全國(guó)初中初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)面積問題

1、全國(guó)初中(初一)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第十四講面積問題我們已經(jīng)學(xué)過的面積公式有：三角題aha (其中h雄示地上的高).(2) S平行四邊形二ah(其中h表示a邊上的高).(3)S尊爵Q+b) h (其中a, b表示梯形中，兩條平行邊, 長(zhǎng)，h表示平行邊之間的距離).由于多邊形可以分割為若干個(gè)三角形，多邊形的面積等于各三角形 面積和，因此，三角形的面積是面積問題的基礎(chǔ).等積變形是面積問題中富于思考性的有趣問題，它是數(shù)學(xué)課外活動(dòng) 的重要內(nèi)容，這一講中我們將花較多的篇幅來研究多邊形的等積變形.等積變形是指保持面積不變的多邊形的變形.三角形的等積變形是多邊形等積變形的基礎(chǔ)，關(guān)于三角形的等積變 形有以下幾個(gè)主要事

2、實(shí)：(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等.(2)兩個(gè)三角形面積之比，等于它們的底高乘積之比.(3)兩個(gè)等底三角形面積之比，等于它們的高之比.(4)兩個(gè)等高三角形面積之比等于它們的底之比.例1已知aABC中三邊長(zhǎng)分別為a, b, c,對(duì)應(yīng)邊上的高分別為 ha=4, hb=5, hc=3. 求 a ： b ： c.解設(shè)AABC的面積為S,則S = ha = -b hb = ic * hc = 2a = -|b = -c, 22222q 2?所以a = b = -S, c = -S,所以122a: b : c= :=15 ： 12 ： 20.2 53說明同一個(gè)三角形依面積公式可以有三種不同的表示法，由

3、此獲得 三邊之比.例2如圖1一51, 口ABCD的面積為64平方厘米（cm，），E, F分別為AB, AD的中點(diǎn)，求4CEF的面積.分析由于4CEF的底與高難以從平行四邊行的面積中求出，因此， 應(yīng)設(shè)法將四邊形分割為三角形，利用面積比與底（高）比來解決.解連接AC. E為AB中點(diǎn)，所以S&BCE=;$&鈾°二：5幺隹8二16 （平方厘米）同理可得$-16（平方厘米）.連接DE, DB, F為AD中點(diǎn)，所以£= 7S = 7 S = I ABCD= 8 （平方厘米）.從而S 口 etfS 皿d-S.皿-53.應(yīng)-5&*二 64-16-16-8 = 24

4、（平方厘米）.說明（1） E, F是所在邊的中點(diǎn)啟發(fā)我們添加輔助線BD, DE.(2)平行四邊形的對(duì)角線將平行四邊形分成兩個(gè)三角形的面積相等是 由平行四邊形對(duì)邊相等及平行線間的距離處處相等，從而這兩個(gè)三角形 的底、高相等獲知的.例3如圖1 52所示.已知小C的面積為1.且BD=1DC,AF = ：FD, CE = |eF.求ZYDEF的面積. 乙乙分析 直接求4DEF面積有困難，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)4DEF與4DCF有 共同的頂點(diǎn)D,其底邊在同一條直線上，因而，高相同.所以Se EF 2Sg 一 3 一 3 ,于是，求4DEF的面積就轉(zhuǎn)化為求4DCF的面積.用同樣的辦法可將DCF的面積轉(zhuǎn)化為4ADC

5、的面積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為aABC的面積.解因?yàn)镃E=,EF,所以EF=2CE, ADEF與DCF有共同的頂2占八、D,且底邊EF, CF在同一條直線上,所以EF ： CF=2 ： 3,同理，4DCF與4DCA有共同的頂點(diǎn)C,且底邊DF, DA在同一條直 線上，由已知DF ： DA=2 ： 3,所以SjIDCA=3,同樣衿=!.所以222q = -s = -qDEF - W 6DCF - ?)(iDCA222 c8= 一一£ =2 N 2 WCA 3例4用面積方法證明：三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊.圖 1-53分析與解 如圖153所示.設(shè)E, F分別是AB, AC的中點(diǎn)，可求得 EBC與4

