含參數(shù)導(dǎo)數(shù)方法總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)題型總結(jié)（解析版）關(guān)于二次函數(shù)的不等式 恒成立 的主要解法：1、分離變量； 2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式 法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法： （ 1）對稱軸（重視 單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系（ 2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次， 分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn)大部分 都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù) 形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不 等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決： 第一步：令 f （x） 0得到兩個(gè)根； 第二步：畫兩圖或列表； 第三步：由圖表可知； 其中不等式恒成立問題的

2、實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題，2、常見處理方法有三種： 第一種： 分離變量求最值 用分離變量時(shí)要特別注 意是否需分類討論（ 0,=0,0）第二種：變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))- (已知誰的范圍就把誰作為主元)；例1 ：設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為f (x)， f(x) 在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為g(x)，若在區(qū)間D上，g(x)0恒成 立，則稱函數(shù)y f(x)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù),432、 xmx 3xf (x)1262(1) 若y f(x)在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”，求m的 取值范圍；(2) 若對滿足m 2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f(x)在 區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)”，求b a

3、的最大值.解:由函數(shù)f(x)x4 mx3 3x212 6 2得 f (x)32x mx 小3x32/、2八g(x) x mx 3(1 ) Q y f (x)則g(0) 0g(3) 03 09 3m 3解法二：分離變量法: 當(dāng) x 0 時(shí), g(x) x2 mx 當(dāng)0 x 3時(shí), g(x) x2 mx3 0恒成立,0恒成立在區(qū)間0,3上為“凸函數(shù)”， g(x) x2 mx 3 0在區(qū)間0,3上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等立，等價(jià)于X2 3mxx3的最大值(0x3 )恒成x而 h(x) x 3 ( 0 x 3 x )是增函數(shù)，則hmax(X)h(3) 2m 2(2)V當(dāng)|m| 2時(shí)f

4、(x)在區(qū)間a,b上都為“凸函數(shù)” 則等價(jià)于當(dāng)|m 2時(shí)g(x) x2 mx 3 0恒成立 變更主元法再等價(jià)于F(m) mx x2 3 0在|m 2恒成立(視為關(guān)于m 的一次函數(shù)最值問題)F( 2)x23 0F=02x x23 叩-2例2:設(shè)函數(shù) f (x) - x3 2ax2 3a2 x b(0 a 1, b R)3(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(U)若對任意的x a 1,a 2不等式|f(x) a恒成立, 求a的取值范圍.(二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)3a令f (x) o,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)令f (x) o,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一 ，3)和(3a, + )

5、當(dāng)x=a時(shí)， f(x)極小值=|a3 b； 當(dāng)x=3a時(shí)， f(x) 極大值=b.(n )由| f(x)I 3 心1.2例 9、已知函數(shù) f (x) |x3 x2 , (a R, a 0) ( 1 ) 求 f(x)的單調(diào) 32區(qū)間；(2)令g(x)=球4 + f (x) (x R)有且僅有 3 個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.角軍：(1 ) f(x) ax2 x x(ax 1)當(dāng)a 0時(shí)，令心0解得x a或x 0，令f(x)0解得所以f(x)的遞增區(qū)間為(，丄)(0,)，遞減區(qū)間為(丄,0).aa當(dāng)a 0時(shí)，同理可得f(x)的遞增區(qū)間為(0,丄),遞減 a 7 區(qū)間為(,0) ( 1，).a(2)g

6、(x) 4x4討2x2有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)g (x) x3 ax2 x x(x2 ax 1) =0有3個(gè)根，則x 0或x2 ax 1 0， a 2 方程x2 ax 1 0有兩個(gè)非零實(shí)根，所以 a2 4 0,a 2 或 a 2而當(dāng)a 2或a 2時(shí)可證函數(shù)y g(x)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題:1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在R上的函數(shù)f(x) ax3 2ax2 b( a 0)在區(qū)間2,1上的最大值是5,最 小值是11.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(口)若t 1,1時(shí)，f(x) tx 0恒成立，求實(shí)數(shù)X的取 值范圍角軍： (I) Q f (x) ax3 2ax2 b, f (x) 3

