第五講 冪函數(shù)與二次函數(shù)經(jīng)典難題復(fù)習(xí)鞏固

1、DSE金牌化學(xué)專題系列 精典專題系列第5講 冪函數(shù)與二次函數(shù)1、 導(dǎo)入： 名叫拋棄的水池 一個(gè)人得了難治之癥，終日為疾病所苦。為了能早日痊愈，他看過(guò)了不少醫(yī)生，都不見(jiàn)效果。他又聽(tīng)人說(shuō)遠(yuǎn)處有一個(gè)小鎮(zhèn)，鎮(zhèn)上有一種包治百病的水，于是就急急忙忙趕過(guò)去，跳到水里去洗澡。但洗過(guò)澡后，他的病不但沒(méi)好，反而加重了。這使他更加困苦不堪。有一天晚上，他在夢(mèng)里夢(mèng)見(jiàn)一個(gè)精靈向他走來(lái)，很關(guān)切地詢問(wèn)他：“所有的方法你都試過(guò)了嗎？”他答道：“試過(guò)了?！薄安唬本`搖頭說(shuō)，“過(guò)來(lái)，我?guī)闳ハ匆环N你從來(lái)沒(méi)有洗過(guò)的澡?！本`將這個(gè)人帶到一個(gè)清澈的水池邊對(duì)他說(shuō)：“進(jìn)水里泡一泡，你很快就會(huì)康復(fù)?！闭f(shuō)完，就不見(jiàn)了。這病人跳進(jìn)了水池，泡

2、在水中。等他從水中出來(lái)時(shí)，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬頭，發(fā)現(xiàn)水池旁的墻上寫著“拋棄”兩個(gè)字。這時(shí)他也醒了，夢(mèng)中的情景讓他猛然醒悟：原來(lái)自己一直以來(lái)任意放縱，受害已深。于是他就此發(fā)誓，要戒除一切惡習(xí)。他履行自己的誓言，先是苦惱從他的心中消失，沒(méi)過(guò)多久，他的身體也康復(fù)了。大道理：拋棄是治療百病的萬(wàn)靈之藥，人之所以有很多難纏的情感，就是因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)情況下，舍不得放棄。把消極扔掉，讓積極代替，就沒(méi)有什么可抱怨的了。2、 知識(shí)點(diǎn)回顧：1冪函數(shù)的定義形如 (R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是 ，為 25種冪函數(shù)的圖象35種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì)yx定義域RRR0，)x|x0值域R0，)R0

3、，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增函數(shù)在 (，0)上是減函數(shù)；在 (，0)上是增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)在(，0上是減函數(shù)；在 0，) 上是減函數(shù)定點(diǎn)(1,1)4二次函數(shù)的解析式(1)一般式：f(x) ；(2)頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)，則其解析式為：f(x) ；(3)雙根式：若相應(yīng)一元二次方程的兩根為x1，x2，則其解析式為f(x) (a0)5二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域RR值域，)(，最值 單調(diào)性在x 上單調(diào)遞減在x 上單調(diào)遞增在x 上單調(diào)遞增在x 上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng) 時(shí)為偶函數(shù)， 時(shí)為非奇非偶函

4、數(shù)頂點(diǎn)(，)對(duì)稱性圖象關(guān)于直線 成軸對(duì)稱圖形三、專題訓(xùn)練：考點(diǎn)一冪函數(shù)的概念已知函數(shù)f(x)(m2m1)x5m3，m為何值時(shí)，f(x)：(1)是冪函數(shù)；(2)是冪函數(shù)，且是(0，)上的增函數(shù)；(3)是正比例函數(shù)；(4)是反比例函數(shù)；(5)是二次函數(shù)自主解答(1)f(x)是冪函數(shù)，故m2m11，即m2m20，解得m2或m1.(2)若f(x)是冪函數(shù)且又是(0，)上的增函數(shù)，則m1.(3)若f(x)是正比例函數(shù)，則5m31，解得m.此時(shí)m2m10，故m.(4)若f(x)是反比例函數(shù)，則5m31，則m，此時(shí)m2m10，故m.(5)若f(x)是二次函數(shù)，則5m32，即m1，此時(shí)m2m10，故m1.變式

