121任意角的三角函數(shù)(教學(xué)案)

1、任意角的三角函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)；2理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái)；4掌握并能初步運(yùn)用公式一；5樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等公式一.難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)；三角函數(shù)線的正確理解.【教學(xué)

2、過(guò)程】y pa，b r o m一、【創(chuàng)設(shè)情境】提問(wèn)：銳角o的正弦、余弦、正切怎樣表示借助右圖直角三角形，復(fù)習(xí)回憶.引入：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。數(shù),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎 如圖,設(shè)銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,那a的終邊p(x,y)oxy么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點(diǎn),它與原點(diǎn)的距離.過(guò)作軸的垂線,垂足為,那么線段的長(zhǎng)度為,線段的長(zhǎng)度為.那么; .思考：對(duì)于確定的角，這三個(gè)比值是否會(huì)隨點(diǎn)在的終邊上的位置的改變而改變呢顯然，我們可以將點(diǎn)取在使線段的長(zhǎng)的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角

3、三角函數(shù)：; ; .思考：上述銳角的三角函數(shù)值可以用終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)表示.那么,角的概念推廣以后，我們應(yīng)該如何對(duì)初中的三角函數(shù)的定義進(jìn)行修改，以利推廣到任意角呢本節(jié)課就研究這個(gè)問(wèn)題任意角的三角函數(shù).二、【探究新知】1.探究:結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢 顯然,我們只需在角的終邊上找到一個(gè)點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1,然后就可以類似銳角求得該角的三角函數(shù)值了.所以,我們?cè)诖艘雴挝粓A的定義:在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓.2.思考:如何利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)的定義 如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:(1)叫

4、做的正弦(sine),記做,即；2叫做的余弦(cossine),記做,即；3叫做的正切(tangent),記做,即.注意:當(dāng)是銳角時(shí)，此定義與初中定義相同指出對(duì)邊，鄰邊，斜邊所在；當(dāng)不是銳角時(shí)，也能夠找出三角函數(shù)，因?yàn)?，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點(diǎn)，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.3.思考:如果知道角終邊上一點(diǎn),而這個(gè)點(diǎn)不是終邊與單位圓的交點(diǎn),該如何求它的三角函數(shù)值呢 前面我們已經(jīng)知道,三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么,.所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之

5、間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).4.探究:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個(gè)象限的符號(hào)填入表格中：三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制5.思考:根據(jù)三角函數(shù)的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有和關(guān)系 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.即有公式一: (其中)6.三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為；過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交與點(diǎn).由四個(gè)圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段，于是有我們就分別稱有向線

6、段為正弦線、余弦線、正切線。我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.7.例題講解例1角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的三個(gè)函數(shù)制值。解：變式訓(xùn)練1：角的終邊過(guò)點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值.解：,. 例2求以下各角的三個(gè)三角函數(shù)值： 1； 2； 3 解：1sin0=0 cos0=1 tan0=0 2 3變式訓(xùn)練2：求的正弦、余弦和正切值. 例3角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的三個(gè)三角函數(shù)值. 解析：計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離時(shí)應(yīng)該討論a的正負(fù).變式訓(xùn)練3： 求函數(shù)的值域.解析：分四個(gè)象限討論.答案：2，-2，0 例4.利用三角函數(shù)線比較以下各組數(shù)的大?。?1.與 2.tan與tan

7、三、【學(xué)習(xí)小結(jié)】(1)本章的三角函數(shù)定義與初中時(shí)的定義有何異同 (2)你能準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)嗎 (3)請(qǐng)寫(xiě)出各三角函數(shù)的定義域；(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值有什么關(guān)系 你在解題時(shí)會(huì)準(zhǔn)確熟練應(yīng)用公式一嗎 (5)三角函數(shù)線的做法.四、【作業(yè)布置】作業(yè)：習(xí)題1.2 a組第1,2題 五、【板書(shū)設(shè)計(jì)】 任意角的三角函數(shù)一復(fù)習(xí)引入（二） 概念形成 1.三角函數(shù)定義 2.三角函數(shù)線三例題講解 小結(jié)：1.21任意角的三角函數(shù)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)： 1.了解三角函數(shù)的兩種定義方法； 2.知道三角函數(shù)線的根本做法.二、預(yù)習(xí)內(nèi)容： 根據(jù)課本本節(jié)內(nèi)容，完成預(yù)習(xí)目標(biāo)，完成以下各個(gè)概念的填空.三

8、、提出疑惑 同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)；2理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；3了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來(lái)；4掌握并能初步運(yùn)用公式一；5樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).二、重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正切的定義包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)；終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等公式一.難點(diǎn): 任意角的正弦、余弦、正

9、切的定義包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)；三角函數(shù)線的正確理解.三、學(xué)習(xí)過(guò)程一復(fù)習(xí)：1、初中銳角的三角函數(shù)_2、在rtabc中，設(shè)a對(duì)邊為a，b對(duì)邊為b，c對(duì)邊為c，銳角a的正弦、余弦、正切依次為_(kāi)二新課：1三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)除了原點(diǎn)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么1比值_叫做的正弦，記作_，即_2比值_叫做的余弦，記作_，即_3比值_叫做的正切，記作_，即_；2三角函數(shù)的定義域、值域函 數(shù)定 義 域值 域3三角函數(shù)的符號(hào)由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：正弦值對(duì)于第一、二象限為_(kāi)，對(duì)于第三、四象限為_(kāi)；余弦值對(duì)

10、于第一、四象限為_(kāi)，對(duì)于第二、三象限為_(kāi)；正切值對(duì)于第一、三象限為_(kāi)同號(hào)，對(duì)于第二、四象限為_(kāi)異號(hào)4誘導(dǎo)公式 由三角函數(shù)的定義，就可知道：_即有：_ _ _5當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足_時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示三角函數(shù)線。 設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)過(guò)作軸的垂線，垂足為；過(guò)點(diǎn)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交與點(diǎn). 由四個(gè)圖看出：當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段，于是有，_ ，_我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。三例題 例1角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的三個(gè)函數(shù)制值。變式訓(xùn)練1：角的終邊過(guò)點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值. 例2求以下各角的三個(gè)三角函數(shù)值：1； 2； 3 變式訓(xùn)練2：求的正弦、余弦和正切值. 例3角的終邊過(guò)點(diǎn)，求的三個(gè)三角函數(shù)值。變式訓(xùn)練3： 求函數(shù)的值域 例4.利用三角函數(shù)線比較以下各組數(shù)的大小： 1. 與 2. tan與tan四、小結(jié)課后練習(xí)與提高一、選擇題1. 是第二象限角，p，為其終邊上一點(diǎn)，且，那么的值為 a.