sina=丄i5|sin( a+45= (sin a-cosa) j .52： V22丄.解得，噸則 m+n=3.第17頁(yè)(共31頁(yè))y。)=12xj+6y+X02+y02 20,化為：12X0 6y0+30 b0)用b2的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,巨，離心率為丄，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8 .點(diǎn) P 在橢圓E 上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn) F1作直線 PF 的垂線 11,過(guò)點(diǎn) F2作直線 P 屜的垂線12.(1) 求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若直線 11, 12的交點(diǎn) Q 在橢圓 E 上，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).【分析】(1)由橢圓的離心率公式求得 a=2c,由

18、橢圓的準(zhǔn)線方程 x=1，則 2x =8,即可求得 a 和 c 的值，則 ba2-c?=3,即可求得橢圓方程；C(2)設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)，分別求得直線 PF2的斜率及直線 PF 的斜率，則即可求得 l2Ix0,詢, x-!sinx) =2 :；cos( x),6第i8頁(yè)(共3i頁(yè))及 li的斜率及方程，聯(lián)立求得 Q 點(diǎn)坐標(biāo)，由 Q 在橢圓方程，求得 yo2=x32- 1,聯(lián) 立即可求得 P 點(diǎn)坐標(biāo)；方法二：設(shè) P (m, n),當(dāng) m 工 i 時(shí)，匕 _牛m-1求得 P 點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解：(i)2 ac由解得：a=2, c=i,則 b2=a2- c2=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:yo2=xo2- 1，的方

19、程，聯(lián)立求得 Q 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得= n2，聯(lián)立橢圓方程，即可(2)方法一：設(shè) P (xo, yo),則直線 PF2的斜率k則直線 12的斜率 k2=-,直線 12的方程 y=牝-1%1(x i),直線 PFi的斜率 kpFi貝 U 直線 12的斜率 ki=-S+1 (x+1).直線 li的方程 y=聯(lián)立，解得:， 貝 U Q (- xo,)，由 P，Q 在橢圓上,P, Q 的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)應(yīng)相等，貝 U2 o yK-PFi iHl，求得直線 li及 li橢圓的準(zhǔn)線方程 x=,由 2X由題意可知：橢圓的離心率,則 a=2c,第i8頁(yè)(共3i頁(yè))JT216s0nn24 4，解得:

20、，則第24頁(yè)(共31頁(yè))又 P 在第一象限，所以 P 的坐標(biāo)為:方法二：設(shè) P (m, n),由 P 在第一象限，則 m0, n0,當(dāng) m=1 時(shí)， 不存在，解得：Q 與 Fi重合，不滿足題意,當(dāng) mH1時(shí)，莊-rrti-1即 m2- n2=1,或 m2+n2=1,解，又 P 在第一象限，所以 P 的坐標(biāo)為:由 h 丄 PF1, 12丄 PH,貝=11直線 li的方程 y=-Y1(X+1),直線 12的方程y=(x- 1),聯(lián)立解得：x=- m，則 Q (- m,),由 Q 在橢圓方程，由對(duì)稱性可得:= n2,由 P (m, n),在橢圓方程,ni2-l=n2，22Hl計(jì)學(xué)132 16Hl二?

21、一_9n二7L 21一叩二n22，無(wú)，解得:第20頁(yè)（共31頁(yè)）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公 式，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.18.（16 分）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺(tái)形玻璃容器n的高均為 32cm,容器I的底面對(duì)角線 AC 的長(zhǎng)為 10 cm， 容器n的兩底面對(duì)角 線 EG EGi的長(zhǎng)分別為 14cm 和 62cm.分別在容器I和容器n中注入水，水深 均為 12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒 I，其長(zhǎng)度為 40cm.（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略 不計(jì)）（1）將 I 放在容器I中，I 的一端置于點(diǎn) A 處，另一端置于側(cè)棱 C

22、G 上，求 I 沒(méi) 入水中部分的長(zhǎng)度；（2）將 I 放在容器n中，I 的一端置于點(diǎn) E 處，另一端置于側(cè)棱 GG 上，求 I 沒(méi) 入水中部分的長(zhǎng)度.【分析】（1）設(shè)玻璃棒在 CG 上的點(diǎn)為 M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為 N,過(guò) N 作NP/ MC， 交 AC 于點(diǎn) P,推導(dǎo)出 CC 丄平面 ABCDCC 丄 AC,NP 丄 AC,求出 MC=30cm,推導(dǎo)出 ANP AMC,由此能出玻璃棒 I 沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度.（2）設(shè)玻璃棒在 GG 上的點(diǎn)為 M ,玻璃棒與水面的交點(diǎn)為 N,過(guò)點(diǎn) N 作 NP 丄 EQ 交EG 于點(diǎn) P,過(guò)點(diǎn) E 作 EQ 丄 EG,交 EG 于點(diǎn) Q,推導(dǎo)出 EEiGG 為

