超市顧客人數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題(十一屆數(shù)學(xué)建模一等獎(jiǎng))

1、2014南昌大學(xué)第十一屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了南昌大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： 報(bào)名序號(hào)是(沒(méi)有或不清楚可不填):_.參賽隊(duì)

2、員(打印并簽名) ： 所屬院系（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?1 . 簽名:_院系: _2. 簽名:_院系: _3. 簽名:_院系: _ 日期：2014 年 5 月 26 日2014南昌大學(xué)第十一屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)評(píng)閱編號(hào)：評(píng)閱記錄：評(píng)閱人備注超市顧客人數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題摘 要通過(guò)對(duì)所給數(shù)據(jù)的分析發(fā)現(xiàn)，超市在服務(wù)窗口的設(shè)計(jì)上存在著缺陷，大大浪費(fèi)了顧客的時(shí)間和超市的成本。首先我們建立了擬合模型，用它來(lái)描述顧客人流。對(duì)前四周的數(shù)據(jù)分析作圖，再利用Matlab擬合出多項(xiàng)式，建立星期與顧客數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出下一周的顧客數(shù)。在本文中我們把前四周的數(shù)據(jù)與擬合出來(lái)的多項(xiàng)式畫在了同一張圖上，發(fā)現(xiàn)前四周

3、的圖像在多項(xiàng)式圖像上上下波動(dòng)，這說(shuō)明該擬合出來(lái)的多項(xiàng)式是比較優(yōu)質(zhì)的。預(yù)測(cè)出來(lái)的數(shù)據(jù)下午最多，晚上其次，上午最少，這與實(shí)際情況也比較相符。對(duì)于窗口優(yōu)化，我們力求在顧客平均等待時(shí)間和服務(wù)窗口數(shù)之間找到一個(gè)平衡點(diǎn)，既使得顧客在一定的等待時(shí)間內(nèi)不會(huì)感到煩躁，又使得超市經(jīng)營(yíng)者在服務(wù)窗口方面的支出不會(huì)太高。基于這個(gè)問(wèn)題，我們利用排隊(duì)論的知識(shí)將超市與顧客系統(tǒng)化，最終利用Little公式分別計(jì)算出上午、下午和晚上的五個(gè)目標(biāo)參量。將這五個(gè)目標(biāo)參量制成表格后，我們可以一目了然地觀測(cè)出窗口數(shù)的最優(yōu)解。在對(duì)最優(yōu)解的分析過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)超市確實(shí)存在一定的資源浪費(fèi)。上述這兩種模型不僅在企業(yè)經(jīng)營(yíng)方面具有一定的指導(dǎo)作用，而且

4、還可以推廣到軍事及氣象等方面。關(guān)鍵詞：擬合模型 排隊(duì)論 M/M/n模型 最優(yōu)解一、前言隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，企業(yè)在不斷擴(kuò)大其自身容量的同時(shí)，經(jīng)營(yíng)管理方面的問(wèn)題日益突出。相信每個(gè)人都有過(guò)排隊(duì)的經(jīng)驗(yàn)，隊(duì)伍短尚好，隊(duì)伍若長(zhǎng)則感覺(jué)不耐煩，以致于到后來(lái)不想排隊(duì)。不管是在超市、在車站還是其他的地方，我們總能見(jiàn)到這種現(xiàn)象。行為科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，排隊(duì)時(shí)間是影響客戶流失的一條主要原因。等候超過(guò)10分鐘，情緒開(kāi)始急躁；超過(guò)20分鐘，情緒表現(xiàn)厭煩；超過(guò)40分鐘，常因惱火而離去。讓客戶等10分鐘的代價(jià)，是要流失20至30的客戶。如何有效利用有限的人力、物力資源提高服務(wù)質(zhì)量和效率是當(dāng)今經(jīng)濟(jì)社會(huì)的一大主題。在此討論某超市的顧

