數(shù)列常見(jiàn)解的題目方法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案數(shù)列解題方法、根底知識(shí):數(shù)列：1 1. .數(shù)列、項(xiàng)的概念：按一定次序排列的一列數(shù),叫做數(shù)列,其中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng).2 2 . .數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)：有序性；確定性；可重復(fù)性.3 3 . .數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標(biāo)表示數(shù)列的項(xiàng),其中右下角標(biāo)表示項(xiàng)的位置序號(hào),因此數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成 ai,a2,a3,ai,a2,a3, ,an,an,( (),),簡(jiǎn)記作anan.其中 anan 是該數(shù)列的第上項(xiàng),列表法、圖象法、符號(hào)法、列舉法、解析法、公式法(通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式)都是表示數(shù)列的方法.4 4 . .數(shù)列的一般性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性;周期性.5 5 . .數(shù)列的分類(lèi)：按項(xiàng)的數(shù)

2、量分：有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列；按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、其他；按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他;按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列.6 6 . .數(shù)列的通項(xiàng)公式： 如果數(shù)列a an的第 n n 項(xiàng) a an與它的序號(hào) n n 之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 a an n=f(n)(nSN=f(n)(nSN 或具有限子集1,2,3,1,2,3, ,n)n)來(lái)表示,那么這個(gè)公會(huì)叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中一個(gè)確定的數(shù),是函數(shù)值,而序號(hào)是指數(shù)列中項(xiàng)的位置,是自變量的值.由通項(xiàng)公式可知數(shù)列的圖象是散點(diǎn)圖,點(diǎn)的橫坐標(biāo)是項(xiàng)的序號(hào)工,縱坐標(biāo)是各項(xiàng)的值.不

3、是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式,數(shù)列的通精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案項(xiàng)公式在形式上未必唯一.7 7 . .數(shù)列的遞推公式：如果數(shù)列a an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)a an與它的前一項(xiàng) a an-1(或前幾項(xiàng) a an-1,a an-2,)間關(guān)系可以用一個(gè)公式 a an=f=f(a(ani)( (n=2,n=2,3,3,) )(或 a an=f(a=f(a 叱逢=)(n=3,(n=3,4,5,4,5,),),) )耒表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的一逋推公式.n8 8 . .數(shù)列的求和公式：設(shè) S Sn表示數(shù)列a an和前 n n 項(xiàng)和,即 S Sn=z=za=a=ai+a+a2+1+a+an,如果 S

4、 Sn與項(xiàng)數(shù) n n 之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式 S=fS=f( (n)n)( (n=1,n=1,2,3,2,3,) )來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的求和公式9 9 . .通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：通項(xiàng)公式 a an與求和公式 S S 的關(guān)系可表示為:等差數(shù)列與等比數(shù)列:精彩文檔等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差.一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比.符號(hào)定義an書(shū)-an=da-=q(q/0)an分類(lèi)

5、遞增數(shù)列：d0遞減數(shù)列：dtga10,0q1遞減數(shù)列：a10,40,0q1擺動(dòng)數(shù)列：q0an=加1)Sn-&(n-2)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案常數(shù)數(shù)列：q=1通項(xiàng)an=a1+(n-1)d=pn+q=am+(n-m)d其中p=d,q=a1-dn/n-m/an=a1q=amq(q#0)前n n項(xiàng)和cn(a(+an)n(n1)d2Sn=、2=na1+；=pn2+qnH中D-da-adp,qai22Jhqq)Sn=0,公差d0,那么前n項(xiàng)和Sn有最大值.假設(shè)通項(xiàng)務(wù),那么&最大“二：0；5假設(shè)&W+%那么當(dāng)取最靠近學(xué)的非零自然數(shù)時(shí)S最大;2 2、假設(shè)等差數(shù)列 Q Q的首項(xiàng)a10,i假設(shè)通項(xiàng)a