6、FBC的面積相等（均為ABC面積的一半）.由于這兩個(gè)三角形 同底BC,因而這兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)E, F在一條與底邊BC平行的直線 上，所以EFBC.說明（1）從證題過程看出，條件“E, F是所在邊的中點(diǎn)”可以推廣為“詈或卷=若等事實(shí)上BE_ ,acb£CF_Sjlbcfrasas°ACAELAECASaCBE _ ABCF從而 S.cK=SakF .這兩個(gè)三角形同底BC,因此，它們的頂點(diǎn)E, F的連線與底邊平 行.(2)同樣用面積的方法可以證明如下事實(shí)：三角形ABC中，若EF BC且AE ： EB=m,則AF ： FC二m(請(qǐng)同學(xué)們自己證明).例5如圖1一54.在aABC中，

7、E是AB的中點(diǎn)，D是AC上的一點(diǎn), 且 AD : DC=2 ： 3, BD 與 CE 交于 F, S*40,求 Sg.圖 1- 54分析 四邊形AEFD可分割為aAED與4DEF.從E是AB中點(diǎn)及D分 AC為2 ： 3的條件看，AED的面積不難推知，關(guān)鍵是如何推求4DEF的 面積.為此，需通過添加輔助線的辦法，尋求4DEF的面積與已知面積 的關(guān)系.解取AD的中點(diǎn)G,并連接EG,在AABD中，E是AB的中點(diǎn)，由例 3 知 EGBD.又 CD ： DG=3 ： 1,從而，在4CEG 中，CF ： FE=CD : DG=3 ： 1 (例 3 說明(2),所以 Sadfc : Sadfe=3 : 1.

8、設(shè) Sadef=x,則 Sadfc=3xt Sadec=4x> 由于AD ： DO2 ： 3,所以Saead : Saecd-2 : 3,_2_3.S&EAD =S&DEC =X玄干曰a8 /20于 7ESAACE=又因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以S&ACE = 234題= 20，所以卷= 20,鞏=3,即，def=3.所以，妞岳=3 = 8，所以SoaOT = 5/4+5./團(tuán)=8+3=11 .說明在三角形中，利用平行線實(shí)行比的轉(zhuǎn)移，再利用等積變形，得 到相應(yīng)的面積的比，從而將欲求的4DEF的面積與已知的AABC的面積 “掛上了鉤”.這里取AD的中點(diǎn)G,得到BD的平行線

9、EG是關(guān)鍵.例6如圖1-55所示.E, F分別是ABCD的邊AD, AB上的點(diǎn)，且 BE=DF, BE與DF交于0.求證：C點(diǎn)到BE的距離等于它到DF的距離.分析 過C作CG_LBE于G, CH_LFD于H,則CG, CH分別是C到BE, DF的距離，問題就是要證明CG=CH.結(jié)合已知，BERF,可以斷言， BCE的面積等于4CDF的面積.由于這兩個(gè)三角形的面積都等于ABCD面 積的一半，因此它們等積，問題獲解.解連接CF, CE.因?yàn)镾 AE CE - & &BCD - '2 CD，Z&CDF = "&CAD = AB CD ?所以S,bC2

10、：=：SAcXr 因?yàn)锽E=DF,所以CG=CH(CG, CH分別表示BE, DF上的高)，即C點(diǎn)到BE和DF的距離相等.說明(1) ABCE與4CDF是兩個(gè)形狀及位置完全不同的三角形，它們 面積相等正是通過等積變形一一都等于同一平行四邊形的面積之半.(2)通過等積變形可以證明線段的相等.練習(xí)十四L如圖1-56所示.在ABC中，EFBC,且AE ： EB=m,求證: AF : FC=m.2 .如圖1一57所示.在梯形ABCD中，ABCD.若ADCE的面積是DCB的面積的;，問：ZXDCE的面積是ABD的面積 的幾分之幾？3 .如圖1-58所示.已知P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，AP, BP, CP分別與對(duì) 邊交于D, E, F,把a(bǔ)ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形的面積 已在圖中給出.求AABC的面積.4 .如圖1一59所示.P為aABC內(nèi)任意一點(diǎn)，三邊a, b, c的高分 別為ha, hb, he,且P到a,