5、訓(xùn)練：冪函數(shù) 在(0，)上是減函數(shù)，求m的值解：函數(shù)是冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當(dāng)m2時(shí)，m22m33，函數(shù)為yx3，在(0，)上是減函數(shù)當(dāng)m1時(shí)，m22m30，函數(shù)為yx01(x0)，在(0，)上是常函數(shù)m2.考點(diǎn)二冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，)(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)：f(x)>g(x)；f(x)g(x)；f(x)<g(x)自主解答(1)設(shè)f(x)x，其圖象過(guò)(，2)點(diǎn)，故2()，解得2，f(x)x2.設(shè)g(x)x，其圖象過(guò)(2，)點(diǎn)，2，解得2.g(x)x2.(2)在同一坐標(biāo)系下

6、作出f(x)x2與g(x)x2的圖象，如下圖所示由圖象可知：f(x)，g(x)的圖象均過(guò)點(diǎn)(1,1)與(1,1)當(dāng)x>1或x<1時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)1<x<1且x0時(shí)，f(x)<g(x)變式訓(xùn)練：若冪函數(shù)f(x)(mN*)是偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減，求滿足<的a的取值范圍解：函數(shù)f(x)在(0，)上遞減，m22m3<0，解得1<m<3.mN*，m1,2.又m22m3是偶數(shù)，而222×233為奇數(shù)，122×134為偶數(shù)，m1.而y在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，<

7、等價(jià)于a1>32a>0，或0>a1>32a或a1<0<32a.解得a<1或<a<.故a的取值范圍為a|a<1或<a<考點(diǎn)三二次函數(shù)的解析式已知二次函數(shù)f(x)同時(shí)滿足條件：(1) f(1x)f(1x)； (2)f(x)的最大值為15； (3)f(x)0的兩根立方和等于17.求f(x)的解析式自主解答依條件，設(shè)f(x)a(x1)215(a<0)，即f(x)ax22axa15.令f(x)0，即ax22axa150，x1x22，x1x21.而xx(x1x2)33x1x2(x1x2)233×2×(1)2，

8、217，則a6.f(x)6x212x9.變式訓(xùn)練：已知f(x)為二次函數(shù)，且f(2)f(1)1，f(x)max8，求f(x)的解析式解：f(2)f(1)，拋物線的對(duì)稱軸為x，又f(x)max8，設(shè)f(x)a(x)28(a<0)又f(2)1，a(2)281.解得：a4，f(x)4(x)284x24x7.考點(diǎn)四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和2，且f(x)最小值是1，函數(shù)g(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若h(x)f(x)g(x)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍自主解答(1)依題意，設(shè)f(x)ax(x2)ax22ax(

9、a>0)f(x)圖象的對(duì)稱軸是x1，f(1)1，即a2a1，得a1.f(x)x22x.由函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，g(x)f(x)x22x.(2)由(1)得h(x)x22x(x22x)(1)x22(1)x.當(dāng)1時(shí)，h(x)4x滿足在區(qū)間1,1上是增函數(shù)；當(dāng)<1時(shí)，h(x)圖象對(duì)稱軸是x，則1，又<1，解得<1；當(dāng)>1時(shí)，同理則需1，又>1，解得1<0.綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是(，0思考：若f(x)x22ax1a在x0，1上的最大值為2，求a的值.解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為xa，,分三種情況討論.,當(dāng)a<0時(shí)，如圖(

10、1)所示，f(x)在0,1上遞減，f(x)maxf(0)1a，1a2，解得a1，滿足a<0，a1.當(dāng)0a1時(shí)，如圖(2)所示，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，a2a12，解得a.0a1，舍去a.當(dāng)a>1時(shí)，如圖(3)所示，f(x)在區(qū)間0,1上遞增，f(x)maxf(1)2aaa，a2，滿足a>1，a2.綜上，可知a的值為1或2.變式訓(xùn)練：已知f(x1)x22x7，xt1，t，求f(x)的最小值(t)的表達(dá)式 解：令x1m，則xm1，f(m)(m1)22(m1)7m24m4，f(x)x24x4.又xt1，t時(shí)，x1t，t1，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閠，t1，即f(