5、客人數(shù)問(wèn)題。在這個(gè)問(wèn)題中，我們先根據(jù)擬合模型預(yù)測(cè)了一周內(nèi)超市顧客的人數(shù)，再利用排隊(duì)論的知識(shí)進(jìn)行了窗口數(shù)量?jī)?yōu)化。該模型不僅對(duì)減少超市的成本有一定的實(shí)際意義，而且能推廣到其它深層領(lǐng)域。2、 研究該問(wèn)題的意義在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，如何提高經(jīng)營(yíng)效益、吸引更多的顧客是超市經(jīng)營(yíng)商最關(guān)心的問(wèn)題。同時(shí)超市是人口較為聚集的地方，顧客來(lái)來(lái)往往，人們?cè)诔羞x購(gòu)物美價(jià)廉的商品，同時(shí)，顧客一樣也會(huì)關(guān)心超市的服務(wù)效率和服務(wù)質(zhì)量。前者，我們可以通過(guò)商品采集來(lái)獲得質(zhì)量?jī)?yōu)等的商品，而對(duì)于后者，我們就要考慮收銀臺(tái)窗口的優(yōu)化了。收銀窗口少，顧客就會(huì)因?yàn)榻Y(jié)算時(shí)滯留在超市內(nèi)，造成超市的擁堵。對(duì)于顧客，浪費(fèi)了許多時(shí)間，會(huì)對(duì)超市產(chǎn)生不好的印

6、象，對(duì)于超市，過(guò)多的人員擁堵，就不能為后來(lái)的顧客提供寬松的購(gòu)物壞境，這對(duì)超市的客源有很大的影響。收銀窗口增多，又會(huì)造成成本的增加，有可能會(huì)造成資源的空間浪費(fèi)。因此，超市收銀窗口的合理設(shè)置，顯得十分重要。為了讓超市的收銀速度加快，減少顧客因?yàn)榻Y(jié)賬而滯留在超市里的時(shí)間，使顧客的滿意度和超市收益都提高，我們通過(guò)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，來(lái)建立簡(jiǎn)單的超市排隊(duì)模型，解決顧客結(jié)賬時(shí)排隊(duì)等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)的問(wèn)題。三、問(wèn)題重述超市顧客人數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題： 某大型超市經(jīng)營(yíng)者，為了縮短顧客排隊(duì)等候的時(shí)間，最直接的方式就是增加服務(wù)窗口數(shù)量，縮短排隊(duì)人數(shù)，但勢(shì)必會(huì)增加人員開(kāi)支的成本。為了合理設(shè)置服務(wù)窗口數(shù)量，最大程度上服務(wù)更多的顧客。通過(guò)收

7、集上午、下午和晚上三個(gè)時(shí)間段內(nèi)不同服務(wù)窗口的人流數(shù)據(jù)，請(qǐng)依據(jù)這些數(shù)據(jù)（見(jiàn)附錄數(shù)據(jù)文件）完成以下問(wèn)題：（一）建立描述顧客人流的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)一周時(shí)間內(nèi)的顧客人數(shù)；（二）從超市經(jīng)營(yíng)者的角度，建立超市合理設(shè)置服務(wù)窗口數(shù)量的模型，根據(jù)問(wèn)題（一）的預(yù)測(cè)人數(shù)，給出超市三個(gè)時(shí)間段內(nèi)合理的窗口數(shù)量，并與現(xiàn)有服務(wù)窗口數(shù)量進(jìn)行比較，說(shuō)明優(yōu)劣；（三）寫一篇報(bào)告提交給超市的經(jīng)營(yíng)者，說(shuō)明你們提出的改進(jìn)建議。四、模型分析1. 對(duì)問(wèn)題一的分析：擬合模型曲線擬合指用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系。在數(shù)值分析中，曲線擬合就是用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)，即離散數(shù)據(jù)的公式化。實(shí)踐中，離散點(diǎn)組或數(shù)據(jù)往