7、ax2 4ax ax(3x 4)令 f(X)=0 得 x1 0,x2 4 2,1因?yàn)閍 0，所以可得下表:x2,0f(x)+f(x)/00,10-極大因此f(0)必為最大值，()5因此b 5 ,Qf( 2)16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),即 f( 2)16a 511 ,. a 1 , f (x) x3 2x2 5.f (x) 3x2 4x ,. f (x) tx 0 等價(jià)于 3x2 4x tx 0 ,令g(t) xt 3x2 4x，則問題就是g(t) 0在t 1,1上恒成立 時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍，為此只需g( 1) 0 即卩 3x2 5x 0 g (1) 0 yx2 x

8、 0解得0 x 1,所以所求實(shí)數(shù)x的取值范圍是0 , 1.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1 )已知函數(shù) f (x) 2 x3 ax2 bx c3(I )若函數(shù)f(x)在X 1時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的 點(diǎn)(0,1)處的切線與直線3x y 0平行，求f(x)的解析 式；(II )當(dāng)f(x)在X (0, 1)取得極大值且在X (1, 2)取得極 小值時(shí)，設(shè)點(diǎn)M(b 2, a 1)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分，求直線L 的方程解：(I ).由f (X) 2x2 2ax b ,函數(shù)f(x)在x 1時(shí)有極值,2a b 2 0T f(0) 1c 1又；f(x)在(0, 1

9、)處的切線與直線3x y 0平 行 ,f (0) b 3 故a -2 f(x) -X3 X2 3x 132.7分(I )解法一:由f (X) 2x2 2ax b及f(x)在x (0, 1)取得極大 值且在x (1, 2)取得極小值,f (0) 0f (1) 0f (2)b 0即卩 2a b 2 0令4a b 8 0M(x, y),b 2a 1x 202yX20故點(diǎn)M所在平面區(qū)域S4yx60為如圖 ABC,易得 A( 2, 0) , B( 2,1),C(2,2) ,D(0,1),E(0,|)S ABC 2同時(shí)DEABC的中位線, S DEC S四邊形 ABED3二所求一條直線L的方程為：x 0另

10、一種情況設(shè)不垂直于 x軸的直線L也將S分 為面積比為1:3的兩部分，設(shè)直線L方程為 AC,BC分別交于F、G,由y kxm2y x 2 0y kx4y x 6 0則k 0-得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為y kx ,6冷 4k 1D(0-1)A 0DEGr； 0 )f x = 3ax2 + 2bx -3a -2b 由 f 5 = 0 b = -9a若方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng) 滿足 f ( 5 )v 8a v f ( 1 )由 得 -25a + 3v 8av 7a + 3 + v av 3所以當(dāng)1 v av 3時(shí)，方程f ( x ) = 8a有三個(gè)不 同的根。12分4、(根的個(gè)數(shù)冋題

11、)已知函數(shù)f(x) gx3 ax2 x 1(a R)(1)若函數(shù)f(x)在x x，,x x2處取得極值，且1 x 2，求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a 扌，討論曲線 f(x)與 g(x)x2 (2a 1)x |( 2 x 1)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).解：(1)2f(x) X 2ax 1XiX22a,x1 x21XiX2.(Xi X2)2 4X1X2. 4a2 4 2f (X) X222 ax 1 x21令 f (x)令 f (x)0彳得 1 X 1f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1)，(1,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(i,i)(2)由題f(X)g(x)得 3x3ax15八2a 1)x 6即1x(at)x22 ax2令(X)1(a )x22aX1(1)(X)2X (2 a 1)x 2a(X2a)(X1)(x) 0x 2ac1Q a2當(dāng)2a 2即ax2(2,1)1（X）（X）8a -2a此時(shí)，8a 2 0 , a o ,有一個(gè)交點(diǎn)；9分當(dāng)2a 2即lag時(shí)，X2(2,2 a)2a(2a,1)1(x)0(X)8a 92/3a2(32a) -136a2iQ3a2(32a)-0,9 Z當(dāng)8a -29當(dāng)8a20,且a1 a *時(shí),有一個(gè)交點(diǎn);_9_160時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn);8a 9 0 ,有一個(gè)