11、x)x24x4(x2)28，xt，t1函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸是x2，開(kāi)口向上如圖，當(dāng)t1<2，即t<1時(shí)，(t)f(x)minf(t1)t22t7.如圖，當(dāng)t2t1，即1t2時(shí)，(t)f(x)minf(2)8.如圖，當(dāng)t>2時(shí)，(t)f(x)minf(t)t24t4.綜上所述，(t) 考題印證(2010·全國(guó)卷)直線y1與曲線yx2|x|a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是_規(guī)范解答如圖，作出yx2|x|a的圖象，若要使y1與其有4個(gè)交點(diǎn)，則需滿足a<1<a，解得1<a<.1冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠

12、近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”)，在(1，)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(2)冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)2二次函數(shù)的解析式的求法求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法其解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件正確地列出含有待定系數(shù)的等式，把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程來(lái)解決3 二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題的解法 二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題，一般有三種情況：(1)對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；(2)對(duì)稱軸動(dòng)，區(qū)間固定；(3)對(duì)

13、稱軸定，區(qū)間變動(dòng)解決這類問(wèn)題的思路是：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成對(duì)于(2)、(3)兩類，通常要分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)、對(duì)稱軸在區(qū)間外兩大類情況進(jìn)行討論四、鞏固練習(xí)：1設(shè)<()b<()a<1，則下列不等關(guān)系成立的是 ()Aaa<ab<ba Baa<ba<abCab<aa<ba Dab<ba<aa解析：<()b<()a<11>b>a>0，在A和B中，yax(0<a<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，則

14、aa>ab，所以結(jié)論不成立；在C中，yxn(n>0)在(0，)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又a<baa<ba，即ab<aa<ba.2(2010·安徽高考)設(shè)abc>0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是 ()解析：若a>0，b<0，c<0，則對(duì)稱軸x>0，函數(shù)f(x)的圖象與y軸的交點(diǎn)(0，c)在x軸下方答案：D3若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足3，則f()的值等于()A3 BC3 D.解析：依題意設(shè)f(x)x(R)，則有3，即23得log23，則f(x)，于是f().4已知函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)>0的解

15、集是(0,4)，且f(x)在區(qū)間1,5上的最大值是12，則f(x)的解析式為_(kāi)解析：設(shè)f(x)ax2bxc，由f(x)>0的解集是(0,4)可知f(0)f(4)0，且二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為x2，再由f(x)在區(qū)間1,5上的最大值是12，可知f(2)12.即解得f(x)3x212x.5當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式x2mx4<0恒成立，則m的取值范圍是_解析：x2mx4<0對(duì)x(1,2)恒成立，mx<x24，m<(x)對(duì)x(1,2)恒成立又4<x<5，5<(x)<4，m5.6已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc滿足條件：f(3x)f(x)

16、；f(1)0；對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x)恒成立求f(x)的解析式解：依題意得：，由f(x)得ax23ax2a0恒成立，即，a1，f(x)x23x2.7、 反思總結(jié)： 當(dāng)堂過(guò)手訓(xùn)練（快練五分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功！）1給出下列函數(shù)：y；y3x2；yx4x2；y，其中是冪函數(shù)的有 ()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：可以對(duì)照冪函數(shù)的定義進(jìn)行判斷在所給出的四個(gè)函數(shù)中，只有yx3和y符合冪函數(shù)的定義，是冪函數(shù)，其余兩個(gè)都不是冪函數(shù)2圖中曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象已知n取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為 ()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，解析：yx2和y在(0，)上為增函數(shù)，且yx2的增長(zhǎng)速度要大于y的增長(zhǎng)速度曲線C1為yx2，曲線C2為y又yx2和y為減函數(shù)且yx2比y減小的速度快，曲線C3為y，曲線C4為yx2.3已知點(diǎn)(，3)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為 ()Af(x)x3 Bf(x)x3Cf(x) Df(x)解析：設(shè)f(x)x，則3() 即3，f(x)x3.4函數(shù)f(x)4x2mx5在區(qū)間