8、往是各種物理問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)問(wèn)題有關(guān)量的多次觀測(cè)值或?qū)嶒?yàn)值，它們是零散的，不僅不便于處理，而且通常不能確切和充分地體現(xiàn)出其固有的規(guī)律。這種缺陷正可由適當(dāng)?shù)慕馕霰磉_(dá)式來(lái)彌補(bǔ)。由高等代數(shù)的知識(shí)可知，所有的離散點(diǎn)組必有其對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式。也就是說(shuō)，只要給定一組數(shù)據(jù)，我們總可以找到一個(gè)最接近它們圖像的多項(xiàng)式函數(shù)。問(wèn)題一給出了前四周的顧客數(shù)據(jù)，要我們預(yù)測(cè)下一周的顧客人數(shù)。也就是說(shuō)，它的核心在于用前四周的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)第五周的數(shù)據(jù)。有了擬合多項(xiàng)式函數(shù)后，我們就可以通過(guò)星期與顧客數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)任意星期的顧客數(shù)，從而問(wèn)題一得到解答。2. 對(duì)問(wèn)題二的分析：排隊(duì)論排隊(duì)論，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是通過(guò)對(duì)服務(wù)對(duì)象到來(lái)及服務(wù)

9、時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度、忙期長(zhǎng)短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來(lái)改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的所需的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。服務(wù)窗口是大型超市的必帶品，一方面超市不能為了賺取利潤(rùn)，使服務(wù)窗口過(guò)于減少，造成顧客等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，很多人就可能不到這個(gè)超市買東西，這就在一定程度上造成了顧客的流失。顧客缺乏，超市資金，超市就難以維持。另一方面，超市也不能為了爭(zhēng)取顧客，而不考慮成本。過(guò)多的服務(wù)窗口顯然是沒(méi)有必要的，既浪費(fèi)勞動(dòng)力，又增加花費(fèi)。因而我們要尋找一個(gè)平衡點(diǎn)，使超市在服務(wù)窗口方面的費(fèi)用與顧客數(shù)之間

10、達(dá)到一個(gè)最優(yōu)化的狀態(tài)。排隊(duì)論主要研究方向可分為三個(gè)方面：（1）系統(tǒng)的形態(tài)分析問(wèn)題。隊(duì)長(zhǎng)，等待時(shí)間和忙期是隨機(jī)服務(wù)的三個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)，對(duì)于各種系統(tǒng)研究各項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的變化規(guī)律的問(wèn)題，這就是最主要的研究方向，絕大部分文獻(xiàn)都是屬于這一類的。早期的研究集中于系統(tǒng)的平穩(wěn)性，五十年代中期以后開(kāi)始注意到瞬態(tài)的研究，并逐漸成為研究焦點(diǎn)。（2）系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題。系統(tǒng)的最優(yōu)化可以分為靜態(tài)的和動(dòng)態(tài)的最優(yōu)化問(wèn)題。（3）系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。統(tǒng)計(jì)問(wèn)題是先于性態(tài)研究的，但是在隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論的發(fā)展過(guò)程中，統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的發(fā)展進(jìn)程是緩慢的。超市服務(wù)窗口的多少直接影響了顧客排隊(duì)等候的時(shí)間，以及超市在服務(wù)人員方面消耗的成本。超市服務(wù)窗口與顧

11、客之間的服務(wù)與被服務(wù)關(guān)系，可以用服務(wù)系統(tǒng)模型來(lái)表示。我們將少數(shù)結(jié)伴而來(lái)的顧客視為有先后順序，故顧客接受服務(wù)的過(guò)程可看作是排隊(duì)論中的播送過(guò)程。為了便于模型求解，假定每個(gè)服務(wù)人員的效率相同。由于每個(gè)窗口獨(dú)立排隊(duì)和服務(wù)，我們可以把n個(gè)窗口服務(wù)位顧客的情況視為一個(gè)窗口服務(wù)位顧客的情況來(lái)討論，這樣就得到了一個(gè)輸入過(guò)程的最簡(jiǎn)單流。服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，一個(gè)窗口，系統(tǒng)容量無(wú)限，顧客數(shù)無(wú)限的等待制排隊(duì)模型。故第二問(wèn)，我們將用排隊(duì)論模型中有關(guān)服務(wù)系統(tǒng)的理論來(lái)分析和解決。 下面是排隊(duì)的簡(jiǎn)略模型，簡(jiǎn)要說(shuō)明了顧客到達(dá)至離去的過(guò)程：五、模型假設(shè)1.假設(shè)星期與顧客數(shù)相互獨(dú)立2.假設(shè)顧客到達(dá)服務(wù)窗口的方式相互獨(dú)立3.假設(shè)顧

