高中數(shù)學人教版必修四常見公式及知識點系統(tǒng)總結(全)

1、必修四?？脊郊案哳l考點第一部分 三角函數(shù)與三角恒等變換考點一 角的表示方法1.終邊相同角的表示方法：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)可以構成一個集合：|= k·360 °+,kZ 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合為| k·360 °<<k·360 °+90 °,kZ 第二象限角的集合為| k·360 °+90 °<<k·360 °+180 °,kZ 第三象限角的集合為| k·360 °+180 °&l

2、t;<k·360 °+270 °,kZ 第四象限角的集合為| k·360 °+270 °<<k·360 °+360 °,kZ 3.終邊在某條射線、某條直線或兩條垂直的直線上(如軸線角)的表示方法：（1）若所求角的終邊在某條射線上，其集合表示形式為|= k·360 °+,kZ ,其中為射線與x軸非負半軸形成的夾角（2）若所求角的終邊在某條直線上，其集合表示形式為|= k·180 °+,kZ ,其中為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角（3）若所求角的終邊

3、在兩條垂直的直線上，其集合表示形式為|= k·90 °+,kZ ,其中為直線與x軸非負半軸形成的任一夾角例：終邊在y軸非正半軸上的角的集合為|= k·360 °+270 °,kZ 終邊在第二、第四象限角平分線上的集合為|= k·180 °+135 °,kZ 終邊在四個象限角平分線上的角的集合為|= k·90 °+45 °,kZ 易錯提醒：區(qū)別銳角、小于90度的角、第一象限角、090、小于180度的角考點二 弧度制有關概念與公式1.弧度制與角度制互化，1弧度2.扇形的弧長和面積公式（分別

4、用角度制、弧度制表示方法）弧長公式：, 其中為弧所對圓心角的弧度數(shù)扇形面積公式：= R2|, 其中為弧所對圓心角的弧度數(shù)易錯提醒：利用S= R2|求解扇形面積公式時，為弧所對圓心角的弧度數(shù)，不可用角度數(shù)規(guī)律總結：“扇形周長、面積、半徑、圓心角”4個量，“知二求二”，注意公式選取技巧考點三 任意角的三角函數(shù)1.任意角的三角函數(shù)定義設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么，（）；化簡為.2.三角函數(shù)值符號 規(guī)律總結：利用三角函數(shù)定義或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口訣記憶象限角或軸線角的三角函數(shù)值符號.3.特殊角三角函數(shù)值 除此之外，還需記住150、750的正弦、余弦、正切值4.三角函數(shù)線

5、yOxyOxa終邊 yOxyOxPMATPMAT正弦線余弦線正切線PPMATPMATa終邊 a終邊 a終邊 經(jīng)典結論：(1)若，則(2)若，則(3)例：在單位圓中分別畫出滿足sin、cos、tan1的角的終邊，并求角的取值集合考點四 三角函數(shù)圖像與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì) 圖象定義域值域最值當時，；當時，當時，；當時，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸考點五 正弦型（y=Asin(x)）、余弦型函數(shù)（y=Acos(x)）、正切性函數(shù)（y=Atan(x)）圖像與性質(zhì)1.解析

6、式求法（1）yAsin(x)B 或y=Acos(x)B解析式確定方法字母確定途徑說明A由最值確定AB由最值確定B由函數(shù)的周期確定相鄰的最高點與最低點的橫坐標之差的絕對值為半個周期，最高點(或最低點)的橫坐標與相鄰零點差的絕對值為0.25個周期由圖象上的特殊點確定可通過認定特殊點是五點中的第幾個關鍵點，然后列方程確定；也可通過解簡單三角方程確定A、B通過圖像易求，重點講解、求解思路：求解思路：代入圖像的確定點的坐標.如帶入最高點或最低點坐標，則或，求值易錯提醒：y=Asin(x)，當>0，且x=0時的相位（x+=）稱為初相.如果不滿足>0，先利用誘導公式進行變形，使之滿足上述條件，再

7、進行計算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600求解思路：利用三角函數(shù)對稱性與周期性的關系，解.相鄰的對稱中心之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半；相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期的四分之一.2.“一圖、兩域、四性”“一圖”：學好三角函數(shù)，圖像是關鍵。易錯提醒：“左加右減、上加下減”中“左加右減”僅僅針對自變量x，不可針對-x或2x等.例：“兩域”：(1) 定義域求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象或數(shù)軸法來求解.(2) 值域(最值)：a.直接法（有界法）：利用sinx，cosx的值域.b.化一法：化為y=Asin