6、n,那么&最小=小-0.0數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式.,用作差法：第二敘.Sn-Sn,(n_2)f(1),(n=1)an=fk,g2).f(n-1)條件中既有Sn還有an,有時(shí)先求Sn,再求外； 有時(shí)也可直接求假設(shè)an書(shū)an=fn求an用累力口法：an=an-anj+an_1-an+IH+a2-a1氣n之2.那么前n項(xiàng)和Sn有最小值ii假設(shè)Sn=pn2+qn,那么當(dāng)n取最靠近言的非零自然數(shù)時(shí)&最小;Sn(即a1+a2+an=f(n)求an翅忌卜瓦=fn求an,用作商法:an.-=fn求an,用累乘法：anan遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法4IIIIII

7、,&,&a a1(n2)oan1an2a1構(gòu)造等差、等比數(shù)列.特別地,1 1形如an=kanl+b、an=kan,+bnk,b為常數(shù)的遞推數(shù)列精彩文檔都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后,再求an;形如an=kanJkn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后,再求an.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(2)(2)形如an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).kanjb(3)(3)形如an4=ank的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng).(8)(8)遇到*-and或叫=q時(shí),分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論,結(jié)果可能是分段anJ形式數(shù)列求和的常用方法：(1)(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式.(2)(

8、2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式中“同類(lèi)項(xiàng)先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.(3)(3)倒序相加法：假設(shè)和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián),那么常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(4)(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(5)(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：一1 1；1 1=_)=_)；n(n1)nn1

9、n(nk)knnk,令111,11、11111112()2k2k2-12k-1k1kk1(k1)kk2(k-1)kk-1k11n(n-1)(n2)2n(n1)(n1)(n-2)(n1)!n!(n1)!2(n1-Jn)：2:二L：二2一=2(、.n-、,n-1)n.n1,n、n、n1二、解題方法：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1 1、公式法2 2、由Sn求an(n=1時(shí),a1=S1,n22時(shí),an=Sn-Sn)3 3、求差(商)法精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案111如：an滿足護(hù)+-2-a2+,an=2n+5解：n=1時(shí),1al=2父1+5,a1=142-11n22時(shí),a1+a2+2221-得:-an=22n

10、.an=2n114(n=1)-a.=2n1(n_2)練習(xí)數(shù)歹UQn足Sn+SnJ1=an書(shū),a1=4,求an34 4、疊乘法例如：數(shù)列an中,a1=3,曳求anann1解：包也=2=,：W=1a1a2an23na1n.3又21=3,an=一n5 5、等差型遞推公式由anan=f(n),a1=a0,求an,用迭加法n之2時(shí),a2-a1=f(2)a3a2=f(3),陽(yáng),兩邊相加,得：-an-an4=f(n).an=2n_15an-a1=f(2)+f(3)+f(n)精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案an=a0+f(2)+f(3)+f(n)練習(xí)數(shù)列an,a1=1,an=3n+an(n2),求an6 6、等比型遞推公

11、式an=can+d(c、d為常數(shù),c#0,c#1,d#0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)anxcandx=an=canc-1Xd令(c1)x=d,.x=c-1：n+L是首項(xiàng)為c一1ai+,c為公比的等比數(shù)列an工c-1andcn.1c-1練習(xí)數(shù)列an足21=9,3an書(shū)+an=4,求an精彩文檔+十練習(xí)一11求和：1-12123實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案7 7、倒數(shù)法例如：a12anan2求an由得:an12ananan1an21八二卜為等差數(shù)列,an、,1=1,公差為-11=1+(n-1),一=-(n+1),an2n-1數(shù)列前 n n 項(xiàng)和的常用方法:1 1、公式法：等差、等比前 n n 項(xiàng)和公式2 2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和,使之由現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng).n如：an是公差為d的等差數(shù)列,求工一解:由一ak,ak1akakdd411-(d00)a-,k1akak1aak+Jd_a1a2/a2a3anan1123n精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3 3、錯(cuò)位相減法：假設(shè)an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,求數(shù)列anbn差比數(shù)列前n項(xiàng)和,可由Sn-qSn求Sn,其中q為缶0的公比.如：Sn=1+2x+3x2+4x3+nxn/xSn=x+2x2+3x