12、客到達(dá)服務(wù)窗口，即使發(fā)現(xiàn)服務(wù)窗口均忙著，只要排隊(duì)人不多，或 排隊(duì)時(shí)間不長(zhǎng)，仍然愿意排隊(duì)等候4.假設(shè)只考慮先到先服務(wù)5.假設(shè)排隊(duì)過(guò)程中無(wú)人插隊(duì)6.假設(shè)排隊(duì)過(guò)程中無(wú)人更換窗口7.假設(shè)顧客到達(dá)是均勻的8.假設(shè)所有服務(wù)人員效率相等六、符號(hào)說(shuō)明（1）：誤差平方和（2）：在上午、下午和晚上三個(gè)時(shí)間段內(nèi)，一周的總顧客數(shù)預(yù)測(cè)值（3）：在上午時(shí)間段內(nèi)，一周的總顧客數(shù)預(yù)測(cè)值（4）：在下午時(shí)間段內(nèi)，一周的總顧客數(shù)預(yù)測(cè)值（5）：在晚上時(shí)間段內(nèi)，一周的總顧客數(shù)預(yù)測(cè)值（6）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)，即平均到達(dá)效率（7）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)接受服務(wù)的顧客數(shù)，即平均服務(wù)效率（8）：平均每位顧客所需的服務(wù)時(shí)間（9）：系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候

13、的平均顧客數(shù)（10）：平均忙著的服務(wù)窗口個(gè)數(shù)（11）：系統(tǒng)內(nèi)顧客的均值（12）:顧客平均排隊(duì)等待時(shí)間（13）：顧客在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時(shí)間七、模型建立問(wèn)題一：由擬合模型的知識(shí)可知，要擬合出一個(gè)多項(xiàng)式，必須知道一個(gè)離散點(diǎn)組。由于顧客到超市買東西與否（即是否需要服務(wù)窗口）與周次無(wú)關(guān)，而與星期有關(guān)，即在不同的星期中顧客數(shù)是相對(duì)獨(dú)立的，因而我們可以把前四周相同的星期整合求平均。該平均周次能在一定程度上反映超市顧客數(shù)的總體趨勢(shì)。在生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系式有時(shí)不能直接寫出表達(dá)式，而只能得到函數(shù)在若干個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值或倒數(shù)值，當(dāng)要求知道觀測(cè)點(diǎn)之外的函數(shù)值時(shí)，需要估計(jì)函數(shù)在該點(diǎn)的數(shù)值，這

14、就要根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)的值，構(gòu)造一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，使函數(shù)在觀測(cè)點(diǎn)的值等于已知的數(shù)值或?qū)?shù)值，尋找這樣的函數(shù)，辦法是很多的。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的類型有如下兩種處理觀測(cè)數(shù)據(jù)的方法：測(cè)量值是準(zhǔn)確的，沒(méi)有誤差，一般用插值測(cè)量值與真實(shí)值有誤差，一般用曲線擬合已知離散點(diǎn)上的數(shù)據(jù)集，求得一解析函數(shù),使在原離散點(diǎn)上盡可能接近給定的值，這一過(guò)程叫曲線擬合，最常用的曲線擬合是最小二乘法，即找出使下式最小的：通常，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)先將已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖畫出，然后設(shè)計(jì)擬合的曲線類型，最后根據(jù)某種準(zhǔn)則選定最佳的曲線。多項(xiàng)式擬合是其中一種，多項(xiàng)式擬合就是選擇適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式對(duì)數(shù)據(jù)集體進(jìn)行擬合，其命令為：格式：說(shuō)明：求出已知數(shù)據(jù)的n階擬合多