8、(x+)+k的形式逐步分析x+的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值).c.換元法：把sinx或cosx看作一個整體，化為求一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題. 例：1.y=asinx2+bsinx+c2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx23.y=(asinx+c)/(bcosx+d)4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c“四性”：(1)單調(diào)性 函數(shù)y=Asin(x+)(A>0, >0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由2k-<x+<2k，kZ解得, 單調(diào)遞減區(qū)間由2k+<x+<2 k1.5，kZ解得;函數(shù)y=A

9、cos(x+)(A>0, >0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由2k+<x+<2k2,kZ解得, 單調(diào)遞減區(qū)間由2k<x+<2 k，kZ解得;函數(shù)y=Atan(x+)(A>0, >0)圖象的單調(diào)遞增區(qū)間由k-<x+<k，kZ解得,. 規(guī)律總結：注意、A為負數(shù)時的處理技巧(2)對稱性函數(shù)y=Asin(x+)的圖象的對稱軸由x+= k(kZ)解得,對稱中心的橫坐標由x+= k(kZ)解得;函數(shù)y=Acos(x+)的圖象的對稱軸由x+= k(kZ)解得,對稱中心的橫坐標由x+=k(kZ) 解得;函數(shù)y=Atan(x+)的圖象的對稱中心由x+= k(kZ

10、)解得. 規(guī)律總結：可以是單個角或多個角的代數(shù)式.無需區(qū)分、A符號.(3)奇偶性函數(shù)yAsin(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)，函數(shù)yAsin(x)，xR是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)，xR是奇函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAcos(x)，xR是偶函數(shù)k(kZ)；函數(shù)yAtan(x)，xR是奇函數(shù)(kZ)規(guī)律總結：可以是單個角或多個角的代數(shù)式.無需區(qū)分、A符號. (4)周期性函數(shù)yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x) 的最小正周期T.考點六 常見公式常見公式要做到“三用”：正用、逆用、變形用1.同角三角函數(shù)的基本關系；=2.三角函數(shù)化簡思路：“去負、脫周、化銳”（1

11、）去負，即負角化正角：sin(-a)=-sina； cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana；（2）脫周，即將不在（0,2）的角化為（0,2）的角：sin(2k+a)=sina； cos(2k+a)=cosa；tan(2k+a)=-tana；（3）化銳，即將在（0,2）的角化為銳角：6組誘導公式，口訣：奇變偶不變，符號看象限. 均化為“k/2±a”,做到“兩觀察、一變”。一觀察：k是奇數(shù)還是偶數(shù)；二觀察：k/2±a終邊所在象限，再由k/2±a終邊所在象限，確定原函數(shù)對應函數(shù)值的正負.一變：正弦變余弦、余弦變正弦、正切利用商的關系變換. 其中公式（1）也

12、可理解為終邊相同角的三角函數(shù)值相同，公式（3）也可按照函數(shù)奇偶性理解3.兩角和差公式；, 4.二倍角公式；，二倍角公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式，當=時的特殊情況倍角是相對的，如0.5是0.25的倍角，3是1.5的倍角5.升降冪公式（升冪縮角）.（降冪擴角），6.輔助角公式=(輔助角所在象限由點的象限決定, ，- <<).7.半角公式sin=±；cos=± tan=；tan=8.其它公式1+sin a =(sin+cos)2；1-sin a = (sin-cos)29.萬能公式sin a=；cos a=；tan a=10.和差化積 sin a+sin b=2

13、sincos；sin a-sin b = 2cossincos a+cos b = 2coscos；cos a-cos b = -2sinsintan a+tan b =11.積化和差 sinAsinB =-cos(A+B)-cos(A-B)；cosAcosB =cos(A+B)+cos(A-B)sinAcosB =sin(A+B)+sin(A-B)；cosAsinB =sin(A+B)-sin(A-B)12.三倍角公式；13.常見計算技巧（1）簡單的三角方程的通解.特別地,有.（2）最簡單的三角不等式及其解集.例：已知sin>、cos>、tan>1、sin<- 、co

14、s<- 、tan<1,分別求出的取值范圍14.三角形中三角函數(shù)關系在ABC中，有.；tan(A+B)=-tanC;等15.三角函數(shù)化簡的常用技巧1.三角函數(shù)化簡要做到“四看、四變”(1)看角、做好角的變換：觀察角與角之間和、差、倍、互補、互余等關系，采取誘導公式、兩角和差公式、倍角公式、拼湊角等辦法化簡.(2)看名、做好名的變換：利用同角三角函數(shù)基本關系實現(xiàn)弦切互化，掌握弦的一次齊次式或二次齊次式化簡方法(3)看次數(shù)、做好次數(shù)的變換：利用升降冪公式實現(xiàn)擴角降次、縮角升次(4)看形、做好形的變換：利用輔助角公式，統(tǒng)一函數(shù)形式2.具體技巧(1)遇分式通分、遇根式升冪.(2)和積轉(zhuǎn)換法掌