23、等腰梯形， 求出E1Q=24cm, E1E=40cm,由正弦定理求出 sin/GEM 二，由此能求出玻璃棒 I5沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度.【解答】解：（1）設(shè)玻璃棒在 CC 上的點(diǎn)為 M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為 N, 在平面ACM 中，過(guò) N 作 NP/ MC,交 AC 于點(diǎn) P, ABCD- A1B1C1D1為正四棱柱，二 CC 丄平面 ABCD又 AC?平面 ABCD 二 CG 丄 AC,： NP 丄 AC,第2i頁(yè)(共3i頁(yè)) NP=12cm 且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm, NP/ MC,.ANP AMC,，丿丄，得 AN=16cm.AW MC 40 30 玻璃棒 I 沒(méi)入水

24、中部分的長(zhǎng)度為 16cm.(2)設(shè)玻璃棒在 GG 上的點(diǎn)為 M，玻璃棒與水面的交點(diǎn)為 N, 在平面 EIEGG 中，過(guò)點(diǎn)N 作 NP 丄 EG 交 EG 于點(diǎn) P, 過(guò)點(diǎn) E 作 EQ! EiGi,交 EIGI于點(diǎn) Q, EFGI+ EiFiGiHi為正四棱臺(tái)， EE=GG, EG/ EiGi,EGMEiGi, EEGiG 為等腰梯形，畫出平面 EiEGG 的平面圖，TEiGi=62cm,EG=i4cm EQ=32cm NP=i2cm, EiQ=24cm,由勾股定理得：E|E=40cm sin/ EEiGi二=15EM 1EGsinZEGMsinZEMG si n/ GEM=s in(/ EG

25、M+/EMG) =sin/ EGMcosZ EMG+cos/ EGMsin/ EMG 二,= 肝1235cos/EGM=sin/ EGM=sinZ EEGi根據(jù)正弦定理得:sin/EMG-,cos/EMG=-=20cm.玻璃棒 I 沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為 20cm.第27頁(yè)(共31頁(yè))【點(diǎn)評(píng)】本題考查玻璃棒 I 沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度的求法，考查空間中線線、線面、 面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能 力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.19.( 16 分)對(duì)于給定的正整數(shù) k,若數(shù)列an滿足：an-k+an-k+l+an-1+ an+l+an*-i+a

26、n+k=2ka 對(duì)任意正整數(shù) n (nk)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1) 證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2) 若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”又是“(3)數(shù)列”證明：an是等差數(shù)列.【分析】(1 )由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，an-3+an-2+an-什an+1+an+2+an+3= ( an-3+an+3)+ ( an-2+an+2)+ (an-什an+1) 一 2x3an，根據(jù) “(k)數(shù)列”的定義，可得 數(shù)列an是“(3)數(shù)列”(2)由已知條件結(jié)合(1)中的結(jié)論，可得到an從第 3 項(xiàng)起為等差數(shù)列，再通 過(guò)判斷 a2與 a3的關(guān)系和 a1與 a2的關(guān)系，可知an為等

27、差數(shù)列.【解答】解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列an首項(xiàng)為 a1,公差為 d，則 ch=ai+ (n - 1) d，貝Uan-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3，=(an-3+an+3)+ ( an-2+an+2)+ ( an-1+an+1)，=2ai+2an+2an，=2x3an，等差數(shù)列an是“(3)數(shù)列”(2)證明：當(dāng) n 4 時(shí)，因?yàn)閿?shù)列an是 P (3)數(shù)列，貝Uan-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，因?yàn)閿?shù)列an是“P(2)數(shù)列”所以 an-2+an-1+an+1+an+2=4an，貝Uan-l+an+an+2+an+3=4an+1， +，得

28、 2an=4an-i+4an+i- 6an，即卩 2an=an-什an+i, (n4), 因此 n4 從第 3項(xiàng)起為等差數(shù)列，設(shè)公差為 d,注意到 a2+a3+a5+a6=4a4, 所以 a2=4a4- a3- a5-a6=4(a3+d)- a3-(a3+2d)-( a3+3d) =a3- d, 因?yàn)?ai+a2+a4+a5=4a3，所以 ai=4a3- a2- a4- a5=4( a2+d) - a2- (a2+2d) - (a2+3d) =a2- d,也即前 3 項(xiàng)滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，所以an為等差數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的新定義的性質(zhì)，考查數(shù)列的運(yùn)算， 考查轉(zhuǎn)化

29、思想，屬于中檔題.20. (16 分)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+bx+1 (a0，b R)有極值，且導(dǎo)函數(shù) f (x)的極值點(diǎn)是 f (x)的零點(diǎn).(I )求 b 關(guān)于 a 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;(U )證明：b23a；值范圍.(a 0，b R)有極值可知 f( x) =0 有兩個(gè)不等的實(shí)根，進(jìn)而可知 a 3.【解答】(I)解：因?yàn)?f (x) =x3+ax2+bx+1,第23頁(yè)(共31頁(yè)), 4 a32ab ,?=s2 3 | | 273 |a9等式 b - E， 因式分解即得結(jié)論.(川)若 f (x), f (x)這兩個(gè)函丄，求實(shí)數(shù) a 的取【分析】(I)通過(guò)對(duì) f進(jìn)而再