15、項(xiàng)式按降冪排列的系數(shù)p，X必須是單調(diào)的。接下來(lái)我們將各階段的平均周次作為原始散點(diǎn)數(shù)組，再進(jìn)行擬合。前四周每天不同時(shí)間段的總顧客數(shù)及平均周次如下：上午星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一周4241367544603109343040813979第二周4257446237894204441037853919第三周4284457145084022439237134142第四周4230433644894449396440783679平均值425342614311.5394640493914.253929.75下午星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一周8768825985368728

16、773085528073第二周7942859687858747792985078753第三周8092833788708581787780668323第四周8344863386218456825886858677平均值8286.58456.25870386287948.58452.58456.5晚上星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日第一周6572622065746340643162126355第二周6264604956055794621557176273第三周6000430260496076589862795570第四周6090461353915788569563465781平均值623

17、1.552965904.755999.56059.756138.55994.75再對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合即可。問(wèn)題二：在模型分析中，我們已經(jīng)說(shuō)明了問(wèn)題二用排隊(duì)論（M/M/n模型）解決的可能。設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)窗口，且各窗口的工作是相互獨(dú)立的，顧客按Poission流到達(dá)，到達(dá)強(qiáng)度為P。又設(shè)顧客所需的服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，窗口平均服務(wù)率為，則整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率為。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布。當(dāng)系統(tǒng)處于平衡時(shí)，可列出K式方程并求出相應(yīng)的平穩(wěn)分布。 ， 由正則性條件，當(dāng)時(shí)有= ，于是由此可求出下面幾個(gè)目標(biāo)參量：1. 系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候的平均顧客數(shù)2. 平均忙著的服務(wù)窗口個(gè)數(shù)3. 系統(tǒng)內(nèi)顧客的均值4. 由Litt

18、le公式得，八、模型求解問(wèn)題一的求解：上午：數(shù)據(jù)分別為（1,4253），（2,4261），（3,4311.5），（4,3946），（5,4049），（6,391.25）（7,3929.75)。設(shè)x=1:1:7；y=【4253,4261,4311.5,3946,4049,3914.25,3929.75】；發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)大致地位于某條二階曲線附近，故可考慮二階擬合： 1.0e+003 * 0.0006 -0.0734 4.3769即擬合函數(shù)為：利用擬合出來(lái)的多項(xiàng)式函數(shù)預(yù)測(cè)在上午時(shí)間段內(nèi)一周的顧客人數(shù)為：上午星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日預(yù)測(cè)值43044233416240934025395

19、83893故在上午這個(gè)時(shí)間段下，顧客數(shù)一周的估計(jì)值為S=28688 下圖是上午的預(yù)測(cè)值散點(diǎn)圖，從圖中可以看出：該預(yù)測(cè)值呈一下降趨勢(shì)，且近似分布在一條直線周圍 同理，在一周內(nèi)下午和晚上的情況如下：預(yù)測(cè)值星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日下午8251.98578.58611.98468.58291.18248.98537.5晚上6193.55464.45670.16036.66151.560045776.9故在一周內(nèi)下午和晚上顧客數(shù)的預(yù)測(cè)值分別為58988，41297。綜上：一周內(nèi)上午、下午和晚上顧客數(shù)的預(yù)測(cè)值分別為28688，58988，41297；一周內(nèi)顧客數(shù)的總預(yù)測(cè)值為問(wèn)題二的求解：

20、問(wèn)題二說(shuō)要根據(jù)問(wèn)題一的預(yù)測(cè)人數(shù)，給出三個(gè)時(shí)間段內(nèi)的最優(yōu)窗口數(shù)量。即我們現(xiàn)在已知三個(gè)時(shí)間段的總?cè)藬?shù)，解出最優(yōu)窗口數(shù)再與題目附帶表格里的窗口數(shù)量比較即可?，F(xiàn)將已知條件列出表格如下：已知條件上午下午晚上原窗口數(shù)204136預(yù)測(cè)總?cè)藬?shù)286885898841297 在上午時(shí)間段內(nèi)，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的超市服務(wù)員工作時(shí)間為四小時(shí)，故可得顧客的平均到達(dá)效率，而且經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該超市每個(gè)服務(wù)窗口的平均服務(wù)效率為。又因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在要求的是最優(yōu)窗口數(shù)，那么該系統(tǒng)必然是平穩(wěn)分布的，不然會(huì)造成勞動(dòng)力的損失或不足。 故有 即 得從上面的已知條件可知上午開(kāi)放的窗口數(shù)至多為20個(gè)，故n還必須滿足。因?yàn)閚為整數(shù)，所以n的最終范圍為 即n