15、握sin ±cos ，sin cos 化簡方法，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，“知一求二”(3)巧用“1”的變換1sin2cos2tan450sincos 0.3.四種常見題型給角求值、給值求值、給值求角，輔助角公式若角的范圍在（0,90），選擇正弦、余弦函數(shù)均可；若角的范圍在（0,180），選擇余弦函數(shù)較好；若角的范圍在（-90,90），選擇正弦函數(shù)較好；第二部分 平面向量考點一 向量的有關概念1.向量：既有大小又有方向的量，用黑體小寫字母或用起點終點的大寫字母表示2.向量的模：有向線段的長度，|a|3.單位向量：模為1的向量.與a平行的單

16、位向量：±a/|a|；與a同向的單位向量：a/|a|；單位向量有無數(shù)個4.零向量：模為0的向量，方向是任意的.注意實數(shù)0與向量0的區(qū)別5.相等向量：長度相等、方向相同.對向量起點和終點不作要求,可在平面內(nèi)任意平移6.相反向量：長度相等、方向相反.對向量起點和終點不作要求,可在平面內(nèi)任意平移7.共線向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，對長度不作要求易錯提醒：1.有向線段與向量的區(qū)別：向量可用有向線段來表示，每一條有向線段對應著一個向量，但每一個向量對應著無數(shù)多條有向線段. 向量只有兩要素:方向和大小;而有向線段有三要素:起點、方向和大小2.共線向量（平行向量）可重合，注意與直線

17、平行的區(qū)別；不要單純從字面上理解共線向量，注意與直線重合的區(qū)別3.規(guī)定零向量與任意向量平行；不可說零向量與任意向量垂直4.零向量與單位向量的特殊性：長度確定、方向任意.a/b, b/ c,不一定推出a/c; a=b, b= c,一定推出a=c6.向量不可以比較大小，如不能得出3i>2i考點二 向量的線性運算1.向量的加法法則（1）平行四邊形法則：共起點，指向?qū)蔷€；起點相同、終點相同，首尾相連、路徑不限（2）三角形法則：首尾相連，可理解為“條條大路通羅馬”2. 向量的減法原則：起點相同、指向被減 (a+b)= OC , (a-b)= BA兩個向量共線只可用三角形法則；封閉圖形、首尾相連、

18、相加為零3.向量的數(shù)乘運算實數(shù)與向量的積叫做向量的數(shù)乘，記作其幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮（1）（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，4.a與b的數(shù)量積運算a·b=|a|b|cos=|a|b|cos<a,b>=x1x2+y1y2（1）|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影（2）a·b的幾何意義：a·b等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積（3）為a與b的夾角，0（4）零向量與任一向量的數(shù)量積為（5）a

19、·b=-b·a（6）向量沒有除法，“a/b”沒有意義,注意與復數(shù)運算的區(qū)別（7）向量的加法、減法、數(shù)乘結果為向量，向量的數(shù)量積結果為實數(shù)易錯提醒：向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別：（1）向量的數(shù)量積不滿足結合律，即：(ab)ca(bc)（2）向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c（3）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b（4）|ab|a|b|考點三 向量的運算律1.實數(shù)與向量的積的運算律設、為實數(shù)，那么(1) 結合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.2.向量的數(shù)量積的運算律：(1

20、) a·b= b·a （交換律）;(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.考點四 向量的坐標表示及坐標運算1.平面向量基本定理  如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2不共線的向量（隱含另一條件為非零向量，基底不唯一）e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底該定理作用：證明三點共線、兩直線平行或兩個向量a、b共線.解題思路：可用兩個不共線的向量e1、e

21、2表示向量a、b，設b=a（a0），化成關于e1、e 2的方程，即f() e1+g() e2=0,由于e1、e 2不共線，則f()=0，g() =02.向量的坐標表示表示(1)設a=,b=，則a+b=(2)設a=,b=，則a-b= (3)設(4)設a=,b=，則a·b=|a|b|cos=xx2+y1y2（5）設A，B,則（6）易錯提醒：公式（2）與公式（5）的區(qū)別向量坐標與該向量有向線段的端點無關，僅與其相對位置有關考點四 向量的常見公式1.線段的定比分公式 （1）定比分點向量公式：設，是線段的分點,是實數(shù)，且，則的坐標是，即（）.（2）定比分點坐標公式：，2.三角形五“心”向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內(nèi)心.（5）為的的旁心.3. A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三點共線OC=OA +OB ,且+=1 (x1-x2)(y2-y3)= (x2-x3) (y1-y2)等4. 向量的三角形不等式和方程（1）a-ba+ba+b  當且僅當a、b反向時