30、求導(dǎo)可知 g (x)為 x=-尋,從(x)=x3+ax2+bx+1 求導(dǎo)可知 g(x)=f( x)=3x2+2ax+b，=6x+2a，通過(guò)令g(x)=0 進(jìn)而可知f(x)的極小值點(diǎn) 豆(a0)， 結(jié)合f (x)=x3+a+bx+1 a)=0,整理可知 b=：；13a 4(n )通過(guò)(1 )構(gòu)造函數(shù) h (a)=護(hù)-3a=181-27)，結(jié)合 a3 可知 h (a) 0,從而可得結(jié)論;,9=112a81 /(川)通過(guò)(1)可知 f(x)的極小值為 f(-) =b-3全平方關(guān)系可知 y=f (x)的兩個(gè)極值之和為雲(yún)-，利用韋達(dá)定理及完2ab莎-T+2，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不(4a3- 27) (a3_

31、 5a2a2第29頁(yè)(共31頁(yè))所以 g (x) =f (x) =3f+2ax+b, g(x) =6x+2a.時(shí) g (x) 0, g (x) =f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) xv-時(shí) g (x)v30，g (x) =f(x)單調(diào)遞減； 所以f(x)的極小值點(diǎn)為x弋,因?yàn)?f (x) =x3+ax2+bx+1 (a0, b R)有極值,所以 f (x) =3*+2ax+b=0 的實(shí)根，所以 4a2- 12b0,即 a2-泌理0,解得 a3,3a所以 b-犀(a3).9 a(U)證明：由(1)可知 h(a)=b2-3a=；81-27),由于 a3,所以 h (a)0，即 b23a；2(川)解： 由(1)

32、可知 f (x)的極小值為 f (-令)=b-, 設(shè) xi, X2是 y=f (x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，貝 U Xl+X2=/ , X1X2,LXKJ所以 f (Xi) +f (X2) tr+xj+a (“ 2+七2)+b (X1+X2) +2 =(X1+X2) (X1+X2)2-3x1x2+a (X1+X2)2- 2x1x2+ b (x 什 X2)+2=T27又因?yàn)?f (X), f (X)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-5已=12 a81 /由于當(dāng) x-33所以 f (-2)=0,即-+32f 9所以 ba -弓(a0).所以 U+1=0,a3L_i.+2令 g (x) =0,解得 x=-由于導(dǎo)

33、函數(shù) f (X)的極值點(diǎn)是原函數(shù) f ( X)的零點(diǎn),abT(4a3- 27)第25頁(yè)（共31頁(yè)）因?yàn)?a3,所以 2a3- 63a- 540, 所以 2a (a2- 36) +9 (a-6)3 時(shí) 2a2+12a+90,所以 a - 6 0,解得 a-第25頁(yè)（共31頁(yè)）ABAC二 AC2=AP?AB第32頁(yè)(共31頁(yè))【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的 判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.選修 4-2:矩陣與變換22.已知矩陣 A=0 】,B=U OJ o 2(1)求 AB;2 2(2)若曲線 Ci：匚斗三_=1 在矩陣 AB 對(duì)應(yīng)的變

34、換作用下得到另一曲線 C2,求8 2C2的方程.【分析】(1)按矩陣乘法規(guī)律計(jì)算；Ci的方程化簡(jiǎn)即可.點(diǎn) P 在矩陣 AB 的變換下得到點(diǎn) P (xo, yo),則廠訓(xùn)爭(zhēng)即xo=2y,yo=x, x=w, y=, 十葺一二 1，即 xo2+yo2=8,曲線 C2的方程為 x2+y2=8.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩陣乘法與矩陣變換，屬于中檔題.選修 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知直線 I 的參數(shù)方程為(2)求出變換前后的坐標(biāo)變換規(guī)律，代入曲線(2)設(shè)點(diǎn) P (x, y)為曲線 C 的任意一點(diǎn),(t 為參數(shù))，曲線 C 的參數(shù)方程為 Ly=22s直線 I 的距離的最小

35、值.【分析】求出直線 I 的直角坐標(biāo)方程，代入距離公式化簡(jiǎn)得出距離d 關(guān)于參數(shù) s的函數(shù)，從而得出最短距離.【解答】解：直線 I 的直角坐標(biāo)方程為 x-2y+8=0, P 到直線 I 的距離 d=宀 7v5vS【點(diǎn)評(píng)】本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.選修 4-5:不等式選講24. 已知 a， b，c, d 為實(shí)數(shù)，且 aF+b2=4，c2+d2=16，證明 ac+bd 8.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16，令 a=2cosab=2sin，c=4cos，d=4sin .代入 ac+bd化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可證明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2(a2+b2) (c2+d2)，即可得出.【解答】證明：+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cosab=2sinac=4cosftd=4sinB