21、=18，19或20。將三組的取值分別代入公式，利用Matlab編程計(jì)算（程序見(jiàn)附錄一）可得五個(gè)目標(biāo)參量的值如下表： 181920 14.158094.9502992.321738 17.0817.0817.08 31.2380922.0302919.40173 0.8289280.289830.1359331.8289281.289831.135933觀察發(fā)現(xiàn)，理論上按照現(xiàn)在超市顧客的平均到達(dá)效率、超市服務(wù)員的平均服務(wù)效率以及系統(tǒng)內(nèi)的最大排隊(duì)容量，上午超市的窗口設(shè)為19個(gè)是比較合理的。上午窗口設(shè)置為19個(gè)時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候的平均顧客數(shù)為4.950299人，顧客平均排隊(duì)等待時(shí)間為0.28983m

22、in，服務(wù)強(qiáng)度為，這三項(xiàng)指標(biāo)都比較優(yōu)質(zhì)。與原窗口數(shù)20比較，其優(yōu)點(diǎn)在于在保證各項(xiàng)指標(biāo)都比較合理的情況下減少了服務(wù)窗口數(shù)，成本也就降低了。缺點(diǎn)在于，雖然其系統(tǒng)內(nèi)排隊(duì)等候的平均顧客數(shù)和顧客平均排隊(duì)等候時(shí)間等指標(biāo)都較為合理，但與原窗口數(shù)比較仍然偏高，不夠理想。同理，通過(guò)編程可得出下午和晚上的各項(xiàng)指標(biāo)，其數(shù)據(jù)分別為：36373839404132.8054412.42746.463253.772792.328561.4803335.1135.1135.1135.1135.1135.1167.9154447.537441.5732538.8827937.4385636.590330.934360.3539

23、50.184080.107450.066320.042161.934361.353951.184081.107451.066321.04216由上表可知，在下午時(shí)間段內(nèi)，窗口數(shù)設(shè)為39個(gè)是比較合理的。與原窗口數(shù)比較，其優(yōu)劣與上午相同。33343536142.2573420.63949.01794.8817732.7832.7832.7832.78175.0373453.419441.797937.661774.339760.629630.27510.1489255.339761.629631.27511.148925由上表可知，在晚上時(shí)間段內(nèi)，窗口數(shù)設(shè)為36個(gè)是比較合理的。與原窗口數(shù)比較，其值

24、無(wú)變化，即原窗口數(shù)是比較合理的。綜上所述，最優(yōu)窗口分別為：上午19個(gè)，下午39個(gè)，晚上36個(gè)。九、模型的檢驗(yàn)擬合模型：擬合模型的檢驗(yàn)即所得多項(xiàng)式的檢驗(yàn)，這里有四種方法：（1）（2）（3） 采用C+編程，其程序代碼見(jiàn)附錄二誤差平方和5.1<<=4122.5，可見(jiàn)擬合出來(lái)的多項(xiàng)式在一定程度上還是比較優(yōu)質(zhì)的。（4） 將該多項(xiàng)式函數(shù)與原來(lái)的四個(gè)函數(shù)畫在同一個(gè)圖中觀察，擬合多項(xiàng)式與原各函數(shù)的比較圖如下：由于減小了縱軸間距，從圖中我們可以清晰地看到各個(gè)圖像的走勢(shì)。擬合多項(xiàng)式大致居于前四周圖像的中部，這四條曲線沿?cái)M合多項(xiàng)式曲線上下起伏。從這點(diǎn)可以斷定，該擬合曲線較優(yōu)質(zhì)。排隊(duì)論：由用Matlab計(jì)

25、算得的各項(xiàng)指標(biāo)可知，系統(tǒng)平穩(wěn)分布，各最優(yōu)解比較合理。十、模型的評(píng)價(jià)與推廣擬合模型與M/M/n模型是常用的兩種模型，常用來(lái)解決預(yù)測(cè)與優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)超市窗口的數(shù)量等此類問(wèn)題具有一定的指導(dǎo)作用，能夠?yàn)槠髽I(yè)大大節(jié)約成本。模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）簡(jiǎn)明易懂，具有較好的通用性（2）模型把繁雜的數(shù)據(jù)條理化模型的缺點(diǎn)：模型存在近似誤差，數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系是通過(guò)擬合產(chǎn)生的模型的推廣：模型稍作修改可以用于氣象和軍事方面，也可以推廣到化學(xué)方面十一、給超市經(jīng)營(yíng)者的改進(jìn)建議 對(duì)于顧客而言，等待時(shí)間是最短的，就是最好的，這樣就要求超市增加收銀窗口，也就意味著超市要增加支出。對(duì)于經(jīng)營(yíng)者，當(dāng)然想獲取最大的利益，保證超市長(zhǎng)期的客源和聲譽(yù)

26、，這樣就要考慮增加窗口帶來(lái)的成本問(wèn)題。由此，窗口優(yōu)化對(duì)于超市的發(fā)展是有重要影響的。根據(jù)已有的認(rèn)識(shí)，對(duì)超市提出一點(diǎn)意見(jiàn)。（1）合理劃分超市的各功能區(qū)，同時(shí)要制作清晰明了，簡(jiǎn)單易懂的指示牌，指示牌要懸掛在最顯眼的地方，方便顧客選購(gòu)商品，不會(huì)在超市走來(lái)走去，減少超市內(nèi)人員流動(dòng)量。（2）合理設(shè)置導(dǎo)購(gòu)員，有了導(dǎo)購(gòu)員跟顧客介紹，告知顧客商品的具體位置，可以加快選購(gòu)的速度，減少在超市內(nèi)的逗留時(shí)間，方便為后面進(jìn)來(lái)的顧客創(chuàng)造寬松的壞境。（3）盡量使用單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)，這樣可以加快服務(wù)速率，減少顧客的等待時(shí)間。 (4)加強(qiáng)收銀員的培訓(xùn)，收銀員的形象，基本素質(zhì)都能在與顧客的接觸中體現(xiàn)出來(lái)。人們購(gòu)物也關(guān)注收銀員的禮

27、貌程度，面對(duì)一個(gè)禮貌的收銀員，等一下也是值得的。對(duì)于超市，有時(shí)會(huì)是老顧客，他們可能知道那個(gè)收銀員態(tài)度好，就會(huì)選擇排那一隊(duì)，由此造成顧客的扎堆，影響收銀速度。因此，要定期培訓(xùn)收銀員，考核收銀員，招收銀員時(shí)，也應(yīng)當(dāng)注重一下學(xué)歷和素質(zhì)。 （5）如果等待是不可避免的，應(yīng)當(dāng)盡量減少顧客因?yàn)榈却a(chǎn)生的焦急情緒。超市可以選擇在收銀處設(shè)置幾個(gè)高清大屏幕，放映一些輕松娛樂(lè)的節(jié)目，同時(shí)也可以在收銀處旁邊設(shè)置休息處，為等累的人提供服務(wù)。（6)應(yīng)當(dāng)誠(chéng)信經(jīng)營(yíng)，在現(xiàn)在這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)的社會(huì)，誰(shuí)能得到顧客的心，誰(shuí)就能獲得更多的利益，作為經(jīng)營(yíng)者，應(yīng)當(dāng)誠(chéng)信經(jīng)營(yíng)，不欺瞞顧客。盡量做到服務(wù)周到，禮貌待人。十二、心得與體會(huì)這次數(shù)學(xué)建模，使我感觸良多。它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知